小学奥数 五年级 整除问题
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五年级思维第二讲
基础知识：
1.
整除的定义、性质.定义：如果a、b、c是整数并且
b0
，
ab=c
则称a能被b整除或者b能整除
a，记做
ba
，否则称为a不能被b整除或者b不能
整除a，记做b| a.
性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和与差也能被c整除.
性质2：如果b与c的乘积能够整除a，那么b、c都能整除a.
性质3：如果b、c都能整除a，并且b、c互质，那么b、c的乘积也能够整除a.
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a.
性质5：如果b和c的乘积能够被a整除，并且a，b互质，那么c能够被a整除.
2.
被2（5）整除特征：以2,4,6,8,0（5,0）结尾
3.
被3，9整除特征：数字和被3,9整除
4.
被4（25），8（125）整除的特征：后2,3位能被4（25）,8（125）整除
5.
被11整除特征：奇数位数字和与偶数位数字和之差能被11整除
6.
被7、11、13整除特征：末三位与末三位之前的数之差能被7、11、13整除
7.
整除性质、特征的综合应用，末尾0的个数问题的处理，运用设未知量求解整除问题.
例题：
例1、如果六位数
2012□□
能够被105整除，那么后两位数是多少？
例2、求所有的x，y，使得72整除
例3、一本陈年旧账上写的：购入143个羽毛球共花费
□67.9□
元，
其中
□
处字迹已经模糊不清，请你
补上
□
中的数字并且算出每个羽毛
球的单价.
例4、把若干个自然数1,2,3
….乘到一起，如果已知这个乘积的最后14位都是0，那么最后的自然数至少
是多少？
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例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除.
例6、
要使六位数能够被63整除，那么商最小是多少？
例7、
所有五位数中，能够同时被7,8,9,10整除的有多少？
例8、用1、2、3组成的四位数（可重复）中能够被11整除的数有多少个？
例9、已知（重复99次）能够被91整除，求
例10、已知11个连续两位数的乘积的末四位都是0，而且是343
的倍数，那么这11个数中最小的是多少？
数学万花筒——趣题欣赏：
1. 鬼谷子问题：传说在春秋战国时期，鬼谷子随意从2-99
中选取了两个数.他把这两个数的和告诉了庞涓，
把这两个数的乘积告诉了孙膑.但孙膑和庞涓彼此不知
到对方得到的数.第二天，庞涓很有自信的对孙膑
说：虽然我不知到这两个数是什麽，但我知道你一定也
不知道.随后，孙膑说：那我知道了.庞涓说：那
我也知道了.问这两个数是什么？这个原问题可能很复
杂，现在告诉你这两个数都在2-15中（但是庞涓
和孙膑不知道），你能指出孙膑和庞涓每句话的逻辑
含义和这两个数么？
2. 一枚，三枚，还是四枚
有一种硬币游戏，其规则是：（1）一堆
硬币共九枚.（2）双方轮流从中取走一枚，三枚或四枚.（3）
谁取最后一枚谁赢.两人中是否必定会
有一人赢？如果是，如何取？
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作业题：
1.
已知六位数
2．
5555555□9999999
是7的倍数，求空格中的数字.
3. 一个三位数，它的百位数字是4，加9能被7整除，请问这个数是多少？
4. 请证明六位数 一定能被7、11、13整除.
能够被720整除，请问这个六位数是多少？
5．已知自然数A的各个数位上的数码之和与3A的各个数位上的数码之和相等，证明A必能被9整除.
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课堂练习题：
班级________
1、 如果一个数
姓名___________
得分______
能被72整除，求a+b
2、
请根据7、11整除判断方法的推导和证明，类比推出对于17的整除判定（提示17×59=1003）
3、用1、2、3、4（每个数恰好用一次）可组成24个四位数，其中共有多少个能被11整除？
4、已知四个整数，他们两两的和都能被两两的差整除，请问其中最大的两个数的和最小是多少？
5、15位同学分别编号1-15,1号同学写下了一个不少于6位的
数，后面每个人都说这个数能被自己的编号
整除，经验证，只有连续两个编号相连的人说错了，请问这个
数至少是多少？.
6、
请问是否存在一个数以7结尾的数，把7挪放到第一位之后得到的数恰巧等于原来的数的7倍.若存在，
请答出这个数的位数，若不存在，请证明.