第十一讲数的整除特征(奥数班)
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第十一讲 数的整除特征
【教学重难点】
了解数的整除特征并学会根据数的整除特征来解决相应的问题。
数的整除特征
1.
末位系：2,5；4,25；8,125
（1）能否被2和5整除是看末一位；
（2）能否被4和25整除是看末两位；
（3）能否被8和125整除是看末三位。
2. 和系：3,9，99
（1）能否被3,9整除是看数字之和是不是3,9的倍数；
（2）除以3,9的余数和这个数数字之和除以3,9的余数相同；
（3）能否被99整除是把多位数从个位开始两位一段，看所有的
数段和能否被99整除。
3. 差系：7,11,13
（1）判断一个多于4位的整数能否被7,11,13整除：规
律是把数
从末三位断开，用末三位与末三位之前的数做差，看这个差是否
为7,11,13的倍
数；
（2）能否被11整除：规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数
位数字之和的差是否为
11的倍数，这个差除以11余几就代表这
个数除以11余几。
4. 拆分系：
72=8×9 12=3×4 1001=7×11×13
一、特征应用
【例1】(★★)
在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能被9，25和8
整除。
【例2】(★★)
两个四位数A275和275B相乘，要使它们的乘积能被72整除，求
A和B.
【例3】(★★★)
设六位数N=x1527y，又N是4的倍数，且被11除余5，那么x+y
等于多少？
【例4】(★★★)
在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多
少？
【例5】
⑴ (★★)(希望杯试题)
六位数20□□08能被99整除，□□是________。
⑵
(★★)(迎春杯试题)
已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，
这个九位数是多少？
⑶ (★★★)
111213…9899除以99的余数是多少？
【例6】(★★★)
请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选出5个组成一个五位数，
使它是99的倍数。这个五位数最大是多少？
二、综合考察
【例7】
（1）(★★★)
已知2ab2ab2ab能被91整除，那么ab是多少？
（2）(★★★★)
将三位数3ab连续重复地写下去，共写2005个3ab，所得的数
3ab3ab……3ab
（2005个3ab）正好是91的倍数，那么ab= 。
【例8】(★★★)
如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？
【拓展】(★★★)
有一个六位数，前四位是2857
，即2857□□，这六位数能被11和13
整除。求出后两位数。
自我检测
1.一个三位数等于它的各位数字之和的42 倍，这个三位数是多少？
2
.
将1996
加一个整数，使所得的和能被9 与11 整除，加的整数
要尽可能小，那么所加整数是多少？
3. 一个五位数恰好等于它各位数字之和的2009
倍，则这个五位数
是多少？
4.一个非零自然数是99 的倍数，但各位数字之和不是18
的倍数，
求这样的数中最小的是几？
5. 如果一个六位数a2000b能被 26整除，所有这样的六位数是?
6.
某个七位数1993□□□能够同时被2,3,4,5,6,7,8,9
整除，那么
它的最后三位数字依次是多少?
易错题
一． 填空
（1）当字母乘以字母的时候，乘号要用一个（ ）表示，举例：
（
）；当字母除以字母的时候，除号要用（ ）表示，
举例：（
）；当数与字母相乘的时候，（ ）写在前面，
举例：（N×2= ）。
（2）发车间隔问题分为（ ）和（ ）。（注意ji的书写）
（3）在解方程的时候，要注意格式。要写（ ）字，而且（ ）
要对齐；解的过程
中要移项，移项时要注意把未知项放在一边，把
常数项放在另一边。移项时要注意改变符号。如把等号左
边的“+”
变到另一边就变成了（ ）。
（4）在解方程组的时候，我们会遇到很多去小
括号的情况。去小括
号的规则是：当小括号的括号左边使用“+”连接，去掉小括号后，
括号里
面的式子符号（ ），举例：（
）；
当小括号的括号左边使用“—”连接，去掉小括号后，括号里面的
式子符号（
），举例：（ ）。
二 .一个长方形的三条边的长度和为
64m，这个长方形的面积最大为
多少？（提示：最值问题中，长度和一定，差小积大。）