大小洞天景区-2014高考作文题

数论中的整除理论在各类考试中的运用
王体桥
(西华师范大学 数学与应用数学，四川南充637000，haodesu1@)

摘要 数论是研究整数 性质的一个数学分支，而整除又是整数中的一个重要性质。整除理论是初等数论的
基础，它是在带余除法 的基础上建立起来的。整除理论的中心内容是算术基本定理和最大公约数理论。这
一理论可以通过不同的 途径来建立，而这些正反映了近代数学中的十分重要的思想、概念与方法。整除理
论在我们的中小学竞赛 、公务员考试以及研究生入学考试中，得到了很大的应用。它不仅能考查应试者的
计算、分析能力，还能 考查其逻辑推理与举一反三的能力。
关键词 整除理论，数论，中小学竞赛，公务员考试，研究生考试
Aliquot theory in the application of all kinds of
exams in number theory
（Department of
mathematics and applied mathematics
, China West Normal University, Nan Chong
637000,E-mail: haodesu1@）
Abstract Number theory is the study of integer nature of a branch of mathematics, and divisible is an
important property of an integer. Aliquot theory is the basis of elementary number theory, it is in
established on the basis of the center of the divisible theory content is a basic theorem of the
arithmetic and the greatest common divisor theory. This theory can through different ways to set up,
which is reflected the modern mathematics the important thoughts, concepts and methods. Aliquot theory
in our elementary and middle schools, civil service exam, and in the postgraduate entrance examination
competition, get a lot of can not only test the candidate's calculation, analysis ability, also
can test the ability of the logic reasoning and extrapolate.
Keywords Aliquot theory, Number theory, Competition of primary and secondary schools, Civil service
exam, Postgraduate examination.

一、整除理论的主要内容

1、基本含义

整除是指整数a除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零。我们就 说a能被b整
除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。它与除尽既 有区
别又有联系。除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我
们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）。因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、
除数以及商 都是整数，而余数是零。除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以
是整数，也可以是有限小 数，只要余数是零就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特
殊情况。
2、基本概况
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整数集的一个 关系，初等数论最基本概念之一。对整数
a
，
b
（
b
≠0） ，若存在整数
c
，
使
a
＝
bc
，则称
b< br>整除
a
，或称a，能被b整除,记作
b
｜
a
，
b
称为
a
的因数，
a
称为
b
的倍
数。整 除有下列基本性质：①若
a
｜
b
，
a
｜
c
，则
a
｜
b
±
c
。②若
a
｜
b< br>，则对任意
c
，
a
｜
bc
。
③对任意
a
，±1｜
a
，±
a
｜
a
。④若
a｜
b
，
b
｜
a
，则｜
a
｜＝｜
b
｜。对任意整数
a
，
b
，
b
＞0，存在唯一的 整数
q
，
r
，使
a
＝
bq
＋
r< br>，其中0≤
r
＜
b
，这个事实称为带余除法定理，是
整除理论 的基础。若
c
｜
a
，
c
｜
b
，则称
c
是
a
，
b
的公因数。若
d
是
a
，
b
的公因数，且
d
可被
a
，
b
的任意 公因数整除则称
d
是
a
，
b
的最大公因数。当
d< br>≥0时，
d
是
a
，
b
公因数
中最大者。若< br>a
，
b
的最大公因数等于1，则称
a
，
b
互 素。累次利用带余除法可以求出
a
，
b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。又 称欧几里得算法。

3、基本性质

整除有下列基本性质：①若a ｜b，a｜c，则a｜b±c。（b>c）②若a｜b，则对任意c
（0除外），a｜bc。③对任意a ，±1｜a，±a｜a。④若a｜b，b｜a，则｜a｜＝｜b｜。对
任意整数a，b，b＞0，存在唯 一的整数q，r，使a＝bq＋r，其中0≤r＜b，这个事实称为
带余除法定理，是整除理论的基础。 若c｜a，c｜b，则称c是a，b的公因数。若d是a，
b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整 除则称d是a，b的最大公因数。当d≥0时，d
是a，b公因数中最大者。若a，b的最大公因数等于 1，则称a，b互素。累次利用带余除
法可以求出a，b的最大公因数。
4、基本规律

整除与除尽既有区别又有联系。除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是 整数或有
限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）。因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零。除尽并不局限于整数范围内，
被除数、 除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了。它们之间的
联系就是整除是除尽的 特殊情况。
二、

整除理论与数论之间的关系
整除理论是初等 数论的基础，它是对在小学就学过的关于整数的算术，主要是涉及除
法运算的内容，作抽象的、系统的总 结，在讨论中不能涉及分数。这看起来似乎很简单，但
是它的内涵是十分重要而深刻的。数论中的整除理 论内容包括最大公约数理论和数学中最重
要、最基本、最著名的定理之一—算术基本定理，即每个大于1 的正整数必可唯一地表示为
若干个素数的乘积。特别是初步讨论了自然数即正整数最重要的两个性质：自 然数的归纳原
理及由此推出的最小自然数原理，这是建立整除理论的基础。建立整除理论的重要工具有带
余除法及辗转相除法，利用带余除法建立了完整的最小公倍数与最大公约数理论。归纳原理
与鸽 巢原理是整除理论中的重要原理。它们对我们解答各类考试中有关整除理论知识的证明
题有很大的帮助。
三、整除理论在中小学竞赛中的运用

以奥林匹克竞赛试题为依托，就中小学数 学竞赛中所涉及的初等数论中整除理论问题，
根据运用整除理论知识进行解题的方法与中小学数学竞赛试 题中的解题方法，总结出作为竞
赛辅导老师应具备对于相关知识的本质内容的理解并能对不同方法进行甄 别、优化，以此作
为对中小学生进行竞赛辅导的依据。
例1、（2007年第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛）
某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是多
少？
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【解析】根据带余除法 与整除的性质，这个数减1能同时被2、4、5整除，这个数加1
能被3整除。
[2,4,5]=20，
所以这个数可表示成20k+1的形式，其中k为自然数，
由这个数加1能被3整除，得
(20k1)12k2
6k
（其中k为自然数）是整数。
33< br>2k2
2k2
经检验可知，当k=0,1时，不是整数；当k=2时，
3< br>是整数，
3
所以满足题意的自然数最小是20×2+1=41。
【点评】本 题很好的考查了初等数论中整除理论的相关知识，主要运用到带余除法和整
除性质来求解。不仅考查了学 生的理解、分析能力，而且考查了学生的转化与逆向思维。
例2、（1984年北京市初二数学竞赛试题）
证明：对任给的一个正整数N，总存在一个适 当交换1984的位数所得的四位数
使得7|（
Na
3
a
2
a
1
a
0
）。
a
3
a
2
a
1
a
0
,
【分析】本题是证明存在性问题。由于任意整数N的不确定性，使得我们不可能对每一
个N都进行讨论， 但可以通过按余数分类化无限为有限来讨论。事实上，不论N为何值，
它关于模7的余数不外乎是0,1 ,2,3,4,5,6这七个值之一。因此，所有正整数实际上可被分
成七类，即7k，7k+1，„7 k+6(
kN
)。于是，证明本题的关键是：对上述每一类去找四
位数
a< br>3
a
2
a
1
a
0
,
使得7|Na
3
a
2
a
1
a
0
。这就是要求 对应的
a
3
a
2
a
1
a
0
, < br>与N关于模7的余数应
该“互余”，即它们关于模7的余数之和等于7。由1,9,8,4组成的 四位数（无重复数字）共
有24个，只需证在这24个数中，一定有7个数关于模7的余数恰好是0,1 ,2,3,4,5,6。
4
【证明】由1,9,8,4这四个数字可以排列成
A4
24
个无重复数字的四位数。不难验证，
在这24个数中总可以找到关于模7 的余数分别为0,1,2,3,4,5,6的7个数，例如
1498=214×7+0， 1849=264×7+1， 1948=278×7+2， 1984=283×7+3，
1894=270×7+4， 1489=212×7+5， 9184=1306×7+6.
因此，对任意正整数N，设
Nr(mod7)(0r6)
，在上面的7个数中，取相关 模7
的余数为7-r的数作为对应的
a
3
a
2
a
1
a
0
,
则必有7|
Na
3
a
2
a
1
a
0
。
例3、数学万花筒——趣题欣赏：
鬼谷 子问题：传说在春秋战国时期，鬼谷子随意从2-99中选取了两个数。他把这两个
数的和告诉了庞涓， 把这两个数的乘积告诉了孙膑。 但孙膑和庞涓彼此不知到对方得到的
数。第二天，庞涓很有自信的对孙 膑说：虽然我不知到这两个数是什麽，但我知道你一定也
不知道。随后，孙膑说：那我知道了。庞涓说： 那我也知道了。问这两个数是什么？这个原
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问题可能很复杂，现在告诉你这两个数都在2-15中（但是庞涓和孙膑 不知道），你能指出孙
膑和庞涓每句话的逻辑含义和这两个数么？
【解析】2个人都不知道 说明两个人得到的数都存在不止一种的分解方法，庞涓的话说
明讲他得到的数分解成两个数的和，这两个 数的乘积都存在另一种分解方式，而之后孙膑的
话说明庞涓的话告诉他，庞涓得到的数只能是5-197 之中的某几个，而他所得到的乘积的
各种分解方式中只有一种所得到的和在庞涓可能得到的数种。而庞涓 最后一句话则说明，孙
膑对于自己的数的猜测让庞涓否定了和的其他分解方式。
具体解法是 考虑庞涓得到的数，一定是5-29，先否定质数+2，可以分解成两个质数的
和的偶数，还剩下6、8 、11、17、23、27、29. 容易否定6、8，然后对于每种和的分解利
用庞涓最后也能知道逐一否定，得到唯一解4和13。
五、整除理论在公务员考试中的运用

公务员考试中整除理论的应用环境：第一 ，在文字描述上出现整除的时候，比如出现了
“每”“平均”“倍数”等明显的整除字眼。第二，在数据 上体现出整除的时候，比如出现
了分数、百分数、比例、小数等。第三，在计算上用整除的时候，比如列 式之后，式子很复
杂，很难解。一般来说，和差倍比问题，特别是遇到含百分数、分数和比例的问题，可 以根
据题目中的倍数关系，利用整除性解题。一些多位数问题，也可以利用数的整除性绕过复杂
的分析，直接排除错误选项来解题。
例4、某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6 %，女员工人数比去年
增加5%，员工总数比去年增加3人。问今年男员工有多少人?
A.329 B.350 C.371 D.504
【解析】此题答案为A。今 年男员工人数比去年减少6%，则设去年有男员工x人，
去年女员工有(830-x)人。根据今年员工 数=去年员工数+3，可得
(1-6%)x+(1+5%)(830-x)=830+3
解得x=350，则今年男员工有(1-6%)x=94%x=329人，也可根据今年男员工比去 年
少直接选A。
利用整除性快解：考虑到员工数是整数这个特点，可以直接从今年男员工 数是去年
的94%入手，选项中只有329除以94%是整数。故直接选A。
例5、两个派出 所某月内共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑
事案件，乙派出所受理的案件中 有20%是刑事案件，问乙派出所在这个月共受理多少起非
刑事案件?
A 48 B 60 C 72 D 96
【解析】由题干可知甲派出所受理的案件17%都是刑 事案件，由于案件数必须为整
数，所以甲派出所受理了100件案件，则乙派出所受理了60件，而其中 20%是刑事案件，
故乙派出所受理了60×80%=48件非刑事案件，选择A项。
例6、 某种汉堡包每个成本4.5元，售价10.5元，当天卖不完的汉堡包即不再出售。
在过去十天里，餐厅 每天都会准备200个汉堡包，其中有六天正好卖完，四天各剩余25个，
问这十天该餐厅卖汉堡包共赚 了多少元?
A 10850 B 10950 C 11050 D 11350
【解析】由于每个汉堡包卖出去则盈利6元，未卖出去则亏损4.5元，均为3的倍数，
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而且汉堡包的数量为整数，故最后赚的钱数一定为3的倍数，只有B选项满足。

数 量关系题目常见形式就是我们从小就异常熟悉的“应用题”，应用题在无限宽裕的时
间里，应用题对于任 何一个掌握了初等数学知识的人都不会是难题，只要能列方程就一定能
出结果，但是在时间紧迫的行测考 场当中，想要赢，关键就是速度，速度是决胜行测考场的
制胜法宝。如何能够做到快速解题，整除理论就 是必备必杀技中的一种。整除理论，说到整
除，非常简单，就是通过倍数关系来快速锁定答案。

总之，整除理论在公务员考试当中的应用是非常广泛的，因而需要广大考生重视，并且
要经 过充分地练习从而把握整除的核心，以便在考试中快速选出选项，节约我们有限的作答
时间。
六、整除理论在研究生入学考试中的运用
研究生入学考试数学题中的整除题是研究生数学考试 中的一个难点，研究生数学考试题
中的整除问题对于很多理工科的考生来说并不是问题，但是对于文科考 试来说，难度还是很
大。下面是我简单总结的研究生数学考试题中与整除理论的一些特点：
1、被2，4，8整除的特点：
譬如说一个数3472，要知道被2整除余几，就看最后一位 2除以2，余几原数3472
被2除就余几，能整除则原数也能整除;被4除时，要看后两位72被4除 余几，原数被4
除就余几，能整除则原数也能整除;被8除时，要看最后3位472被8除余几，原数被 8除
就余几，能整除则原数也能被8整除。
2、被3，9整除的特点：
还是举一个 例子，3472，把这个数每一位都加起来：3+4+7+2=16，1+6=7，加完以后
得的数除以 3余几，原数除以3就余几，如果能整除则原数也能被3整除;加完后的数被9
除余几，原数被9除就余 几。
3、被6除时：
分别考虑被2，和被3除时的情况
4、被5除时：
一个数最后一位除以5余几，原数被5除就余几。
5、被11除时：
错位相加再相减。譬如说3472错位相加再相减的过程就是(3+7+1)-(4+2)=5
最后一位数5去除以11，能整除则原数3472就可以被整除，如果不能整除则原数不
能被11整除 。
例7、将1至9个数字写在一条纸带上，将它剪成三段，每段上数字联在一起算一个数，
把 这三个数相加，使和能被77整除，那么中间一段的数是（ ）。
【解析】
1、9个数字组成三个数，有以下几种情况
7,1,1（表示7位数，1位数，1位数，下同）
6,2,1
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5,3,1
5,2,2
4,4,1
4,3,2
3,3,3
这七种
2、结合11整除的特征可得到如下结论：
一位数除以11余它本身；二位数因为数字相邻余 1；三位数因数字连续，余中间数字
（或者第一个数字加1）；四位数余2,；五位数因数字连续，与第 一个数字加2；六位数余3；
七位数余第一个数字加3.
3、根据第二条，很快就能把很多情 况否定掉。最后得到的被11整除的情况只有以下
四种情况：
1＋234＋56789，12 ＋3456＋789，1234＋56＋789，123456＋7＋89
这里举个例子，例如5,2 ,2情况，因为二位数都是余1，所以5位数必须余9.这样五位
数第一位数字就得是7，不可能。
4、然后再验证以上结果是否能被7整除即可。
5、还有几个技巧，非常不错，结合起来使用，会让这道题变得更有趣。
就是1-9，这九个 数字不管怎么组合，他们的数字之和都是能被9整除的，所以他们的
和也一定是9的倍数，
他们又是77的倍数
所以他们的和一定是77×9×？
总结：本题用到的更多的是11整除的特征以及枚举，并且最后要验证是否被7整除！
以上就 是一些基本的研究生数学考试题中的整除题解法，虽然看起来复杂，但运用的时
候对解题很有帮助。

参考文献
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