7.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“ 神秘
数”．如：4=2
2
-0
2
，12=4
2
-2
2
，20=6
2
-4
2
，因此4，12，20这三个数都是 神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2 k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构
造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？





18.利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
1< br>a
2
b
2
c
2
abbcac(ab)
2
(bc)
2
(ca)
2

2
概 念等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简
洁、美观
（1）请你检验这个等式的正确性；
111
x20
，
bx19
，
cx21
（2）若
a
202020

你能很快求出
a
2
b
2
c
2
abbcac
吗？





9．任意写一个个位数字不为零的四位正整数A，将该正整数A的各位 数字顺序
颠倒过来，得到四位正整数B，则称A和B为一对四位回文数．例如A＝2016，B
＝6102，则A和B就是一对四位回文数．现将A的回文数B从左往右，依次顺取
三个数字组成一个新 数，最后不足三个数字时，将开头的一个数字或两个数字顺
次接到末尾．在组成三位新数时，如遇最高位 数字为零，则去掉最高位数字，由
剩下的两个或一个数字组成新数，将得到的所有新数求和，把这个和称 为A的回
文数B作三位数的和．例如将6102依次顺取三个数字组成的新数分别为：610，
102，26，261．它们的和为：610+102+26+261=999，把999称为2016的回文数
作三位数的和。
（1）请直接写出一对四位回文数；猜想一个四位正整数的回文数作三位数的 和
能否被111整除？并说明理由；
（2）已知一个四位正整数
1x1y
（ 千位数字为1，百位数字为
x
且0≤
x
≤9，十位
数字为1，个位数 字为
y
且0＜
y
≤9的回文数作三位数的和能被27整除，请求
出< br>y
与
x
的数量关系．




5 8

10．如果一个正整数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫 做奇
异数. 例如

42
2
0
2
,124
2
2
2
，4和12就是奇异数，两个连续正偶数分别用
2k2
和
2
k
表示（
k
是非负整数）.
（1）小雷说一个奇异数一定是4的倍数，你能说出其中的理由吗？
（2）小华说：“不是所有的 4的倍数都是奇异数.”你认为她的说法对吗？若
认为正确，请举出一个不是奇异数的4的倍数.
（3）如果一个正整数能写成两个连续非负奇数的平方差，我们就把这个数叫
做美丽数.
①若一个美丽数一定是
m
的倍数，则
m
= .
②
m
的倍数一定 (填“是”或“不是”)美丽数.
③是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若 存在，请写出一
个这样的数；若不存在，请简要说明理由.










11. 我们可以将任意三位数表示 为
abc
（其中a、b、c分别表示百位上的数字，
十位上的数字和个位上的数字，且
a0
）.显然，
abc100a10bc
；我们把
形如xyz
和
zyx
的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x、y、z是三个连续的 自
然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”。
（1）写出任意三对“姊妹数”， 并判断2331是否一对“姊妹数”的和
（2）如果用x表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除。











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12.若在一个两位正整数N的个位数字和十位数字之间添上数字2，组成一 个新
的三位数，我们称这个三位数为N的“诚勤数”，如34的“诚勤数”为324。
若将一个 两位正整数M加上2后得到一个新数，我们称这个新书为M的“立达
数”，如34的“立达数”为民36 .
（1）对于任意一个两位正整数A，其“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；
（2） 若一个两位正整数B的“立达数”的各位数字之和是B的各位数字之和
的一半，求B的值。













13.若一个正整数p能表示为两个不相等正整数a,b（a2
+b
2
,
则称p为斜平方和数，而数对（a,b)称为p的 斜平方和分解，记为F(p)=(a，
b)，比如：∵202=81+121=9
2
+ 11
2
，∴F(202)=(9,11).
（1）探究：如果正整数p是斜平方和数 ，那么2p也一定是斜平方和数吗？请先
任意举两例验证这个猜想，如果你认为该猜想正确，请证明，否 则请给出反例；
（2）证明：如果一个正整数是斜平方和数，那么它的5倍一定是斜平方和数。


















7 8

14．阅读材料，回答问题：若整数
m
是8的倍数，那么称整数
m
为“发达数”．例
如，因为16是8的倍数，所以16是“发达数”．
（1）已 知整数
m
等于某个奇数的平方减1，求证：
m
是“发达数”．
（2 ）已知两位正整数
t10xy
（
1xy9
，其中
x
、
y
为自然数），交换
其个
位上的数字和十位上的数字得到新数s，如果 s加上t的和是“发达数”，求
出所有符合条件的两位正整数
t
．













15．一个正整数，由
N
个数字组成，若它的第一位数可以被1 整除，它的前两位
数可以被2整除，前三位数可以被3整除，„，一直到前
N
位数可以 被
N
整除，
则这样的数叫做“精巧数”．如：123的第一位数“1”可以被1整除， 前两位
数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“精巧数”．
（1）若四位数
123k
是一个“精巧数”，求
k
的值；
（2）若一个三位“精巧数”
2ab
各位数字之和为一个完全平方数，请求出所有
满足 条件的三位“精巧数”．
解：（1）∵四位数是一个“精巧数”，
∴1230+k是4的倍数；
即1230+k=4n，
当n=308时，k=2；当n=309时，k=6，
∴k=2或6；
（2）∵是“精巧数”，∴a为偶数，且2+a+b是3的倍数，
∵a＜10，b＜10，∴2+a+b＜22，
∵各位数字之和为一个完全平方数，
∴2+a+b=3
2
=9，
∴当a=0时，b=7；当a=2时，b=5；当a=4时，b=3；当a=6时，b=1，
∴所有满足条件的三位“精巧数”有：207，225，243，261．„„„„„„„（10
分）

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