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数的整除

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知识定位

本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与
定量计算之间”即本讲 中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很
重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。
本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，
在这个基础上对没有整除 判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性
的数字乘积形式来分析其整除性质。另外一个难点是 将数字的整除性上升到字
母和代数式的整除性上，这个对与学生的代数思维是一个良好的训练也是一个< br>不小的挑战。






知识梳理

1.常见数字的整除判定方法
（1）. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；
一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；
（2）. 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；
一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；
（3）. 如果一个整数的奇数位上 的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11
整除，那么这个数能被11整除.
（4）. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或

13整除，那么 这个数能被7、11或13整除.
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）
注： 在给学生讲解常见数字的判定性质时，要分系列来讲，例如有2系列，5系列，3系列和
7,11, 13系列，便于记忆。对于11的单独判定特性需要重点讲解。
2.整除性质
性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，
c︱b，那么c︱(a±b)．
注：
在理解这个性质时，我们要注意，反过来是不 成立的，即两数的和(a+b)或差(a-b)能被c
整除，这两个数不一定能被c整除．如5 ︱(26+24)，但5
可以引入下面的问题
2∣12，12∣36．2能否整除36？显 然，回答是肯定的．这是因为36是12的倍数，12又是
2的倍数，那么36一定是2的倍数．由此我 们又可以得出：

性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，
c∣b，那么c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出：
性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那
么b∣a，c∣a．
性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b
与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．
例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．
性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为
非0整数）；
性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．如果 b｜
a ，且d｜c ，那么ac｜bd；
26，524．
3．重点难点解析
（1）.常见数字的整除判定性质
（2）．将不具有整除判定性质的数字进行分解判定其整除性
（3）．代数式之间整除性的判断，代数思想的应用

（4）．试除法的理解和应用
4.竞赛考点挖掘
（1）.与数字谜或算式迷结合的整除判断特性题目
（2）.代数式之间的整除性问题





例题精讲

【试题来源】
【题目】
已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？



【试题来源】
【题目】
173□是个四位数字。数学老师说 ：“我在这个□中先后填人3个数字，所得到的3个四位
数，依次可被9、11、6整除。”问：数学老 师先后填入的3个数字的和是多少？




【试题来源】
【题目】
某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么 它的最后三位数字
依次是多少？


【试题来源】

【题目】
由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？




【试题来源】
【题目】
从0、1、2、3、4、 5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使
它能被3、5、7、13整除 ，这个数最大是多少？






【试题来源】
【题目】

修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。问修改后的这个数是几？







【试题来源】
【题目】
< br>在下面的方框中各填一个数字，使六位数11□□11能被17和19整除，那么方框中的两位
数 是多少？

【试题来源】

【题目】

已知四十一位数55…5□99…9（其中5和9各有20个）能被7整除 ，那么中间方格内的数
字是多少？




【试题来源】
【题目】

某个自然数既能写成9个连续自然数的和，还同时可以写成10个连续自然 数的和，也能写
成11个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？





【试题来源】
【题目】
用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除。这个六位数是多少？




【试题来源】
【题目】
将数字4，5，6，7， 8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数
除以667的结果是多少？

【试题来源】

【题目】
在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a 整除。





【试题来源】

【题目】
有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44 块．甲先取走一盒，其
余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍． 问：甲取
走的一盒中有多少块奶糖?




【试题来源】

【题目】
请求出最大的七位数，使得它能被3、5、7、1 1、13整除，且各位数字互不相同，这个七
位数是多少？





【试题来源】

【题目】
由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？




【试题来源】

【题目】

算式：2×□□□＝□□□，把2.3.4.5.6.7这六个数字分别填入□里，使算式之积能被13
整除，积是多少？



【试题来源】

【题目】
从1，2，3，4，...，2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除。N
最大为多少？




【试题来源】
【题目】
在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？




【试题来源】
【题目】
已知
3a82 bc4
是891的倍数，其中a,b,c各代表一个数字，那么三位数
abc
代表的是 多
少？


【试题来源】

【题目】
各位数字是0，1或2，且能被225整除的最小自然数是多少？

习题演练

【试题来源】
【题目】六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？


【试题来源】
【题目】如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？



【试题来源】
【题目】 已知
3939...39
中
3 9
一共重复了20次.那么这个数被37除得的余数是多少？



【试题来源】

【题目】有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连 续自然数的和，还能
表示成5个连续自然数的和。请找出700到1000之间，所有满足上述条件的自 然数。



【试题来源】
【题目】 找出4个不同的非零自然 数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们
的差整除．如果要求这4个数中最大的数与最小的 数的和尽可能的小，那么这4个数里
中间两个数的和是多少?


【试题来源】
【题目】有15位同学，每位同学都有编号，他们是l号到15号．1号同学写 了一个自然数，
2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每 位同学
都说，这个数能被他的编号数整除．1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．那么：
(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?
(2)如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．