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五升六第一单元 数的整除问题

引入


















阿尔.海坦 数鸡蛋
这是发生在一千 多年前的一个故事。一天，伊斯兰物理学家阿尔.海坦在路上行走，
当他经过一条街市时，由于正集中精 力思考一种物理现象，不小心将一位大嫂所卖的一筐鸡
蛋碰翻、打碎了，海坦感到很不好意思，立即掏出 钱来赔偿：“对不起，一共多少个，请收
钱。”
这位大嫂见他如此爽快，便打趣地说：“鸡 蛋太多，我数了六遍都没有数清，只记
得按2个、3个、4个、5个、6个去数，都余1个，只有按7个 去数，才正好不余。”
围观的人都感到为难，说：“这怎么能知道是多少个鸡蛋呢？”

海坦迅速而认真地计算着，他很有把握地说：“大嫂，这筐鸡蛋共301个，请收
钱吧！”
对 了对了，我看你是一个精明的人，本想为难一下你，可你却算对了，”卖鸡蛋的大
婶惊喜地说。
同学们，你知道海坦是怎么计算出来的吗？其实海坦用到数的整除的知识，这一讲让
我们来研究数的整 除问题。

【教学目标】
1．进一步理解整除的概念，掌握数的整除特征，会判断一个数能否被2、 5、 4 、25 、
8 、125 、3 、9 、7 、11 、13整除。
2．能进一步理解质数、合数的概念，会判断一个数是质数海是合数，能将合数分解质因数。
3．能综合运用整除的知识，解决简单的实际问题。
【教学内容】

例1、分别判断下面各数能否被2、5、4、25、8、125整除？
2430 4135 3820 15625 1224 17500

分析与解：
能被2整除的数有：2430、3820、1224、17500；
不能被2整除的数有：4135、15625。
能被5整除的数有：2430、4135、3820、15625、17500；
不能被5整除的数有：1224。
能被4整除的数有： 3820、1224、17500；
不能被4整除的数有：2430、4135、15625。

能被25整除的数有：15625、17500；
不能被25整除的数有：2430、4135、3820、1224。
能被8整除的数有： 1224；
不能被8整除的数有：2430、4135、3820、15625、17500。
能被125整除的数有：15625、17500；
不能被125整除的数有：2430、4135、3820、1224。

方法总结：









1431 83025 13650 18045 3156 52875

因为
1431的数字和是：1+4+3+1=9
83025的数字和是：8+3+0+2+5=18
13650的数字和是：1+3+6+5+0=15
18045的数字和是：1+8+0+4+5=18
3156的数字和是：3+1+5+6=15
52875的数字和是：5+2+8+7+5=27
所以：能被3整除的数有：1431、83025、13650、18045、3156、52875。
能被9整除的数有：1431、83025、18045、52875；不能被9整除的数有：1365 0、3156。

判断一个数能否被2或5整除，
只需要看这个数的个位数字，个位数字能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
判断一个数能否被4或25整除，
只要看末两位数字，末两位数字所组成的数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；
判断一个数能否被8或125整除，
只要看末三位数字，末三位数字所组成的数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。

例2、分别判断下面各数能否被3、9整除？
方法总结：



判断一个数能否被3或9整除，需要看这个数的“数字和”，如果“数字和”能被3或9整除 ，
这个数就能被3或9整除。

例3、分别判断下面各数能否被7、11、13整除？

1804 6552 13750 39650 213213 25179

分析与解：
⑴判断能否被11整除。
因为：1804的奇位数字和=4+8=12，偶位数字和=0+1 =1，奇位数字和与偶位数字和之差是12-1=11。
6552的奇位数字和=2+5=7，偶位数 字和=5+6=11，奇位数字和与偶位数字和之差是11-7=4。
13750的奇位数字和=0+ 7+1=8，偶位数字和=5+3=8，奇位数字和与偶位数字和之差是8-8=0。
39650的奇 位数字和=0+6+3=9，偶位数字和=5+9=14，奇位数字和与偶位数字和之差是14-9=5。 213213的奇位数字和=3+2+1=6，偶位数字和=1+3+2=6，奇位数字和与偶位数字和之差 是0。
25179的奇位数字和=9+1+2=12，偶位数字和=7+5=12，奇位数字和与偶位 数字和之差是0。
所以，能被11整除的数有1804、13750、213213、25179。不 能被11整除的数有6552、39650。

⑵判断能否被7、13整除。
因为 ：1804末三位组成的数与前面数字组成的数之差是804-1=803，803不能被7、13整除。
6552末三位组成的数与前面数字组成的数之差是552-6=546，546能被7、13整除。
13750末三位组成的数与前面数字组成的数之差是750-13=737，737不能被7、13整 除。
39650末三位组成的数与前面数字组成的数之差是650-39=611，611不能被7整 除，能被13整
除。
213213末三位组成的数与前面数字组成的数之差是213-213=0，0能被7、13整除。
25179末三位组成的数与前面数字组成的数之差是179-25=154，154能被7整除，不能 被13整
除。
所以，能被7整除的数有6552、213213、25179，不能被7整除 的数有1804、13750、39650；
能被13整除的数有6552、39650、213213 ；不能被13整除的数有1804、13750、25179。

方法总结：












判断一个数能否被11整除，
需要看这个数“奇位数字和”与“偶位数字和”的差 ，如果这个差是11的倍数，这个数就能被
11整除。

判断一个数能否被7、13整除
，需要看末三位数字组成的数与前面数字组成的数之差，如果 这个差能被7、13整除，这个数
就能被7、13整除。

例4、判断下面各数是质数还是合数？并将合数分解质因数。
473 113 323 223 2009 259

分析与解： < br>因为473不能被2整除、不能被3整除、不能被5整除、不能被7整除，但是能被11整除，所以473
是合数。
分解质因数是：473=11×43。
因为113不能被2整除、不能被 3整除、不能被5整除、不能被7整除，且11×11=121>113，所
以113是质数。
因为323不能被2整除、不能被3整除、不能被5整除、不能被7整除、不能被11整除、不能被13
整除，但是能被17整除，所以323是合数。
分解质因数是：323=17×19。
因 为223不能被2整除、不能被3整除、不能被5整除、不能被7整除、不能被11整除、不能被13
整 除，且17×17=289>223，所以223是质数。
因为2009不能被2整除、不能被3整除 、不能被5整除，但是能被7整除，所以2009是合数。分
解质因数是：2009=7×7×41。
因为259不能被2整除、不能被3整除、不能被5整除，但是能被7整除，
所以259是合数。分解质因数是：259=7×37。

方法点拨：


判断一个数是质数还是合数，
需要用比较小的质数去除这个数，如果能被某个质数整除，这个数一定是合数；

如果不能被小的质数整除，且下一个质数的平方已经大于这个数，这个数就一定是质数。



要想提高判断的速度和准确性，就要熟记100以内的质数，还要能熟练应用数的整除特征来判断。



例5.在下面算式里，四个小纸片各盖住一个数字，被盖住的四个数字之和是多少？




×

1 0 0 1

分析与解：
如果直接考虑哪两个两位数相乘等于100 1，显然非常困难。我们可以换一个角度思考，先把1001分解
质因数，再利用1001的质因数组成 两个两位数。
1001=7×11×13，利用7、11、13这三个质因数组成两个两位数有两种情 况：77和13；91和
11。
所以，被盖住的四个数字之和可能是：7+7+1+3=18或9+1+1+1=12。

方法总结：




题目中给出的是一个乘法算式，我们 不是直接去考虑两个因数可能是多少，而是换一个角度思考，
从乘积入手，把乘积分解质因数，再利用它 的质因数

区组成两个两位数。在解决问题时，我们要善于变换自己思考问题的角度。
练一练
1．分别判断下面各数能否被2、5、4、25、8、125整除？
1992 5625 5400 19325



2．分别判断下面各数能否被3、9整除？
4565 19305 12312 98073


3．分别判断下面各数能否被7、11、13整除？
791 2189 484484 142857



4．判断下面各数是质数还是合数？并将合数分解质因数。
107 207 307 407







5．在下面算式里，四个小纸片各盖住一个数字，被盖住的四个数字之和是多少？

例6 六位数
4□06□7
是3的倍数，这个六位数最大是（ ）。

分析与解：
能被3整除的数的特征是：数字和是3的倍数。设这个数万位数字是a，十位数字 是b，则数字和是：
4+a+0+6+b+7=17+a+b。
要想使数字和是3的倍数，a、b的取值情况会有很多。
图目中还有一个隐藏的条件，即“这 个六位数最大”。要使六位数最大，首先要让a最大，其次要让b尽
可能的大。
a最大是9，此时b最大只能是7。
所以，这个六位数最大是490677。

方法总结：


求“最大”、“最小”、“最多”、“最少”的问题，我们 称之为“极值问题”。解决“极值问题”

首先要明确出现“极值”的策略。


如本题，让六位数最大的策略是：首先让万位数字最大，在确保数字和是3的倍数的前提下，再

让十位数字尽可能的大。




例7、设六位数N=X1527Y又知N为4的倍数,且N被11除余5。那么X与Y的和是多少？ < br>根据题意，N有两个特征：是4的倍数，被11除余5。被11除余5的数有什么特征我们并不知道，所< br>以应从“4的倍数”入手来考虑。

因为能被4整除的数的特征是：末两位数字组成的数是4的倍数，所以Y可能是2或6。
⑴若Y=2，X15272-5= X15267，X15267是11的倍数。奇数位数字和与偶数为数字和之差是：
（6+5+ X）-（7+2+1）=1+ X，无论X是哪个数字，都无法满足1+ X是11的倍数，所以这种情况
无解。
⑵若Y=6，X15276-5= X15271，X15271是11的倍数。奇数位数字和与偶数为数字和之差是：
（7+5+ X）-（1+2+1）=8+ X，当X=3时，8+ X是11的倍数。
所以，X与Y的和是3+6=9。

方法点拨：
如果一个 题目中有几个不同的条件时，我们需要认真分析，选准突破口。在分析问题中，遇到情况不
唯一时，我们 需要用分类、枚举的方法对每一种情况进行分析，这样才能全面准确地解决问题。




家庭作业
1、四位数7a4b能被18整除，要使这个四位数尽可能小，a和b是什么数字？





2、李老师买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火 星掉到帐本上，把帐本的总数烧掉两个数字。帐
本是这样的：72本笔记本，共
□67.9□< br>元（□为被烧掉的数字），请把□处的数字补上，并求出笔记
本的单价。




3、判断下列哪些数能够被4整除？哪些数能够被25整除？
12 456 2 350 37 212 7 800 5 408 65 325



4、判断 下面各数是否能被7 、11 、13整除
8642578 357115 85035990