全身美白的有效方法-安全隐患整改通知书

第2讲：数的整除
内容概述：
掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特 殊数整除的数的特征。通过分析整除特
征解决数的补填问题，以及多位数的构成问题等。
典型问题：
兴趣篇
1.下面有9个自然数：14,35，80,152，650 ,434,4375，9064，24125。在这些自然数中，请问：
（1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？
（2）有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？
【分析】(1)能被 2整除的数末位应是2的倍数，有：14，80，152，650，434，9064,；
能被4整除的末两位应为4的倍数，有：80,152,9064；
能被8整除的末三位应为8的倍数，有：80,152,9064；
（2）能被5整除的末位应为5的倍数，有35,80,650,4375,24125；
能被25整除的末两位应为25的倍数，有：650,4375,24125；
能被125整除的末三位应为125的倍数，有：4375,24125；

2.有 如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837。这些数中哪些 能
被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？
【分析】 能被3整除的应为数字和为3的倍数，有：387,228,975,525,882,837；
能被9整除的数字和应为9的倍数，有：387，882，837；
能同时被2和3整除的数有：228、882。

3.一个三位数
64的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“
（1）如果要求这个三位数能被3整除，“
（ 2）如果要求这个三位数能被4整除，“
”可能等于多少？
”可能等于多少？
”可能等于多少？
”中合适的取值：
（3）这个三位数有没有可能同时被3和4整除，如果有可能，“

【分析】 （1）数字和保证是3的倍数，则可填写2,5,8；
（2）能被4整除，则末两位能被4整除，则可填写0、2、4、6、8；
（3）既能被3又能被4整除，则两者均需符合，应填2或者8








4.新学年开学了，同学们要改穿新的校服。雯 雯收了9位同学的校服费（每人交的钱一样多）
交给老师。老师给了雯雯一张纸条，上面写着“交来校服 费
238
元”其中有一滴墨水，把
方格处的数字污染得看不清了。牛牛看了看，很快就 算出了方格处的数字。聪明的读者们，
你们能算出这个数字是多少吗？
【分析】
5.四位数
29
【分析】
令该四位数为
2a38
，则数字和应为9的倍数，所以，
a5
。
能同时被3和5整除，求出所有满足要求的四位数。
由于该数能被5整除，则末位为0或者5；
（1）当末位为5时，则a可等于2、5、 8；此时四位数有2295,2595,2895；
2a95
应为3的倍数，
（2） 当末位为0时，则a可等于1，4，7，此时的四位数有2190,2490,2790。
2a90
应为3的倍数，
所以满足条件的四位数共有6个，如上。
6.四位偶数
64
【分析】
能被11整除，求出所有满足要求的四位数。
令该数为
6a4b
，根据题意，能被11整除的数应为从末位开始，奇数位数字之和与偶数位数字之和的差应为11的倍数。所以
ab10
，并且为偶数，则共有4个< br>满足条件的四位数分别为：6248,6446,6644,6842。
L
4
321
7.多位数
3232
1423
能被11整除，满足条件的
n< br>最小是多少？
n个32
【分析】 能被11整除的数应为奇数位数字之和与偶数位数字之和的差应为11的倍数。
则奇数位数字之和应该为：
3n1
；偶数位数字之和为：
2n
.

则n的最小值为10。

8.一天，王经理去电信营业厅为公司安装 一部电话。服务人员告诉他，目前只有形如
“
123468
”的号码可以申请。也就是 说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选
择，而其余数字不得改动。王经理打算申请一个能同时 被8和11整除的号码。请问：他申
请的号码可能是多少？
【分析】 令该数为
12 34a6b8
，根据题意，该数能被8整除，所以该数必然能被4整除，
则b应为0、2、4、 6、8，该数又能被8整除，则b为0或者4或者8。
而该数又能被11整除，奇数位数字之和为：< br>20
；偶数位数字之和为：
ab4
。由于
ab18
，
则
ab5
或者
ab16
。

a1
a5
在
ab5
时，有

，或者

b4b0

在
ab16
时，有一组解，


a8


b8
所以，他申请的号码共有3种可能。
9.一个各位数字互不相同的四位数能被9整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这
个 三位数能被4整除。这个四位数最大是多少？
【分析】 由于四位数要尽可能的大，则位数高的要尽可 能的大，又该数的千位百位十位
所组成的三位数，则前三位最大为984，则令该四位数为
98 4a
，这个四位数又能被9
整除。所以
a6
。所以这个四位数最大为984 6

10.（1）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0 。如果
它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？
（2）一个多位数，它的各位数字之和 为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是
多少？
【分析】 （1）根据题意，该位的各位数字互不相同，且还能被11整除。不存在这样的
两位数；

则必为三位数，令该三位数为
abc
，则有：
acb
为11的 倍数，又因为其中一项为0，
则若c为0，显然不存在；
则只能b为0，则此时
ac11
，满足条件的最小的多位数为209；
（2）根据题意，该多位数也不可能是两位数，因为两位数中能被11整除的数必为偶数；
若 该数为三位数，令该数为
abc
，则有
acb13
，且有
< br>ac

b0
或者11，由于
两个数的和与两个数的差必然同时为 奇数或者同时为偶数。所以只能是
acb13
与

ac
< br>b11
同时成立。所以有：
b1
，
ac12
，则这 样的多位数最小是319。

拓展篇
1.判断下面11个数的整除性：
23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,8 64,407.
（1）这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？
（2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？
（3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？
（4）哪些数能被11整除？
【分析】 （1）末两位能被4整除，该数即能被4整除；
末三位能被8整除，该数即能被8整除。
所以，能被4整除的数有：3568，5880，6512，864；
能被8整除的数有：3568，5880,6512,864；
（2）末两位是25的倍数，该数就能被25整除；
末三位是125的倍数，该数就能被125整除。
所以能被25整除的数有：8875,93625；
能被125整除的数有：8875,93625；
（3）数字和是3的倍数即能被3整除，数字和为9的倍数即能被9整除。
所以，能被3整除的数有：23487，6765，5880,198954,864；

能被9整除的数有：198954,864；
（4）从末位开始，奇数位数字 之和与偶数位数字之和的差如果为11的倍数，即为11的倍
数。
则为11的倍数的有：6765,6512,407；

2.
173
是一个四位数。数学老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位
数，依次能被9、 11、8整除。”问：数学老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？
【分析】 方法一：能被< br>6
整除的数，其数字和是
3
的倍数，且末位为
0
，
2
，
4
，
6
，
8
的其
中之一
17 311
，当
□
内填入
1
，
4
，
7时，为
3
的倍数，但只有
4
为偶数，所
以当
□
内填入
4
组成的数为
6
的倍数．
17311
，当
□
内填入
7
时，
1735
的数字和为
18
，为
9
的倍数，所以当
□
内填
7
所组成的数为
9< br>的倍数；
173□
的奇数位数字和为
7□
，偶位数数字和为
134
，所以当
□
内填
11478
时，
奇数位 数字和
和与
偶数位数字和
的差为
11
，所组成的数为
11< br>的
倍数；
所以，这三种情况下填入
□
内的数字的和为
78419
．
方法二：采用试除法
用
1730
试除，
17309192LL 2
，
173011157LL3
，
17306288LL2
．
所以依次添上(
92
)
7
、(
113
)
8
、(
62
)
4
后得到的
1737
、
1738
、
1734
依次能被
9
、
11
、
6
整除．
所以，这三种情况下填入
□
内的数字的和为
78419
．

3.五位数
307
能同时被11和25整除。这个五位数是多少？
【分析】该数能被25整除，则末两位应为25的倍数。所以个位为5。
则令该五位数为3a075
，则该数的奇数位数字和为：8；偶数位数字和为
7a
，则有：a1
。
所以这个五位数为31075。

4.牛叔叔给45名工人 发完工资后，将总钱数记在一张纸上。但是记账的那张纸被香烟烧了
两个洞，上面只剩下“
67 8
”，其中方框表示被烧出的洞。牛叔叔记得每名工人的工资都
一样，并且都是整数元。请问： 这45名工人的总工资有可能是多少元呢？
【分析】 由于该数为45的倍数，则末位为5的倍数，所以末位能为0或者5，

若末位为0，则 令该五位数为：
67a80
，则数字和应为9的倍数，有：
21a
应为9的 倍数，
所以
a6
，这时的五位数为67680；
若末位为5，则令该五位 数为：
67a85
，则数字和应为9的倍数，有：
26a
应为9的倍数，
所以
a1
这时的五位数为67185；

5.六位数
2008
能同时被9和11整除。这个六位数是多少？
【分析】 令该六位数为
a2008b
，该数既能被9整除，又能被11整除，则该数能被99整除。 < br>根据99的整除特征，从末两位开始，两位一段两位一段，所有段数之和为99的倍数，就能
被9 9整除。则有：
a28b
，则有
a1,b7
，所以这个六位数为120 087。
6.请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选出5个组成一个五位数，使它是99的 倍数。
这个五位数最大是多少？
【分析】 由于该数要尽可能的大，则首先满足让位数高的尽可能的大。
（1）若万位为7，则有该五位数为7abcd
，该数又是99的倍数，由于
abcd7
为99的
倍数， 又不可能达到198， 则有
abcd92
，显然用1、2、3、4、5、 6中的任何四个
都无法满足；
（2）若万位为6，则该五位数为
6abcd
，则有
abcd93
，要满足个位为3，则
b
与
d
只< br>能从1和2里选；则此时十位数只能从4和5选择。由于要让位数高的尽可能的大，则有：
a5,b2,c4,d1
。所以该五位数为65241。

7.雯 雯写了一个两位数59，牛牛写了一个两位数89，他们让羊羊写一个一位数放在59与
89之间拼成一 个五位数
5989
，使得这个五位数能被7整除。请问：羊羊写的数是多少？
【分析】 根据能被7整除的特征，末三位为一段，其他未一段，其差若是7的倍数，则这
个数 就能被7整除，则可以令该五位数为：
59a89
，则有
a30
，应为7的倍 数，
所以
a6
。

8.已知51位数
5 555
14
L
243
25个5
99L
3
9
能被13整除，中间方格内的数字是多少？
12
25个9
55a99L
3< br>9
，则根据能被13整除的特征，三位一段，奇数段之【分析】 令该51位数为
55< br>14
L
24312
25个525个9
和与偶数段之和的差如果是13的 倍数，则其为13的倍数。
奇数段之和为：
9999999995a9555555555
；
偶数段之和为：
999999999555555555

其差为 ：
5a9
，则
5a9
应为13的倍数。则
a5


9.用数字6、7、8各两个，要组成能同时被6、7、8整除的六位数。请写出一个满足要求的
六位数。
【分析】由于这个六位数被8整除，后三位只能是688，768或者776三种情况，分 别检验
这个六位数被7除的情况可知，只有768768满足要求.

10.牛牛和 羊羊玩一个数字游戏。牛牛先将一个三位数的百位与个位填好，然后羊羊来填写
这个三位数的十位。如果 最后这个三位数能被11整除，那么羊羊获胜，否则牛牛获胜。牛
牛想了一会，想到了一个必胜的办法。 请问：牛牛想到的办法是什么？

【分析】牛牛填好了个位与百位，若个位与百位填写的数字 和小于等于9，则在十位上填写
相应的数即可获胜；
若牛牛在个位与百位的数字和为11及以 上，羊羊只需要保证其十位上的数与百位与个位的
和的差为11即可。
所以牛牛想到的办法是使得个位与百位的和为11的倍数。



11.对于一个自然数
N
，如果具有以下的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数
的右端，形成的新数都不能被
N1
整除。请问：一共有多少个不大于10的破坏数？
【分析】 根据题意，假设原数为
M
，则有新数应为
MN=10M+N=N+ 1+10M-1
,由于
N1
一定能被
N1
整除。
10M -1
是奇数，则当
N1
是偶数即一定不能被
N1
整除。
当
N
为奇数时，共有5种选择，分别是1、3、5、7、9

另，只要 末位不是5该数就一定不能被5整数，所以当自然数是4时，其添在任何一个数的
末位，形成的新数都不 能被5整除。
所以共有6个这样的N，分别是0、1、3、5、7、9。

12.一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？
【分析】 令这个数为
ab999
，则有
ab999ab100099 9989ab98911ab10

现在只需要
11ab10
为 23的倍速即可。令
11ab1023k
，则当
k10
时，
a b
有最小整
数解为
20
。所以最小的这样的五位数为
20999。



超越篇
1. 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？
【分析】 由于该数各位数字均 互不相同，又能被45整除，则数字和为9的倍数，且末位为
0或者5。由于0+1+2+3+4=10 大于9，则数字和应该为18。为了使其尽量小，先
满足首位取1，再考虑千位取0，则个位必须为5， 此时五位数为
10ab5
，数字和
为：
ab618
，所以最小
a3,b9
，则这个五位数为10395。
2.将自然数1,2，3，…，依次 写下去形成一个多位数“1112…”。写出某个数
N
时，
所形成的多位数恰好第一次 能被90整除。请问：
N
是多少？
【分析】根据题意
902532
，则现在要恰好第一次能被90整除，这个数写到最后时末
位应为0。此时只需要保证数 字和为9的倍数即可。
由于
123456789
的数字和为:45;
6171819
的数字和为：
945
；
2272829
的数字和为：
9245

…..
则只 需要保证
10203040L
为9的倍数即可，所以最早加到80时就符合条件。所< /p>

以N为
0111213LL787980
时符合条件。


3.雯雯的爸爸买回来两箱杯子。两个箱子上各贴有一张价签，分别写着“总价117.□△ 元”、“总
价127.○◇元”（□、△、○、◇四个数字已辨认不清，但是它们互不相同）。爸爸告诉 雯雯，
其中一箱装了99只
A
型杯子，另一箱装了75只
B
型杯子， 每只杯子的价格都是整数分。
但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也不记得哪个箱子装的是
A
型杯子，哪个箱子装
的是
B
型杯子了。爸爸知道雯雯的数学水平很厉害， 于是他想考考雯雯。
雯雯看了看，说：“这可难不倒我，我刚好学了一些复杂的整除性质，这下可以派上用场了。”
同学们，你能像雯雯一样把价签上的数分辨出来吗？
【分析】（1）117.□△元可化为< br>117ab
分，由题意知该五位数应为99的倍数。所以
117ab
应为9 9的倍数。所以
ab81
；
（2）127.○◇可化为
127ab
分，则该数应为25的倍数。所以末两位应为00或者25或者
50或者75。又该数为75的倍数， 则该数也为3的倍数。所以末两位应该填写50。


4.牛牛在一张纸条上依次写 下2、3、4、5、6、7这6个数字，形成一个六位数。羊羊把这
张纸条撕成了三节。这三节纸条上的 数加起来得到的和（如图2-1，三节纸条上的和为
23+456+7=486）能被55整除。请问： 羊羊可能是在什么位置撕断的这张纸条？

【分析】根据题意，该数要能被55整除，则末位只能为0或者5。
又由于无论如何切割，第 三张纸条的最后一位都是7，则前两张纸条的末位和应该为8或者
3（不可能），则为3与5或者2与6 ，此时3张纸条上的数分别是2、3456、7或者23、45、
67。求和分别为3465与135。 只有3465为11的倍数。
所以羊羊是在2与3之间以及6与7之间撕的纸条。

5.将一个自然数
N
接在任一自然数的右面（例如将2接在13的右面得到132），如果所 得的
新数都能被
N
整除，那么称
N
为“神奇数”。请求出所有的两位 “神奇数”。
【分析】 由于所要求的为两位神奇数，我们可以令该数为
ab
，则有
MabM100ab
，

由于
Mab
能被
a b
整除，则
M100
也能被
ab
整除，由于
M
可 取任何值，则
ab
应为100的一

个两位因数。所以
ab可以10、20、25、50共计4个神奇数。
（希望杯培训试题）
6.在六位数
11
两位数是多少？
【分析】 方法一：采用试除法.设六位 数为
11
中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除。方框中的
11 ab11,11ab111110000ab0011110011ab00

如果一个数能同时被
17
和
19
整除，那么一定能被
323
整除．
110011323340LL191
，余
191
也可以看成不 足
323191132
．
所以当
ab00
132323n
时，即
ab00
是
100
的倍数时，六位数才是
323的倍数．
所以有
323n
的末位只能是
1028
，所以< br>n
只能是
6
，
16
，
26
，
L
验证有
n16
时，
132323165300
，所以 原题的方框中填入
5
，
3
得到的
115311
满足题意．
方法二：视为数字谜
因为[
17
，
19
]
323
，所以有：
3□
□
□
□
□
23
□□
□□
□
11

□
□□
□□
11□

注意，第3行的个位数字为1，于是乘数的个位数字只能为7，所以第3行为323×
7=2261；
于是有
3
□
2
□
□
□
23
□7
61
□
11

2
□□
□□
11□

所以第4行的末位为
10165
，所以乘数的十位数字只能为5 ，于是第4行为
32351615
；
于是有，
3
□
2
1
□
□
23
57
61
5
11

2
16
□□
11□

所以第5行在(110011-161 50-2261=)91600～(119911-16150-2261=)101500之间，又
是 323×100的倍数，所以只能为32300×3=96900；
于是最终有.
3
3
2
1
9
3
23
57
61
5
1 1

2
16
96
115

所以题中的方框内应填入5，3这两个数字．

7.多位数
A
由数 字1、3、5、7、9组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且
A
可以被
A
中任意一个数字整除。求这样的
A
的最小值。
【分析】 由于
1 357925
，现在要保证是9的倍数，至少需要再添加
112
，由于要能被5整除，则5必须放在末位。现在只需要满足是7的倍数即可。
最小的符合除是7的倍 数的其他所有条件的数为：
1113795
，此时
7951113683
不为7
的倍数，不符合；
调整至略大，为
1113975
，此时
9751113863
不为7的倍数，不符合；
再调整为
1117395
，不符；
1117935
，此时
9351117819
为7的倍数。
所以符合条件的A的最小值为
1117935
。

8.有一些自然数，从左向右读与从右向左读是完全一样的，我们将这样的数称作“回文数”。
比如23 32、181、77都是回文数。如果一个六位回文数除以95的商也是回文数，那么这个
六位数是多少 ？
【分析】 根据题意，这个六位回文数为95的倍数，则必然为5的倍数，由于其首位与
末 位相同，所以这个六位回文数的首位与末位相同，均为5。
由于
9999554945
不符合条件；而六位数的十万位上为5。则有：
599995956315L70
500005955263L20

则六位回文数除以95的商在5263到6315之间。由于其也是回文数。且不能为偶数。所以
只有 5335，5445，5555，5665，5775，5885，5995这七种选择。
经实验，最后结果为5555，六位回文数为527725。