沉默的证人电影-给老师的一封信500字

数论初步(一)
主讲老师：李晓均
整数的整除性
定义：设a，b 为二整数，且b≠０，如果有一整数c，使a＝bc，则称b是a的约数，a
是b的倍数，又称b整除a ，记作b|a.
显然，１能整除任意整数，任意整数都能整除０.
性质：设a，b，c均为非零整数，则
①．若c|b，b|a，则c|a.
②．若b|a，则bc|ac
③．若c|a，c|b，则对任意整数m、n，有c|ma＋nb
④．若b|ac，且(a，b)＝1，则b|c
证明：因为(a，b)＝1
则存在两个整数s，t，使得
as＋bt＝1
∴ asc＋btc＝c
∵ b|ac  b|asc
∴ b|(asc＋btc)  b|c
⑤．若(a，b)＝1，且a|c，b|c，则ab|c
证明：a|c，则c＝as(s∈Z)
又b|c，则c＝bt(t∈Z)
又(a，b)＝1
∴ s＝bt'(t'∈Z)
于是c＝abt'
即ab|c
⑥．若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c
⑦．(a－b)| (a
n
－b
n
)(n∈N)，(a＋b)|(a
n
＋bn
)(n为奇数)
整除的判别法：设整数N＝
a
1
a
n1
a
2
a
1

①.2|a
1

2|N ，
5|a
1


5|N
②.3|a
1
＋a
2
＋…＋a
n

3|N
9|a
1
＋a
2
＋…＋a
n

9|N
③.4|
aa



4|N
a




25|N 25|
a
④.8|
aaa

8|N
aa

125|N
aa
aa
|

7|N
|

11|N
125|
a
⑤．7||
an
a
n1
a
4
－
a
⑥．11||
a
n
a
n1
a
4
－
a

⑦．11|[(a
2n
＋
1
＋a
2n
－
1
＋…＋a
1
)－(a
2n
＋a
2n
－
2
＋ …＋a
2
)]


11|N
⑧．13||
a< br>n
a
n1
a
4
－
aaa
|
< br>13|N
推论：三个连续的整数的积能被６整除.
例题：
1.设一个五位 数
abcad
，其中d－b＝3，试问a，c为何值时，这个五位数被11整除.
解：11|
abcad

∴ 11|a＋c＋d－b－a
即11|c＋3
∴ c＝8
1≤a≤9，且a∈Z
2.设72|
a673b
，试求a，b的值.
解：72＝8×9，且(8，9)＝1
b
，且9|
a673b
∴ 8|
a673
∴ 8|
73b
 b＝6
且 9|a＋6＋7＋3＋6
即9|22＋a
∴ a＝5
3.设n为自然数，A＝3 237
n
－632
n
－855
n
＋235
n
，
求证:1985|A.
证明：∵1985＝397×5
A＝(3237n
－632
n
)－(855
n
－235
n
)
＝(3237－632)×u－(855－235)×v(u，v∈Z)
＝5×521×u－5×124×v
∴5|A
又A＝(3237
n
－85 5
n
)－(623
n
－235
n
)
＝(3237－855)×s－(623－235)×t(s，t∈Z)
＝397×6×s－397×t
∴ 397｜A
又∵(397,5)＝1
∴397×5｜A
即1985｜A
4.证明：没有x，y存在，使等式x
2
＋y
2
＝1995(x，y∈Z)成立.
证：假设有整数x，y存在，使x
2
＋y
2
＝1995成立。
∵x
2
，y
2
被４除余数为０或１.
∴x
2
＋y
2
被４除余数为０，１或２.
又∵1995被４除余数为３.
∴得出矛盾，假设不成立.

故没有整数x， y存在，使x
2
＋y
2
＝1995成立.
费马小定理：若p是素数，(m，p)＝1
－
则 p|m
p1
－1
5.试证：999…9能被13整除.
12
个

证明：∵10－1＝9,100－1＝99,…‚10
12
－1＝999…9.
个

12

又（10,13）=1
－
∴13｜(10
131
－1),即13｜(10
12
－1)
∴13 ｜999…9.
个

12

6.请确定最小的正整数A，其末位数是6，若将未位的6移至首位，其余数字不变，其值变
为原数的 4倍.
解：设该数为A＝
a
n
a
n1
a
n2
a
1
，其中a
1
＝6
令x＝
a
na
n1
a
n2
a
2

则A＝
x6
＝x·10＋6
于是4A＝
6x
＝6×10
n1
＋x
－
即有4×10x＋24＝6×10
n1
＋x
－
2(10
n1
4)
x＝
13
∵ (2，13)＝1，x是整数
－
∴ 13|(10
n1
－4)
－
n＝1，2时，10
n1
－4＜10显然不满足条件
－
n＝3时，10
n1
－4＝96 不满足条件
－
n＝4时，10
n1
－4＝996 不满足条件
－
n＝5时，10
n1
－4＝9996不满足条件
－
n＝6时，10
n1
－4＝99996 满足条件
299996
∴ x＝＝15384
13
即A＝153846
7.一个正整数，如果用７进制表示为
abc
，如果用５进制表示为
cba
， 请用10进制表示这个数.
解：由题意知：0＜a,c≤4,0≤b≤4,设这个正整数为n,则
n＝
abc
＝a×7
2
＋b×7＋c, n=
cba
=c×5
2
＋b×5＋a
∴49a＋7b＋c＝25c＋5b＋a
48a＋2b－24c＝0
b＝12(c－2a)
∴12｜b,

又∵0≤b≤4
∴b＝0,
∴c＝2a
∴当a＝1,c＝2时，n＝51
当a＝2,c＝4时，n＝102
练习：
1.证明：设N＝1988
1988－1986
1986
，则1987∣N
2.设n是自然数，求证n
5
－n可被30整除.
3.请确定最小的正整数 A，其末位数为2，若将末位数2移至首位，其余数字不变，则是原
数的2倍.
4.一个正整 数，若用9进制表示为
abc
，若用7进制表示为
cba
，请用10进制表示 此数.
5.五位数
4a67a
能被4整除，最末两位组成的数
7a
能被6整除，求此五位数.


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