端午节贺词-生于忧患死于安乐原文

数论（整除、余数）
知识点精讲
一、 整除
（1） 概念
（2） 数的整除特征
1. 尾数判断法：
①如果一个整数的个位数字能被2或5整除，那么这个整数能被2或5整除；
②如果一个整数的末两位数字能被4或25整除，那么这个整数能被4或25整除；
③如果一个整数的末三位数字能被8或125整除，那么这个整数能被8或125整除。
2. 数字求和法：
如果一个整数各个数位数字之和能被3或9整除，那么这个整数能被3或9整除。
3. 奇偶位求差法：
如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么这个整数一定能被11整除。
4. 三位截断法：
“末三位数字组成的数”与“末 三位以前的数字组成的数”之差能被7或11或
13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。
5. 分拆成简单数的乘积结合起来判断
如一个数能被6整除,那么这个数既是2的倍数，又要是3的倍数。
如此类似的，15=3×5,24=3×8
6. 构造成与整十整百的数的倍数的方法
如：判断一个数是不是99的倍数，我们可以先看这个数与100的关系；
判断一个数是不是999的倍数，我们可以先看这个数与1000的关系。。。
二、余数
1、利用数的整除特征求余数
注意利用11的整除特征求余数时何时余数是a，何时是（11—a）；
利用7,13的整除特征时，将六位数截开得到两个三位数的问题。
2、替换求余法： （1）和的余数等于余数的和：两个数的和除以某个数的余数，等于这两个数分别除以这两
个数后得 到的余数相加后，再除以除数的余数；
（2）差的余数等于余数的差，再除以除数的余数：两个数的差 除以某个数的余数，等于这
两个数分别除以这两个数后得到的余数相减后，再除以除数的余数；
（3）积的余数等于余数的积，再除以除数的余数：两个数的乘积除以某个数的余数，等于
这两个数分 别除以这两个数后得到的余数相乘后，再除以除数的余数。
3、余数的周期性变化：
连续自然数除以3的余数按照0,1,2的周期变化，换成其他的除数也有类似规律。
4、中国剩余定理。
A、一个数分别除以两个数余数相同的时候，将原数减去这个余数之后可以整除那两个数
例题 ：有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是
剩下3个.这盒 乒乓球至少有多少个?



B、上述情况下的余数虽有不同，但与各自对 应的除数的差相同，将原数加上这个差之后便
可以整除
高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程
- 1 -

例题：求被6除余4,被8除余6,被10除余8的最小整数.





C、其他情况下，凑出相同余数之后，运用第一种情况的方法。
例题：有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3，这个数除以12余数是_____.





5、分解求余法：
一个数并不是常见的具有整除 特征的数，如15，但是他可以分解成3×5。那么我们可以
先分别计算这个数除以3和5的余数，然后 再运用中国剩余定理求解。

课堂例题与练习

整除部分：

1. 已知10□8971能被13整除，求□中的数。





2.

abcabc
能否被7,11,13整除？若能，请说明。





3. 请说明12位数
abbaabbaabba
一定是3,7,13的倍数。





4. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.






5. 九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。



高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程
- 2 -

6. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.





7. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.





8. 在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、 5、11整除，这个
七位数最小值是多少？





9. 如果41位数
555999
能被7整除，那么

内应填的数是几？

20个20个





10. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.





11. 已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即abcba＝ 45×deed）,那么这个五
位回文数最大的可能值是_________.





12.一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是 。



13.将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667 整除的6位数，那么，这个6位数除以
667的结果是 〃




高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程
- 3 -

余数部分：
已知：a=1……1991,问：a除以13,余数是几？
1.
1991个1991





2. 100个7组成的一百位数,被13除后,问：
(1)余数是多少？
(2)商数中各位数字之和是多少？





3. 0------1990除以9的余数是多少？

1990个1990




4. 123123123------ 123123除以99的余数是多少？

123个123




5. 一个数除以3余2，除以4余2，这个数除以12余多少？





6. 一个三位数，除以28余25，除以29余10，求这个三位数。



7. 31453

68765

987657的积,除以4的余数是_____.





8.
88

< br>
88
乘以
66



66

的积，除以7余数是_____.
50个8
50个6
高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程
- 4 -

9. 一个三位自然数被7、8、9除的余数分别为1,2,3。求这个三位自然数。





10. 有一个大于1的整数，除365,450,314所得的余数都相同，求这个数。






11.200名同学编为1至200号面向南站成一排〃第 1次全体同学向右转（转后所有的同学面
朝西）；第2次编号为2 的倍数的同学向右转；第3次编号为 3的倍数的同学向右转；……；
第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有 名〃





12.2009×2009×···×2009的个位数字是_________.

2010个

20092009




13.有5000多根牙签，可按六种规格分成小包。如果10根一包，那么最后还剩9根。如果9
根 一包，最后还剩8根。第三四五六种的规格是，分别以8,7,6,5根为一包，那么最后也分别
剩7, 6,5,4根。原来一共有牙签_________根。





14.用1—9这9个数码连续不断地排列成一个100位数3456789。。。
这个100位数除以9余数是几？





15.求下列各数除以11的余数
4646

46

7373

73


46个4673个7 3
高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程
- 5 -

16.计算下列各式的余数
81547×118÷7 2758×3361÷9




9642×2879×4787÷13 2461×135×6047÷11





课后复习与检测
课后总结（提炼重点难点）：

















练习题：
1.四位数
A752
是24的倍数，请问A最大是多少？





2.五位数
3A07B
是275的倍数，求这个数。




高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程
- 6 -

3.下面一个1983位数
333344 

44
中间漏写了一个数字(方框),已知这个多位数被7整除，


991个3
991个4
那么中间方框内的数字是_____.





4.在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使得这个数同时是3,4,5的倍数，求这个数。





5.若五位数154xy能同时被8、9整除，求x+y=多少？





6.222……22除以13所得的余数是_____.

2000个2





7.35437

64739

687747的积,除以4的余数是_____，除以11的余数是 _____，除以9的余
数是_____。




< br>8.一筐苹果,如果按5个一堆放,最后多出3个.如果按6个一堆放,最后多出4个.如果按7
个一堆放,还多出1个.这筐苹果至少有_____个.





9.有一筐鸡蛋,当两个两个取、三个三个取、四个四个取、五个五个取时，筐内最后都是剩
一 个鸡蛋；当七个七个取出时，筐里最后一个也不剩.已知筐里的鸡蛋不足400个,那么筐内
原来共有_ ____个鸡蛋.




高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程
- 7 -

10.某厂每月生产23357个零件，年末将所有零 件装箱代售，每箱装23个。最后还剩下若干
个不够装一箱。请问：剩下多少个零件不够装一箱？






高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程
- 8 -