用草长莺飞造句-去旅游

2013年寒假专题训练
专题二：整除、余数问题
【一】基础训练 1.用1～6这6个数字(每个数字只能用一次)，组成一个六位数
abcdef
，使得三
位数
abc
、
bcd
、
cde
、
def< br>能依次被4、5、3、11整除。求这个六位数。
解：因为
5|bcd
，所以
d5
。又因
11|def
，所以，
dfe
是11的倍数。但
是
1e
6，
3
df5611
，因此，只能
dfe
=0，即5+
fe
。又
e
6，
f1
，故
只能
f1
，
e6
。
又因3
|cde
，即3
|c56
，所以，
c5
能被3整除。而
4|abc
，可知
c
为偶数，只
能
c4
。进一行推知
b2
，
a3
。故
abcd ef324561
。

2.只修改21475的某一位数字，就可以使修改后的数能被225整除。怎样修改？
解题思路：
本题有四种符合要求的答案，就看你考虑问题是不是全面了。因为225＝25< br>×9，所以要修改后的数能被225整除，就是既能被25整除，又能被 9整除。
被25整除不 成问题，末两位数75不必修改，只要看前面三个数字。有2＋1＋
4＋7＋5＝19＝18＋1＝27 －8，不难得出上面四种答案。
解：



3.如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？

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解：因为199299÷105＝1898……9， 所以199299－9＝199290就是105的倍
数，所以填的两位数是90。

4.某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最
后三位 数字依次是多少？
解题思路：
依题意，能同时被2和5整除的数，其个位一定是0，其次该 数若是8和9的倍
数就一定是2、3、4、6的倍数，所以所求的数只需满足能被7，8，9整除。 < br>(1)若能被9整除，百位与十位的和就是5或14，后三位有可能是500，410，
320， 230,140，050，950，860，770，680，590；(2)把上面的数用8来检查，
即8的倍数应该检查末三位，
只有320和680；(3)最后用7来检查，只有320可以。所以最后的三位数是320。
解：

5.用数字6、7、8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除。这个六位数
是多少？
解题思路：
168＝7×3×8，要是7的倍数，那么这个题中就一定是
abcabc
的形式。
abcabc
＝1001×
abc
，那么
abc
必须是3和 8的倍数，6＋7＋8＝21，保证了3
的倍数，而要满足能被8整除就只有768，所以六位数是76 8768。

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6. 找出四个不同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的
差整除。如果要求这四个数 中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这四个
数里中间两个数的和是多少？
解题思路：
如果最小的数是1，则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和
3两数，因此最小 的数必须大于或等于2。所以先考察2、3、4、5这四个数，
仍不符合要求，因为5＋2＝7，不能被 3整除。再往下就是2、3、4、6，经试
算，这四个数符合要求。

7.把若干个 自然数1、2、3、……乘在一起，如果已知这个乘积的最末13位恰
好都是0，那么最后那个自然数最 小应该是多少？
解：1×2×3×4×5…×50，50÷5＝10(个)5的倍数，50÷25＝2(个) 25的倍 数。即1
×2×3×4×5…×50的积中有12个0，所以(1×2×3×4×5…×55)的乘积的 最末13
位恰好都是0。即乘到最后的那个自然数最小应该是55。

8.975× 935×972×□，要使这个连乘积的最后四个都是0，那么方框内的数最小是
多少？
解： 四个0就说明至少4个2和4个5，975中2个5，935中1个5，972中
2个2，还差1个5和 2个2，所以方框中至少是2×2×5＝20。

9.试找出这样的最小自然数，它可被11整除，它的各位数字之和等于13。

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解：显然，这样的自然数不可能为两位数，因为如果 是两位数，则必然具有形式
xx
，但
xx2x
为偶数，与它的各位数字之 和等于13矛盾。设所求之数为三
位数
xyz
。即①：
xyz13；②：
xyz
是11的倍数；③：所求之数为最
小。有④：
xy z
=11。①－④得
y1
。于是
xz
12，由于
z 9
，从而
x3
。
当
x3
时，
z9
。 所以，所求的最小自然数是319。

10.173□是个四位数字。数学老师说：“我在这 个□中先后填入3个数字，所得到
的3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入 的3个数字
的和是多少？
解：因为能被9整除的四位数的各位数字的和是9的倍数，并且四位 数173□的
数字的和为：1＋7＋3＋□＝11＋□，因为□内的数字最大不超过9，所以□内只能< br>填7。因为能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字
和所得到的差是1 1的倍数。所以(7＋□)－(1＋3)＝3＋□应是11的倍数。同理：
□内只能填8。因为能被6整 除的自然数是偶数，并且数字和是3的倍数，而1
＋7＋3＋□＝11＋□由此可知□内只能填4。7＋ 8＋4＝19。所求的和是19。

11.一个两位数去除251，得到的余数是41。求这个两位数。
分析：这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数。解题可从带余除
式入手分析。
解：

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12.用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16。被除数、除数、商数与
余数的和是 933，
求被除数和除数分别是多少？
解：被除数=除数×商＋余数，即被除数＝除数×40＋16。
由题意可知：被除数＋除数＝ 933－40－16＝877，所以（除数×40+16）+除数
=877。
所以，除数×4 1＝877－16，除数=861÷41，除数=21，所以被除数=21×
40+16=856。
答：被除数是856，除数是21。

13.两数相除商是8，余数是16，被除数、除数、商和余数的和是463。被除数
是多少？
解：


14. 一个两位数除474，余数是6，求符合条件的所有两位数。
分析：被除数是474，余数是6，那么 ，被除数－余数＝除数×商，因此可以求
出除数与商的积，然后将这个积分解质因数，求出它的两位数约 数即可。
解：

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15.用5除余2，用6除余5的数，求1—200中所有这样的数。
解：［5，6］＝30 ，被5除余2的数有：7，12，17，…，而在这一列数中，被
6除余5的数最小是17。所以满足条 件的数就有：
17＋30×0＝17； 17＋30×1＝47； 17＋30×2＝77； 17＋30×3＝107；
17＋30×4＝137； 17＋30×5＝167； 17+30×6＝197。

16.一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是多少？
解：200－ 5＝195，300－1＝299，400－10＝390，则195，299，390均能被
所求的数 整除．
195＝13×15，299＝13×23，390＝13×30
故同时能整除195，299，390的数为13。

17.某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？
解：十月份 共有31天，每周共有7天，因为31＝7×4＋3，所以根据题意可知：
有5天的星期数必然是星期四 、星期五和星期六。所以这年的10月1日是星期
四。

18.3月18日是星期日 ，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第
二天），15日（第三天），…）的第199 3天是星期几？
解：每周有7天，“从3月17日作为第一天开始往回数1993天”,换句话为“从 3
月18日作为第一天开始往回数1994天”。即：(1993＋1)÷7＝284（周）……6

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（天），从星期日往回数6天是星期二，所以第1993天必是星期二。

19.一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。
分析：“除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。
解：




20.一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。





21.某个月里有三个星期日的日期为偶数，请你推算出这个月的15日是星期几。
解：三个星期日的偶数日期分别为2、16、30号。所以这个月的15日是星期六。
22.一些桔子分给若干个人，每人5个还多余10个桔子。如果人数增加到3倍
还少5个人，那么 每人分2个桔子还缺少8个，问有桔子多少个？
分析：先要转化条件“3倍还少5人”。
假 设再补10个桔子，同时可以再补5个人，(把“少5人”这一条件暂时搁置一边)
只考虑3倍人数，也 相当于按原人数每人给2×3＝6（个）。所以原题更直观地理

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解为 “每人5个还多余10个桔子，每人分6个桔子还缺少18个桔子(补的10＋
本来缺的 8个）。”所以原有人数28÷(6－5)＝28（人）。
桔子总数是5×28＋10＝150（个）。
答：有桔子150个。

2 3.小明骑自行车从甲地到乙地去。出发的时候，心里盘算了一下，慢慢地骑，
每小时骑10千米，下午 1点才能到；使劲地赶路，每小时骑15千米，上午11
点就能到。小明要中午12点到，每小时应骑多 少千米？
解：1点到比11点到多用2小时，相差10×2＝20千米。每小时多骑(15-10)千
米，需要：20÷(15－10)＝4（小时）提前骑完这20千米。
甲地到乙地距离是15 ×4＝60(千米)，要12点到，每小时应骑60÷(4＋1)＝12(千
米)。答：要12时到，每 小时应骑12千米。

24.一筐苹果，如果按5个一堆放，最后多出3个。如果按6个一堆 放，最后多
出4个。如果按7个一堆放，还多出1 个。这筐苹果至少有几个？





25.求被6除余4，被8除余6，被10除余8的最小整数。

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26.求被6除余4，被10除余8，被9除余4的最小整数。





27.求被4除余2，被6除余4，被9除余8的最小整数。





28.求被3除余2，被7除余3，被11除余4的最小整数。





29.一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小的数是 多

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少？





30.小胖的爷爷买回一筐梨，分给全家人。如果小胖和小妹二人每人分4个，其
余 每人分2个，还多出4个，如果小胖1人分6个，其余每人分4个，又差12
个。那么小胖家有几个人， 这筐梨子有几个？



31.假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、 13人一列、17人一列都剩3人，
则兵有多少？



32.求被5除余2，被6除余5，在100至200之间所有这样的数。



33.一个自然数被5，6，7除时余数都是1，在10000以内，这样的数共有多少

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个？



34.有一个整数，用它去除63、91、129得到三个余数之和是25，这个整数是
多少？


35.求被5除余2，被7除余2，被9余1的二位数。



36.一个布袋中装有小球若干个。如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5
个 或7个，最后都剩2个。布袋中至少有小球多少个？



37.已知：
a1
，问：
a
除以13，余数是几？
1991个1991


38.在100至200之间，有三个连续的自然数 ，其中最小的能被3整除，中间的
能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数。

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39.有一个数， 甲将其除以8，乙将其除以9。甲所得的商数与乙所得的余数之和
为13。试求甲所得的余数。