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整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商 是整数且余数为0，
我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的 一个因
数（约数），a是b的倍数.
1.整除的性质
性质1如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）.
例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.
性质2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.
性质3 如果a能同时被m、n整除，那么a也一定
能被m和n的最小公倍数整除.
例如：6丨36，9丨36，6和9的最小公倍数是18，18丨36.
如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的.
例如：7与50是互质的，18与91是互质的.
性质4 整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除.
例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72
能被3与4的乘积12整除.
性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积4
8整除，这 就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.

性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互
质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：
要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除.
能被2，3 ，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特
征来判断许多数的整除 问题.
2.数的整除特征
（1）能被2整除的数的特征：
如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.
（2）能被5整除的数的特征：
如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除.
（3）能被3（或9）整除的数的特征：
如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.
（4）能被4（或25）整除的数的特征：
如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.
（5）能被8（或125）整除的数的特征：
如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.
（6）能被11整除的数的特征：
如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么

它必能被11整除.

例1：
四位数7a4b能被18整除，要是这个四位数尽可能的小，a和b是什么数字？
解：18=2×9，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除.
要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.
再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.
如果 b=0，只有 a=7，此数是 7740；
如果b=2，只有a=5，此数是7542；
如果b＝4，只有a＝3，此数是 7344；
如果 b＝6，只有 a＝1，此数是 7146；
如果b＝8，只有a＝8，此数是7848.
因此其中最小数是7146.
根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.
例2一本老账本上记着：72只桶，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这
笔账补上.
解：把□67.9□写成整数679，它应被72整除.72＝9×8，9与8又互质.按照前面的 性质
4，只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.从6 792
能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a＝3.
这笔帐是367.92元.

例3在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字
可以重复出现 ），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.
解：如果选数字5，组成数的 最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，
也就是不能选2，4，6.为了要选的不 同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字
1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16 ，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能
再添上一个2，16+2＝18能被3整除. 为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成
的数是
122364.
例4 四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数.
解：55＝5×11，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.
要被5整除，个位数只能是0或5.
再考虑被11整除.
（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.
（ 7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的
整数整除）， 所得四位数是7645.
满足条件的四位数只有两个：7040，7645.
例5 一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪
一个？
解：为了使这个数最大，先让前五位是98765，设这个七位数是98765ab，要使它被1

1整除，要满足（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）
能 被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两
个数，只 有b＝4，a＝0，满足条件的最大七位数是9876504.

思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？
（答：1023495）
例6某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个< br>数字组成的三位数是多少？
解一：从整除特征考虑.
这个七位数的最后一位数字显然是0.
另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.
1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位
组成的三 位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：
1993500，1993320，1993680，
其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.
一个整数，它的约数只有1和它 本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，….
一个整数除1和它本身外，还有其他 约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是
质数，也不是合数.也可以换一种说法 ，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的
整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.

质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，
33，….
例9 ○×（□+△）=209.
在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.
解：209可以写成两个质数的乘积，即
209＝11×19.
不论 ○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只
有2，不妨假定△内 填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.
这个算式是 11×（17＋2）＝209，
11×（2＋17）＝ 209.
解例9的首要一 步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘
积，特别是一些质数的乘积，是 解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要
内容.
一个整数的因数中，为 质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42
的质因数，6，14也是42的因数， 但不是质因数.
任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如
360＝2×2×2×3×3×5.
还可以写成360＝2
3
×3
2
×5.
这里2
3表示3个2相乘，3
2
表示2个3相乘.在2
3
中，3称为2的指数，读 作2的3次方，在3

2
中，2称为3的指数，读作3的2次方.
例10 有四个学生，他们的年龄恰 好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，
那么，他们的年龄各是多少？
解：我们先把5040分解质因数
5040＝2
4
×3
2
×5×7.
再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：
2
4
×3
2
×5×7＝7×8×9×10.
所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.
利用合数的质因数分解式，不难求出 该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方
法，先看一个简单的例子.
我们知道 24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个
地去找它的约 数，将是很麻烦的事.
因为24＝2
3
×3，所以24的约数是2
3< br>的约数（1，2，2
2
，2
3
）与3的约数（1，3）之
间的 两两乘积.
1×1，1×3，2×1，2×3，2
2
×1，2
2
×3，2
3
×1，2
3
×3.
这里有4×2＝8个，即 （ 3＋1）×（1＋1）个，即对于24＝2
3
×3中的2
3
，有（3＋1）< br>种选择：1，2，2
2
，2
3
，对于3有（1＋1）种选择.因此共有 （3＋1）×（1＋1）种选择.
这个方法，可以运用到一般情形，例如，
144＝2
4
×3
2
.

因此144的约数个数是（4＋1）×（2+1）＝15（个）.
例11 在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.
解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）两种情况.
（1）2
7
＝128，符合要求，
3
7
＞150，所以不再有其他7次方的数符合要求.
（2）2
3
＝8，
8×13＝104， 8×17＝136，符合要求.
3
3
＝27；
只有27×5＝135符合要求.
5
3
＝135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135 ，13
6.
利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行
质因数分解，例如
720＝2
4
×3
2
×5，168＝2
3
×3×7.
那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因
数2 ，较低指数次方是2
3
，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是
2
3
×3＝ 24.
在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘 积是最小公倍数.请注意72
0中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是5
1
=5.720与168的最小公倍数是

2
4
×3
2
×5×7＝5040.
例12 两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数
是多少？
解：180＝2
2
×3
2
×5，
30＝2×3×5.
对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在 两数中取
次数较低的，从2
2
与2就知道，一数中含2
2
，另一数中 含2；从3
2
与3就知道，一数中含3
2
，
另一数中含3，从一数是
90＝2×3
2
×5.
就知道另一数是
2
2
×3×5＝60.
还有一种解法：
另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找
30， 60， 90， 120，….
这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现 在碰巧第
二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.
例13 有一种最简真分数，它 们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从
小到大排列，那么第三个分数是多少？
解：把420分解质因数

420＝2×2×3×5×7.
为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与 分母的乘积不再是420了），相同
质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分 子应小于分母.分子从小
到大排列是
1，3，4，5，7，12，15，20.
分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是




两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.
例13实质上是把420分解成两个互质的整数.
利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，
再举三个例题.
例14 将8个数6，24，45，65，77，78，105，110分成两组，每组4个数，并 且每组
4个数的乘积相等，请写出一种分组.
解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每 组的质因数一样，并且相同质因数的个数也
一样才行.把8个数分解质因数.
6＝2×3， 24＝2
3
×3，
45＝3
2
×5， 65＝5×13，
77＝7×11， 78＝2×3×13，

105＝3×5×7， 110＝2×5×11.
先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把
6，78，11 0放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把77和65放在第一组中.看质因
数7，105应 放在第二组中，45放在第一组中，得到
第一组：24，65，77，45.
第二组：6，78，110，105.
在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词-- 完全平方数.
一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.
例如：4＝2×2， 9＝3×3， 144＝12×12， 625＝25×25.4，9，144，625都是
完全平方数.
一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.
例如：144＝3
2
×4
2
， 100＝2
2
×5
2
，…
例15甲数有9个约数，乙数有10 个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和
乙数分别是多少？
解：一个整数 被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.
只有配成对的两个约数相同时 ，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.
因此，甲数是一个完全平方数.
2800＝2
4
×5
2
×7.
在它含有的约数中是完全平方数，只有

1，2
2
，2
4
，5
2
，2
2
×5
2
，2
4
×5
2
.
在这6个数中只有 2
2
×5
2
＝100，它的约数是（2＋1）×（2+1）＝9（个）.
2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝2
2
×5
2
，因此乙数至少要
含有2
4
和7，而2
4
×7＝112 恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（个）约数，从而乙数就是11
2.
综合起来，甲数是100，乙数是112.
例16 小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种 笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.
小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是 他无论怎么买都不能把35元恰
好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？
解：35＝5×7 .红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17
-5＝12（元）和17 -7＝10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.
记住：对笔价来说，已排除了5，7，10，12这四个数.
笔价不能是35-17=18（元） 的约数.如果笔价是18的约数，就能把18元恰好都买成笔，
再把17元买两种笔各一支，这样就把3 5元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数：1，2，3，
6，9.
当然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11， 17-9＝8.现在笔价又排
除了：
1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.
综合两次排除，只有4与13未被排除，而4＋13＝17，就知道红笔每支 13元，蓝笔每
支 4元.

三、余数
在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例
如 95÷3， 48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：
65÷3＝21…… 2， 38÷5＝7…… 3.
上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是
被除数÷除数=商……余数.
上面两个算式可以写成
65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.
也就是
被除数=除数×商+余数.
通常把这一算式 称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些
整数问题所需要的.
特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.
例175397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.
解：这个质数能整除
5397-15＝5382，
而 5382＝2×3
1997×13×23.

因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.

当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得
到余数.
例18 求645763除以7的余数.
解：可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成
645763→15763→1763→363→13→6.
如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：
645763→15000→1000→6.
带余除法可以得出下面很有用的结论：
如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.
例19有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是
多少？
解：由上面的结论，所求整数应能整除 967，1000，2001的两两之差，即
1000-967＝33＝3×11，
2001-1000＝1001＝7×11×13，
2001-967＝1034＝2×11×47.
这个整数是这三个差的公约数11.
请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两
个差得到.

例如，求出差1000-967与2001-1000，
那么差
2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）
＝1001＋33
＝1034.
从带余除式，还可以得出下面结论：
甲、乙两数，如果 被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，
它的余数就是两个余数之和被这个 除数除所得的余数.
例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209 被13除，余数是5＋9＝14
被13除的余数1.
例20有一串数排成一行，其中第一 个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数
恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998 个数被3除的余数是多少？
解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的 余数有什么规律，
但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两 个数
被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个
数被3除的余数，列表如下：


从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.

因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为
1998＝ 8×249＋ 6，
所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.
一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.
这十二个数构成一个循环.
按照七天一轮计算天数是
日，一，二，三，四，五，六.
这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数
0， 1， 2， 3， 4， 5， 6
的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用
数 来反映循环现象也是很自然的事.
循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说 周期是12，7个数的循环，
就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确 定周期，是很有趣的事.
下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式
得出的结论：
甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的
余数 就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.
例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被 11除的余数是 4×5＝20被 1

1除后的余数 9.
1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2＝4.
例 21 19
1997
被7除余几？
解：从上面的结论知道，19
1 997
被7除的余数与2
1997
被7除的余数相同.我们只要考虑
一些2的 连乘，被7除的余数.
先写出一列数
2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，
2×2×2×2＝16，….
然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：


事实上，只 要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除
的余数.（为什么？请想一 想.）
从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就< br>知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是
3.
1997＝ 3× 665 ＋ 2.
就知道2
1997
被7除的余数，与2
1997

被 7除的余数相同，这个余数是4.

再看一个稍复杂的例子.

例2270个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的 三倍都恰好等于它两边两个
数的和.这一行最左边的几个数是这样的：
0，1，3，8，21，55，….
问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？
解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个
数：
3＝1×3-0，
8=3×3-1，
21=8×3-3，
55=21×3-8，
……
不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除， 那就太麻烦了.能否从前面的余数，
算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？）， 从第三个数起，余数的
计算办法如下：
将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是.
用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：


注意，在算第八个数的余数时，要出现0×3-1这在小学数学范围不允许，因为我们求

被6除的余数，所以我们可以 0×3加6再来减 1.
从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就
知道 余数的循环周期是12.
70 ＝12×5+10.
因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.
在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照
今天的话来说：
一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.
这样的问题，也有人称为 “韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余
式.这类问题的有解条件和解的方法被称为 “中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.目前
许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它 的一般解法决不是小学生能弄明白的.
这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.
例23有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？
解：除以3余2的数有：
2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….
它们除以12的余数是：
2，5，8，11，2，5，8，11，….
除以4余1的数有：

1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….
它们除以12的余数是：
1， 5， 9， 1， 5， 9，….
一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12
的余数是5.
上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个
考 虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数.这样的列举的办法，在考虑
的数不大时 ，是很有用的，也是同学们最容易接受的.
如果我们把例23的问题改变一下，不求被12除的余 数，而是求这个数.很明显，满足条
件的数是很多的，它是
5＋ 12×整数，
整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”
两 个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先
把两个条件 合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.
例24一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.
解：先列出除以3余2的数：
2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，
再列出除以5余3的数：

3， 8， 13， 18， 23， 28，….
这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是
8＋15×整数，
列出这一串数是
8， 23， 38，…，
再列出除以7余2的数
2， 9， 16， 23， 30，…，
就得出符合题目条件的最小数是23.
事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.
最后再看一个例子.
例25 在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.
解：先找出两个连续自然数，第一个 能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.
例如，找出9和10，下一个连续的自然数是11 .
3和5的最小公倍数是15，考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除.11＋15× 3＝5
6能被7整除，那么54，55，56这三个连续自然数，依次分别能被3，5，7整除.
为了满足“在100至200之间”将54，55，56分别加上3，5，7的最小公倍数105. 所求
三数是
159， 160， 161.

注意，本题实际上是：求一个数（100～200之间），它 被3整除，被5除余4，被7除余5.
请考虑，本题解法与例24解法有哪些相同之处？