创业想法-阿长与山海经教学设计

初等数论

前三十二届，不完全统计，数论有51题，
占总数（194）的26.3%。90年在我国召开
的第三十一届，有五题为数论题，被戏称为
数论年。在IMO中，涉及数论知识的主要有
三块：整除、同余和求解不定方程。

整 除
一、 基本理论：
1． 整数是离散的 ：x
x≤y-1
2．a∣b且a∣c，则

x、y

z，有a∣bx+cy
3．
bz,b0,d
1
,d
n
是b的全体约数，则
bd
1

bd
n
也是b的全体约数。
4．m个相邻整数之积可以被m!整除。
5．素数与合数
pz,p0,p 1,
除
1,p
外，p没有其他约
数，则p叫素数。
（1）a>1，p为素数，且a∣p，则a=p；
（2）a为合数，则

p素数，使p∣a；
（3）P为素数，P∣
a
1
a
2
a
n
，则P∣
a
（
i
i=1，
2，

，n）中至少有一个成立。

6．带余除法
设b>0,
aZ,
唯一的q 、r，使
a=qb+r(0

r当r=0。
7． 最大公约数
DZ

,D(a
1
,a
2
a
n
)

Da
i
(i

1,2

n)
，且若
da
i
(i

1,2

n)
，则d∣D。
（1）
(a
1
,a
i
,a
j
,a
n
)(a
1
,a
j< br>,a
i
,a
n
)
=
(a
1
, (a
i
,a
j
),a
n
)

（3） a∣b,,则有(a,b)= ∣a∣;
（3）p为素数，则当p整除a时，(p,a)= p，
当p不整除a时，(p,a)=1；
（4）
xZ,(a
1
,a
2
)(a
1
,a
2
a
1
x)( a
1
,a
2
,a
1
x)

（5）d=(a ,b),则
u,vZ
，使ua+vb=d；（贝
佐特定理）
（6）若< br>(a
1
,a
2
,a
n
)1
则称
a
1
,a
2
,a
n
是互
素的或既约的：
①(m,a)=1且m∣ab,则m∣b
②(m,a)=1,则(m,ab)=(m,b)

③若
u,vZ
,使ua+vb=1,则(a,b)=1
8． 辗转相除
设
u
0
,u
1
是两给定整数，
u
1
0 ,u
1
不整除
u
0
，
则得下列等式：
u
0
q
0
u
1
u
2
,0u
2
u
1
；
u
1
q
1
u
2
u
3
,0u
3
u
2
；
┋
u
k1
q
k1
u
k
u
k1
,0 u
k1
u
k
；
u
k
q
k
u
k1
；
即：
u
k1
(u
0
,u
1
)

9．唯一分解定理（算术基本定理）
设a
Z
,a>1,则有
a p
1
p
2
p
k
,其中
p
i
(I =1,2,

n)为素数且在不计次序的意
义
下，表示式唯一。
kkk
（1）
ap
1
p
2
p
t
（a
的标准素因子分解
12t
式），其中
p
1
,p
2
p
t
均为素数，且满足
p
1
p
2
p
t
。
（2）(a,b)=1,ab=
c,
则a=
u,bv
,c=uv。

k
kk

二、 讨论题：
1． 求证：
100020001
是平方数。（2前面
的0与后面的0的个数均为n个）
2． 如果整数n（n>1）的正约数个数是奇数，
则n是平方数。
2
nn1(nZ)
不是平方数。 3． 求证：
4． 求证：3个连续正整数的积不是平方数。
5． 求证：有无穷多个
nZ
，使
n
2
4n41
为：（1）合数；（2）能被43整除。
6． 设n111
（k个1），证明：（1）当k
为合数时，n也为合数；（2）当k为s个< br>正整数之积时，n也为s个正整数之积。
7． 已知存在正整数n，使
111
（共n个1）
能被1991整除，求证:
p =
111999999111
（n个1，2n个9，n
个1）也能被1991 整除。
111222
、8． 证明：12、1122、111222、

、

的每一项均是两个相邻正整数的积。
9．用d(n)表示n的正的真因子个数 ，试确
定d(1)+d(2)+…+d(2013)的奇偶性。
10.证明：1992∣
997

995
995
997

11.能否将n 行n列的方格纸的空格上分别
填上1、2、3三个数字，使得每行、每列、
每条对角线上的各个 数字之和都不相同。
12.从1、2、3、

2n中任取n+1个数，必有
2个互质。
13．设n为奇数，
a
1
,a
2
,a
n
是1、2 、…n的
一个排列，证明：
(a
1
1)(a
2
2)( a
n
n)
为偶
数。
14．设p
111a
是奇质 数，且
1
2

3

p1

b，
则p∣a。
15．设p,q
Z
,且

p111 11
1
q23413181319
,
求证：1979∣p.
16. 求证：
m,nZ,(21,21)2
17．求
C,C2n
,C
2n
1
2n
32n1
mn(m,n)< br>1

的最大公约数。
18．设n+1个砝码总重量为2n，每一个的重< br>量均为整数，由重而轻逐个把砝码放到
天平上，每次都放到较轻的一边（如果
相等可放在 任一边），证明砝码放完时，
天平恰好平衡。
19．设n为大于6的整数，
a
1
,a
2
,a
k
是所

有小于n且与n互质的自然数，若：
a
2
a
1
a3
a
2
a
k
a
k1
,求证：n或
者为素数或者为2的幂。
三、 作业题：
1．
nZ,a,bZ
，则
ab

ab
。

nn
2．证明：4个连续正整数之积不是平方数。
3．某学生将连续正整 数1、2、3、…逐个相
加，直到某个正整数为止，由于计算时漏加
了一个而得到错误的结果2 001，问：他漏加
的数是几。
4．设a,b,c是连续正整数，且b不能被2
整除，则
ca
能被b整除。
5．设p是大于3的质数，对某个正整数n，
n
p
数恰是一个20位数，证明 这个数中至少
有3个数码相同。
6．数列101、104、109、116…，通项为
ca
a
n
100n
2
,n
1、2、…，若设
n,d
n
(a
n
,a
n1
)
，求
d
n
的最大值。
7．设m>0，n>0，并且n是为奇数，则有：

(21,21)1
。
mn