七年级奥数：数的整除性
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七年级奥数：数的整除性
阅读与思考
设a、b是整数，b≠0，如果一个整
数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除n，
记作b|a以，又称b为a的约数，而以称
为b的倍数，解与整数的整除相关问题常用到以下
知识：
1．数的整除性常见特征
对于具有某个条件的整数都能被整数b整除，而不具备这个条件的整数就不能被整数b整除，
这种条件就
叫做能被整数b整除的特征．
①若整数a的个位数是偶数，则2|a；
②若整数a的个位数是0或5，则5|a；
⑧若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；
④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；
⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；
⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．
2．整除的常用性质
设a、b、c、d都是整数，有
①若b|a，c|b，则c|a；
②若c|a，c|b，则c|(a±b)；
③若b|a，c|b，则[b，c]a；
④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a．
例题与求解
例1 在1，2，3…，2000这2000个自然数中，有_____个自然
数能同时被2和3整除，而
且不能被5整除．
(“五羊杯”竞赛题)
解题思路
自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即
为所求．
例2 盒中原有7个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成7个小球，将其
放
回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成7个小球后放回盒中，如此进
行，到某一时刻
魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是下面的( )．
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(“祖冲之杯”邀请赛试题)
(A)1990个
(B)1991个 (C)1992个 (D)1993个
解题思路
先从简单情形实验，探寻盒中球的总数变化的规律，这是解本例的突破口．
例3
已知整数
13ab456
能被198整除，求a、b的值．
(江苏省初一数学竞赛题)
解题思路 198=2×9×11，整数
13ab456
能被9、11整除，运用整除的相关特性建立a、b
的等式，求出a、
b的值．
例4 已知两个三位数
abc
的和def
能的和
abcdef
被37整除，证明：六位数
abcdef<
br>也
能被37整除．
(“缙云杯”邀请赛试题)
解题思路 因已知条件的数是三位数，
而
abcdef
六位数，故设法把
abcdef
．位数的形式
表示，
以沟通已知与未知的联系．
例5
求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数字
之和．
(上海市竞赛题)
解题思路 设这个四位数
abcd,
，而
111|
abcd
，且其商为a+b+c+d，从而可得关于a、b、
c、d的等式，
又因a、b、f、d是一个四位数的各位数字，从中可分析求出其值．
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能力训练
A 级
1．某班学生不到50人，在一次测验中，有
格，则有________人不及格．
2．从l到10000这1万个自然数中，有________个数被5或能被7整除。
(上海市竞赛题)
3.一个五位数
3ab98
能被11与9整除，这个五位数是______．
4.在小于1997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是______．
(A)532 (B)665 (C)133 (D)798
5.能整除任意三个连续整数之和的最大整数是______.
(A)1 (B)2
(C)3 (D)6
(第十五届江苏省竞赛题)
111
的学生得优，的学生
得良，的学生得及
732
abbcca
,,
6.如果a,b、c是三个
任意整数，那么与( )
223
(A)都不是整数
(B)至少有两个整数
(C)至少有一个整数 (D)都是整数
(TI杯全国竞赛题)
7. 一个五位数，若前三个数字表示的三位数与后两个数字表示的两
位数的和能被11整除，
判断这个五位数能否被11整除，并说明理由．
8.将一个三位数的数字重新排列所得的最大三位数减去最小的三位数正好等于原数，求这个
三位数．
(江苏省竞赛题)
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9.l，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字
abcdef
，使得三位数
abc,bcd,cde,def
能依次被4，5，3，11整除，求这
个六位数．
(上海市竞赛题)
<
br>10.173口是个四位数字，数学老师说：“我在这个口先后填人3个数字，所得到的3个四
位
数，依次可被9、11、6整除”．问：数学老师先后填人的3个数字的和是多少?
(“华罗庚金杯”邀请赛试题)
B
级
1．若一个正整数以被2，3，…9这八个自然数除，所得的余数都为
。
1，则n的最小值为_____，a的一般表达式为______．
(第十三届“希望杯”邀请赛试题)
88
□
99
<
br>99
塑能被7整除，2．一个101位的自然数．A=
88
则口盖住的数字是_
_____．
50个
50个
(北京市竞赛题)
3．一个六位
x1989y
能被33整除，这样的六位数中最大是______．
4．有以下两个数串
1，3，5，7…1991，1993，1995，1997，1999
1，4，7，10…1987，1990，1993，1996，1999
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同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个．
(A)333 (B)334 (C)335 (D)336
5．一个六位数五两
a1991b
能被12整除，这样的六位数共有( ).
(A)4 (B)6 (C)8 (D)12
6．若1059，1417，2312分别被自然数挖除时，所得的余数都是m，则n-m的值为(
)
(A)15 (B)1 (C)164 (D)174
7．某中学原
有教室若干个，每个教室有相等数量的课桌，总课桌数为539个．今年学校新
盖教学楼增加教室9个，
全校课桌数增至1080个，此时每个教室的课桌数仍然相等，且每
个教室的课桌数都比以前增多，问现
有教室多少个?
(太原市竞赛题)
8．某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，
从0001到9999
号，如果号码的前两位数字和等于后两位数字的和，则称这张购物券为“幸运券”
，试证明：
这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除．
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
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9.一个六位数，如将它的前三位数字与
后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原
数的6倍，求这个六位数．
(“五羊杯”竞赛题)
10.一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1999，求这个四位数，并说明理由．
(重庆市竞赛题)
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