英语专业就业方向-忧的反义词

整除和余




同

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数论初步：整除、质数与同余

数论的全名是“ 整数的理论”，顾名思义，它所探讨的问题主要是关于整数的
（实际上是正整数）. 当然，有时谈论的范围也会扩展到有理数.

一、质数
1、基本概念和重要命题
质数：只能被1和自身整除的正整数；质数不包括1.
筛法：批量获取质数的方法；例如， 将2~100排成一列，依次从左到右“筛除”
最左边数字的倍数，第一次筛除所有2的倍数，第二次筛 除所有3的倍数，第
三次筛除所有5的倍数……一直到不超过
10010
的最大质数 7为止，剩下的
数就是100以内的全体质数.
一个特殊的质数：2，它是最小的质数，也是质数中唯一的偶数.
2、典型例题
例1、一个两位数的个位数字与十位数字交换位置后，所得的数比原来大9. 在
这样的两位数中，质数有多少个？
要点：①这种两位数的特点是个位数字比十位数字大1；②快速判定100以内
质数的能力.






结论：共有3个，分别是23、67和89.
例2、若p为质数，且p
6
＋3也是质数，则p
11
－52的值是多少？
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要点：根据已知条件能够确定p的奇偶性.






结论：p
11
－52＝1996.

3、专题练习

习题1
若a、b、c、d为整数，且(a
2
＋b
2)(c
2
＋d
2
)＝2001，则a
2
＋b
2
＋c
2
＋d
2
＝ .





习题2
在1~n这n个自然数中，已知共有p个质数，q个 合数，k个奇数，m个偶数，
则(q－m)＋(p－k)＝ .






习题3
在下列关于质数与合数的说法中，正确的是 .
①两个质数的和必为合数；
数；
②两个合数的和必为合
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③一个质数与一个合数的和必为合数；
可能是合数.






习题4
④一个质数与一个合数的和不
若质数m、n满足5m＋7n＝129，则m＋n的值是多少？






习题5
一个两位质数，将 它的十位数字与个位数字对调后，仍是一个两位质数，我们
称它为“无暇质数”，试求所有无暇质数的和 .






习题6
已知3个质 数m、n、p的乘积等于这3个数之和的5倍，求m
2
＋n
2
＋p
2
的值.






二、整除
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1、基本概念和重要命题
整除关系：对于整数a和不为0的整数b，若存在整数m使得bm＝ a，则称a
能被b整除（或b整除a），b是a的因数（或a是b的倍数），记为b|a .
整除的重要基本性质：
① 若b和c都能被a整除，则b与c的和或差也能被整除.
a|b,a|ca|

bc


② 若b能被a整除，c能被b整除，则c能被a整除.
a|b,b|ca|c

③ 若bc能被a整除，且c与a互质，则b能被a整除.
a|bc,

a,c

1a|b

④ 若a同时能被b和c整除，且b,c互质，则a能被bc整除.
b|a,c|a,

b,c

1bc|a

2、典型例题
例1、判断一个自然数能否被5整除的方法是“看个位数是否为0或5”，解释其
原理. < br>要点分析：任一自然数可以写成10a＋b的形式，其中b表示它的个位数；而
10a＝5×2a 能被5整除，于是将“10a＋b能否被5整除”的问题转化为“个位数b
能否被5整除”的问题.
类似地，请你解释 “判断一个自然数能否被2、4、8整除”的方法.






例2、已知7位数
1287xy6
是72的倍数，求出所有符合条件的7位数. < br>要点分析：①由于72＝8×9，而8和9互质，因此“是72的倍数”就转化为“既能
被8整除 ，又能被9整除”；②“能被8整除”的判据是看后三位，“能被9整除”的
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判据是各位数字之和能被9整除；③别忘记，x、 y只能在0~9这十个数字中选
取；④实际上，可以先考虑“能被4整除”，因为这样很容易将y限定为 奇数.






结论：共有3个数符合要求，1287216，1287936，1287576.
例3、 将1,2,3,……,2010这2010个数字随意排成一行，得到数N，证明：N一定
是合数.
要点分析：①证明的关键在于为N找到一个因数a，考虑到“随意排成一行”的条
件，可知a| N的判据应该形如“各位数字之和……”，因为这样才不会受到排列顺
序的影响. ②由于“各位数字之 和与数本身的整除性是一样的”，我们不需要具体
考虑每个数的各位数字之和是多少，只要直接将1~2 010累加起来即可.

结论：因为1~2010的累加和必是3的倍数（为什么？），所 以N一定能被3整
除，是合数.
*证明的书写：只要将每一步推导的理由说明即可. 所谓 的“理由”，就是前面提
到的整除性质，或者是“能被某数（如2、3、5、7、9、11等）整除”的 判据.
证明：若数N由1,2,3,……,2010这2010个数字随意排列而成，则3|N.
设x＝N的各位数字之和，y＝1＋2＋…＋2010；
∵ 根据被3整除的判据，任意正整数被3整除性质与它的各位数字之和被3整
除性质一致
∴ x被3整除性质与y被3整除性质一致
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而
y
2010

12010

能被3整除
2
∴ x能被3整除.
∴ N能被3整除. ∴ N是合数.
例4、证明：
（1）形如
abcabc
的六位数一定能被7、11、13整除；
（2）若4b＋2c＋d＝32，则8|
bcd
.
证：（1）∵
abcabcabc1000abcabc1001
，而1001＝7×11×13，
∴ 7|
abcabc
，11|
abcabc
，13|
ab cabc
.
（2）∵
bcd100b10cd

4b 2cd



96b8c


而
96b8c8

12bc

能被8整除，
∴ 8|
bcd
（参见前面的整除性质①）
说明：在学习初期，尽可能在每次论证时 把具体理由（不是条目）给自己叙述
一遍，确保对于这些性质依赖于熟悉.

3、专题练习

习题1
若
k45k9
是能被3整除的五位数，则的可能取值有 ，这样的五位数中
能被9整除的是 .






习题2
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用分别写有数字2、3、4、5的四张卡片可以排出不同的四位数， 其中能被22
整除的四位数有多少个？






习题3
假设a,b,c,d是四个整数，证明：差 b－a, c－a, d－a, d－c, d－b, c－b 的乘积能
被12整除.






习题4
判断一个整数能否被7整除，只需看去掉一节尾（即 这个数的末位数字）后所
得到的数与此一节尾的5倍之和能否被7整除. 如果这个和能被7整除，则原数
能被7整除. 例如126，去掉6后得到12，而12＋5×6＝42，42能被7整除，所
以126能被7整除.
（1）与此方法类似地，也可看去掉一节尾后与该结尾的n倍之差来判断，则n
＝ .（n是整数，且1≤n＜7）
（2）这种检验方法也可以转化成这样一条命题：依题意所构造出来 的这个和数
与原整数在被7整除的性质上是一致的；或者说，二者除以7的余数相同. 请你
证明这个命题.


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三、同余
1、基本概念和重要命题
同余：从字面上讲，“整 数a,b对m同余”是指“a和b除以m的余数相同”；常用
定义则是“a－b能被m整除”，显然两种 说法含义是一样的；
整除与同余的关系：“a和b都能被m整除”实际上就是“a和b除以m的余数都
是0”； < br>同余的符号表示与过程书写：例如，将“a除以5的余数是3”表示为“a＝5k＋3，
k为整数 ”；利用这种表示，我们就将同余分析转化为多项式的运算；
2、典型例题
例1、若记a< br>1
除以m的余数为r
1
，a
2
除以m的余数为r
2< br>，则a
1
＋a
2
与r
1
＋r
2
同< br>余，a
1
a
2
与r
1
r
2
同余.
要点分析：根据同余定义，“两个量对m同余”相当于“二者之差能被m整除”.
证明：设 a
1
＝mk
1
＋r
1
，a
2
＝mk
2
＋r
2
，k
1
和k
2
为整数；则
a
1
＋a
2
＝mk
1
＋r
1
＋mk
2
＋r
2
＝m(k
1
＋k
2
)＋(r
1< br>＋r
2
)，(a
1
＋a
2
)－(r
1
＋r
2
)＝m(k
1
＋k
2
)能
被m整除； < br>a
1
a
2
＝(mk
1
＋r
1
)(m k
2
＋r
2
)＝m
2
k
1
k
2< br>＋mk
1
r
2
＋mk
2
r
1
＋r< br>1
r
2
，a
1
a
2
－r
1
r
2
＝m(mk
1
k
2
＋
k
1
r
2
＋k
2
r
1
)能被m整除.
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这是同余的重要性质：要研究两数运算结果的余数，只要将它们各自的余数进
行运算即可. 例如，要得到多个数相乘的个位数，只需将它们的个位数相乘即可.
利用这个性质，我们可以理解“能被9整除”的判定方法.
例2、有一种判断“一个位数很 多的数能否被7整除”的方法，以1289376为例，
将最后三位数字和前若干位数字分别视为两个整 数，它们的差与原数对7的整
除性质是相同的，即1289－376＝913＝7×130＋3不能被7 整除，所以1289376
不能7整除. 请你解释其中道理.
要点分析：“一个位数很多 的数”可以写作a＝1000p＋
xyz
，接着将上述方法过
程用多项式运算表示出来 .
证明：设a＝1000p＋
xyz
，则a－
xyzxyz
＝1 000(p－
xyz
)，该方法所得到的数是
p－
xyz
；
∵
xyzxyz1001xyz
能被7整除（记得1001＝7×11×13）
∴ a与1000(p－
xyz
)对7同余，则二者对于7的整除性质相同；
而1000与7互质
∴ a与p－
xyz
对于7的整除性质相同.
类似地，我们可以理解“能被11整除”的判定方法.
例3、已知正整数n除以3、5、7的余数分别是2、3、4，求满足条件的最小n
值. < br>解：设n＝3k＋2＝5l＋3＝7m＋4，k,l,m为整数，则2n＝6k＋4＝10l＋6＝14m ＋
8，不难看出2n除以3、5、7的余数都是1，于是2n－1能够同时被3、5、7整
除. 由于3、5、7互质，所以2n－1最小是3×5×7＝105，此时n＝53.
例4、证明：由2012个1和任意多个0组成的数不可能是完全平方数.
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要点分析：乍 看起来这个问题似乎无从下手，因为0的个数不限，不同数字符
号的顺序不限，那么可以写出无数个数， 怎么可能确定它们都不是完全平方数
呢？实际上，我们只需确定“任意完全平方数必须具有某种同余性质 而题中之数
并不具有这种性质”，就成功了.
证明：任一自然数除以3的余数只有0、1、 2三种可能，分别设它们为3k、3k
＋1和3k＋1并计算其平分，可知任一平方数或者自身是3的倍 数，或者除以3
余2. 而由2012个1与任意多个0组成的数字除以3余2，所以不可能是完全平
方数.
3、专题练习
习题1、2011
2011
的个位数是多少？最后两位数是多少？





习题2、1
4
＋2
4
＋ 3
4
＋…＋2010
4
＋2011
4
的个位数字是多少？


习题3、已知a＝
20122012

2012
，则a除以13的余数是多少？
2012个2012






习题4
任给一个正整数，例如248 ，我们总可以用1984的四个数码经过适当交换得到
一个四位数，如8194，恰使得7|(248＋ 8194). 请你证明：对于任给的一个自然
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数N，总存在一个适当交换1984的数码所得到的四位数
a
3
a
2
a
1
a
0
，使得7|(N＋a
3
a
2
a
1
a
0
).





习题5、
证明：若正整数a,b,c满足a2
＋b
2
＝c
2
，且它们的最大公约数是1，则c一定是
奇数，而a和b中一个是奇数另一个是偶数.






习题6、证明：当指数n不能被4整除时，1
n
＋2
n
＋ 3
n
＋4
n
能被5整除，其中n
为正整数.






习题7、
1与0交替，组成下面形式 的一串数：101,10101,1010101,101010101,…请你回
答，在这串数中有多 少个是质数？并请证明你的论断.
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