小学数学奥赛教学中关于整除问题的教学设计
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在小学数学奥赛教学中关于整除问题的教学设计
刘普明
教学内容：整除问题的有关知识。
教学目标：使学生灵活掌握整除的性质和
有关特征，熟练解决生活中的一些有关
整除的问题，培养学生积极思考的精神。
教学方法：精讲多练，认真分析，逐类旁通
课时安排：4课时（一对一）
教学过程：
知识回顾：
整除就是若整数“a”
除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零。 我们
就说a能被b整除（或说b能整除a），记作
b|a，读作“b整除a”或“a能被b
整除”．注意a或者b作除数的其一为0，则不叫整除
整除的性质：
1、 如果a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除；
2、 如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除；
3、
如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整
除，反过来也成立。
数的整除特征：
1、能被2或5整除的数的特征：一个整数的个位上的数能被2或
5整除，
这个数就能被2或5整除。
2、能被4或25整除的数的特征：一个整数的十位和个
位所组成的数能被4
或25整除，这个数就能被4或25整除。
3、能被8或125整除的数
的特征：一个整数的百位、十位、个位所组成的
数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。
4、能被3或9整除的数的特征；一个数的各位上的数的和能被3或9整除，
这个数就能被3或
9整除。
5、能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上数字的和与偶数位上的数字
和的差
能被11整除，这个数就能被11整除。
6、能被7、11或13整除的数的特征：一
个数的末三位所组成的数与除末三
位数外所有数字组成的数的差能被7、11或13整除，这个数就能被
7、11或13
整除。
例题精讲
例1
、在□内填上适当的数，使五位数29□7□能被4整除，也能被3整除。
例2
、有这样两个五位数，一个能被11整除，一个能被7整除。它们的
前四位
都是9876，而末位数字不同。求这两个五位数的和。
巩固练习：
1、在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除
。
这个六位数最小是多少？
2、有一个四位数3AA1，它能被9整除。A代表的数字是几？
3、在□内填上合适的数，使六位数8□12□能被125整除，也能被9整除。
4、一个自然数与19的积的最后三位数是321，求满足条件的最小的自然数。
5、一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这
样的三位数中，最大是几？
提高练习：
1、在□内填上合适的数，使五位数2□10□能被72整除。
2、已知87654321□□这个十位数能被36整除，那么这个数个位上最小是几？
3、有9、7、2、1、0五个数字，用其中的四个数字，组成能同时被2、3、
5整
除的最小的四位数是（ ）。
4、一个六位数12□34□是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？
分解质因数
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做质因数。把一个数写成若干个质因<
br>数相乘的形式叫做分解质因数。用分解质因数的方法可以解答很多生活趣题。
例题精讲：
例1：
把18个苹果平均分成若干份，每份大于1，小于18
。一共有多少种
不同分法？ （思路：只要把18分解质因数即可。）
例2
：写出若干个连续的自然数，使它的积是15120。
例3
：将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。
2、5、14、24、27、55、56、99
思路：先将它们分别分解质因数，通过观察，
共含有8个2、6个3、2个5、
2个7和2个11。因为要把它们分成两组，且乘积相等，则一组中应
有4个2、
3个3、1个5、1个7和1个11。
例4：王老师带领同学去植树，如果王老师和学生每人植树一样多，那么他
们一共植了539棵。这个班
有多少个学生？每人植树多少棵？
思路：把539分解质因数为539＝7×7×11，如果每人植7
棵，则有76人，
如果每人植11棵，则有48人。如果每人植49棵，则有10人。
巩固练习：
1、有60个同学分成人数相等的小
组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，
不多余15人，有哪几种分法？
2、195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种站法？
3、有一个长方体，它的长宽高是一个连续的自然数，且体积是39270立方
厘米，求这个长方体的表
面积。
4、有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024。问这4个孩子各是多少岁？
提高练习：
1、有三个自然数
a、b、c，已知a×b＝30，bc＝35，c×a＝42。求a×b×c
是多少？
2、把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使两组
四个数的乘积相等。
3、植树节，老师带领同学去植树，已知老师和学
生每人植树的棵数相等，
一共植了111棵。求有多少个同学？
4、3
、小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比
座位号数大6，小青买的电影票
是几排几号？
5、下面的算式里，（ ）里数字各不相同，求这四个数字。
（ ）（ ）×（ ）（ ）＝1995
5、小英参加小学数学竞赛，
她说：“我得的成绩和我的岁数以及我得的名
次乘起来是3916，满分是100分。”能否知道小英的
年龄、考试成绩及名次？
最大公约数与最小公倍数
例题精讲：
例1 甲班有42
名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均
分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个
班的学生。每个小组最多有多少名
学生？
例2 有一张长150厘米、宽60厘
米的长方形纸板，要把它分割成若干个面
积最大，井已面积相等的正方形。能分割成多少个正方形？
例3
用长36厘米，宽24厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面，最少需要
多少块瓷砖？
例4
有一个不足50人的班级，每12人分为一组余1人，每16人分为一组
也余1人。这个班级有多少人？
巩固练习：
1、某校有男生234人，女生146人，把男
、女生分别分成人数相等的若干
组后，男、女生各剩3人。要使组数最少，每组应是多少人？能分成多少
组？
2、把330个红玻璃球和360个绿玻璃球分别装在小盒子里，要使每一个盒
里玻璃
球的个数相同且装得最多。一共要装多少个小盒？
3、一个数除40不足2，除68也不足2。这个数最大是多少？
4、一个两位数除472，余数是17。这个两位数是多少？
提高练习：
5、李明昨天卖了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。第一筐卖了1.04
元，第二
筐卖了1.95元，第三筐卖了2.34元。每1千克白菜的价钱都是按当地
市场规定的价格卖的。问三
筐白菜各是多少千克，李明一共卖了多少千克白菜？
6、
有一个长方体
的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。如
果将这块方木截成体积相等的小正方体
木块，并使每个小正方体木块尽可能大。
小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？
7、有三根绳子，第一根长45米，第二根长60米，第三根长75米。现在要
把三
根长绳截成长度相等的小段。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？
课后练习：
1、 王光用长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块拼最小的正
方体模
型。这个正方体模型的体积是多大？用多少块上面那样的长方体木块？
2、某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。第一条线路每隔8分钟发一
次车；第二条线路每
隔10分钟发一次车；第三条线路每隔12分钟发一次车。三
条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再
经过多少分钟又在同一时间发车？
3、有一筐鸡蛋，4个4个地数余2个，5
个5个地数余3个，6个6个地数
余4个。这筐鸡蛋最少有多少个？
4、文化路小学举行了一次智力竞赛。参加竞赛的人中，平均每15人有3
个人得一
等奖，每8人有2个人得二等奖，每12人有4个人得三等奖。参加这
次竞赛的共有94人得奖。求有多
少人参加了这次竞赛？得一、二、三等奖的各
有多少人？
5、有一个
电子钟，每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯。中午12点整
时，电子钟既响铃又亮灯。求下一次既
响铃又亮灯是几点钟？
6、王勇从山脚下登上山顶，再按原路返回。他上山
的速度为每小时3千米，
下山的速度为每小时5千米。他上、下山的平均速度是每小时多少千米？
7、某工厂生产一种零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时做
50个；第二道工序每个工人每小时做30个；第三道工序每个工人每小时做25
个。在要求均衡生产
的条件下，这三道工序至少各应分配多少名工人？
8、五1班同学上体育
课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少
1人，排成6行多5人。问上体育课的同学最少多少
名？ (最小公倍数同少一个
数)
余数问题
（一）
在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻
是7
时30分，再过52小时是几时几分？
我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。
很明显这个问题
的着眼点是放在余数上了。
又如：五年级学生排队出操，如果8人排一行，多出一个人；如果11人排
一行，同样多出一个人。这五年级最少共有多少人？（提示：如果把总人数减去
一人那么人数就
能被8和11整除了。）
1. 同余的表达式和特殊符号
37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7） “”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1
的自然数m所得的余数相同，就称a、
b对于模m同余，记作：
2. 同余的性质
（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）
（2）若，那么（这称作同余的对称性）
（3）若，，则（这称为同余的传递性）
（4）若，，则（）（这称为同
余的可加性、可减性）
（5）
（称为同余的可乘性）
（6）若
有趣的现象：
如果
，则，n为正整数，同余还有一个非常
那么（的差一定能被k整除）
例1
.
用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然
数最大是几？
分析与解答：
假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所
以，，说明a是以上三个数中任意两数
差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数
。
所以a最大是31。
例2
、
除以19，余数是几？
分析与解答： 如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了
，
利用同余思想解决就容易了。此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
所以
例3、
有一个1997位数，它的每个数位都是2，
商的第100位是几？最后余数是几？
分析与解答：
这个数除以13，
这个数除以13，商是有规律的。
商是170940六个数循环，那么，即，
我们从左向右数“17
0940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第
100位是9。
余数是几呢？
则
所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。
练习巩固：
1. 求下列算式中的余数。
（1） （2）
（3） （4）
2.
6254与37的积除以7，余数是几？
3.
如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？
余数问题（二）
例1、
一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余1，这个自然数最小
是几？
例2、
在求51173526被7除的余数时，小明这样做：
例3、
除以3的余数是几？为什么？
练习巩固：
1、 今天是星期日，再过
2、 求
3、
某数除680，970和1521，余数相同，这个数最大是几？
4、 有一列数排成一行
，其中第一个数是3，第二个数是7，从第三个数开始，
每个数恰好是前两个数的和，那么，第1997
个数被3除，余数是几？
除以3所得的余数。
天又是星期几？
课后练习：
1、若将一批货物共千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？若每箱装17千克，最后还余多少千克？
2、1309被一个质数相除，余数是21，求这个质数。
3、1796被一个质数相除，余数是24，求这个质数。
4、求123×345+234×456除以11的余数。
5、有一个大于1的整数，它除1000、1975、2001都得到相同的余数，那么这个
整数是
多少？
6、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱，她只记下四组各交的钱，
第一组6.3
元，第二组7.7元，第三组6.3元，第四组9.1元，又知道每本练习本价格都超过1角，求数学学习小组共有多少人？（提示：练习本单价是总价的公约数。）
提高练习：
1、若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一
个自然数相除，所得余数相
同且为两位数，除数和余数的和为（
）。（2001小学数学奥林匹克试题决赛
B卷）
2、一个自然数除以3余2，除以5余2，除以7余5，除以9余5，除以11余4，
则满足这些条件
的最小自然数是（ 257 ）。（1996年我爱数学少年冬令营试题）
3、某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值
是（
）。（1998年小学数学奥林匹克试题预赛A卷）
4、一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，那么这个数是（
）。
（1998年小学数学奥林匹克试题预赛B卷）
5、在一道有余数的除法算式中，被除数、除数，商和余数的和是599，已知商
是
15，余数是12，请问，题目中的除数是多少？（厦门实小2000-2001学年第
二学期数学科竞赛卷B组）
6、一个数被5除余3，被10除余8，被11除余9，这个数最小是多少？