向生命鞠躬阅读答案-乞巧

2021年1月16日发(作者：熊一潇)
v1.0
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判别平行四边形的基本方法


如何判别一个四边形是平行四边形呢下面举例予以说明
.

一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”
判别

例
1
如图
1,
在平行四边形
ABCD
中
,
E
、
F
在对角线
AC
上
,
且
AE
=
C F
,
试说明四边形
DEBF
是平行四边形
.

分析
:
由于已知条件与对角线有关，
故考虑运用“两条对角
线互相平分的四边形是 平行四边形”进行判别
.
为此
,
需连接
BD
.

解：连接
BD
交
AC
于点
O
.

因为四边形
ABCD
是平行四边形
,

所以
AO
=
CO
,
BO
=
DO
.
又
AE
=
CF
,

所以
AO
-
AE
=
CO
-
CF
,
即
EO
=< br>FO
.

所以四边形
DEBF
是平行四边形
.

二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判
别

例
2
如图
2
，
是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，
请
你指出 图中所有的平行四边形，并说明理由
.

分析
:
设每根木棒的长为< br>1
个单位长度，
则图中各四边形的
边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别 相等的四边形是
平行四边形”进行判别
.

解：
设每根木棒的长为< br>1
个单位长度，
则
AF
=
BC
=1,
AB< br>=
FC
=1,

所以四边形
ABCF
是平行四边形
.

11
/
18
A
E
D
O
B
F
图
1

C
A

F

E

B

C

D

图
2

v1.0
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< br>同样可知四边形
FCDE
、四边形
ACDF
都是平行四四边形
.

因为
AE
=
DB
=2,
AB
=
DE
=1,
所以四边形
ABDE
也是平行四边形
.

三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”
判别

例
3
如图
3
，
E
、
F
是四边形
ABCD
的对角线
AC
上的两点，
AE
=
CF
,
DF=
BE
,
DF
∥
BE
，试说明四边形
ABCD
是平行四边形
.

分析
:
题目给出的条件都不能直接判别 四边形
ABCD
是平
行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△
ADF< br>≌△
CBE
，
由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”
的条件
.

解：因为
DF
∥
BE
，所以∠
AFD
=∠
CEB
.

因为
AE
=
CF
,
所以
AE
+
EF
=
CF
+
EF
，即
AF
=
CE
.
又
DF
=
BE
,

所以△
ADF
≌△
CBE
，所以
AD
=
BC
，∠
DAF
=∠
BCE
，

所以
AD
∥
BC
.
所以四边形
ABCD
是 平行四边形
.

四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判
别

例
4
如图
4
，在平行四边形
ABCD
中，∠
DAB
、∠
BCD
的平
分线分别交
BC
、
AD
边于点
E
、
F
，则四边形
AECF
是平行四边形
吗为什么

分析：由平行四边形的性质易得
AF
∥
EC
，又题目中给出的
是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑
运用“两组对边分别平行的四边形是平行 四边形”进行判别
.

解：四边形
AECF
是平行四边形
.

理由：因为四边形< br>ABCD
是平行四边形，所以
AD
∥
BC
，
22
/
18
D

C

E

F

A

B

图
3

A

1

F

3

D

B

E

2

C

图
4

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∠
DAB
=∠
BCD
，

所以
AF
∥
EC
.
又因为∠1=
1
1
∠
DAB
， ∠2=
∠
BCD
，

2
2
所以∠1=∠2.因为< br>AD
∥
BC
，所以∠2=∠3，

所以∠1=∠3，所以
AE
∥
CF
.

所以四边形
AECF
是平行四边形
.

判定平行四边形的五种方法

平行四边形的判定方法有：
（
1
）
证两组对边分别平行；
（
2
）
证两组对边分别相等；
（
3
）证一组对边平行且相等；
（
4
）证对
角线互相平分；< br>（
5
）证两组对角分别相等。下面以近几年的中
考题为例说明如何证明四边形是 平行四边形。

一、

两组对边分别平行

A

F

如图
1
，已知△
ABC
是等边三角形，
D
、
E
分别在边
BC
、
AC
上，且
CD
=
CE
，连结
DE
并延长至点
F
，使
EF
=
AE
，连
E

结
AF
、
BE
和
CF

(1)
请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；

(2)
判断四边形
ABDF
是怎样的四边形，并说明理由。

解：
（
1
）选证△
BDE
≌△
FEC

证明：∵△
ABC
是等边三角形，

∴
BC
=
AC
，∠
ACD
=60°
∵
CD
=
CE
，∴
BD
=
AE
，△< br>EDC
是等边三角形

∴
DE
=
EC
，∠< br>CDE
=∠
DEC
=60°

∴∠
BDE
=∠
FEC
=120°

又∵
EF
=
AE
，∴
BD
=
FE
，∴△
BDE
≌△
FEC

33
/
18
图
1

B

D

C

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（
2
）四边形
ABDF
是平行四边形

理由：由（
1
）知，△
ABC
、△
EDC
、△
AEF
都是等边
三角形

∵∠
CDE
=∠
ABC
=∠EFA
=60°

∴
AB
∥
DF
，
BD
∥
AF

∵四边形
ABDF
是平行四边形。

点评：当四边形两组对边分别被 第三边所截，易证
截得的同位角相等，
内错角相等或同旁内角相等时，
可证四边形的两 组对边分别平行，从而四边形是平
行四边形。

二、

一组对边平行且相等

例
2

已知：
如图
2
，
在正方形
ABCD
中，
G
是
CD
上一 点，
延长
BC
到
E
，使
CE
=
CG
，连结
BG
并延长交
DE
于
F

(1)
求证：△
BCG
≌△
DCE
；

(2)
将△
DCE
绕点
D
顺时针旋转
90°得到△
DAE
′，
判
断四边形
E
′
BGD
是什么特殊四边 形并说明理由。

分析：
（
2
）由于
ABCD
是正 方形，所以有
AB
∥
DC
，又
通过旋转
CE
=AE
′已知
CE
=
CG
，所以
E
′
A
=
CG
，这样
就有
BE
′=
GD
，可证< br>E
′
BGD
是平行四边形。

解：
（
1
）∵
ABCD
是正方形，

∴∠
BCD
=∠
DCE
=90°又∵
CG
=
CE
，△
BCG
≌△
DCE

（
2
）∵△
DCE
绕
D
顺时针

旋转
90°得到△
DAE
′，

∴
CE
=
AE
′，∵
CE
=
CG
，∴
CG
=
AE
′，

44
/
18
v1.0
可编辑可修改

∵四边形
ABCD
是正方形

∴
BE
′∥
DG
，
AB
=
CD

∴
AB
-
AE
′=
CD
-
CG
， 即
BE
′=
DG

∴四边形
DE
′
BG
是平行四边形

点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相
等，即可得这个四边形是平行四边形

三、

两组对边分别相等

例
3

如图< br>3
所示，在△
ABC
中，分别以
AB
、
AC
、
BC
为
边在
BC
的同侧作等边△
ABD
，等边△
ACE
，等边
△
BCF
。

求证：四边形
DAEF
是平行四边形；

分析：
利用证三角 形全等可得四边形
DAEF
的两组对
边分别相等，从而四边形
DAEF
是平行四边形。

解：∵△
ABD
和△
FBC
都是等边三角形

∴∠
DBF
+∠
FBA
=∠
ABC
+∠
FBA
=60°

∴∠
DBF
=∠
ABC

又∵
BD
=
BA
，
BF
=
BC
∴△
ABC
≌△
DBF

∴
AC
=
DF
=
AE
同理△
ABC
≌△
EFC

∴
AB
=
EF
=
AD

∴四边形
ADFE
是平行四边形

点评：题设中存在较多线段相等关 系时，可证四边
形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四
边形。

四、

对角线互相平分

55
/
18
v1.0
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例
4
已知：如图
4，平行四边形
ABCD
的对角线
AC
和
BD
相交于O
，
AE
⊥
BD
于
E
，
BF
⊥
AC
于
F
，
CG
⊥
BD
于
G< br>，
DH
⊥
AC
于
H
，求证：四边形
EFGH
是平行四边形。

图
4

分析：因为题设条件是从四个顶点 向对角线引垂线，这
些条件与四边形
EFGH
的对角线有关，若能证出
OE< br>=
OG
，
OF
=
OH
，则问题可获得解决。

证明：∵
AE
⊥
BD
，
CG
⊥
BD
，

∴∠
AEO
=∠
CGO
，

∵∠< br>AOE
=∠
COG
，
OA
=
OC

∴△
AOE
≌△
COG
，
∴
OE
=
OG< br>同理△
BOF
≌△
DOH

∴
OF
=
OH

∴四边形
EFGH
是平行四边形


点评：当已知条件与四 边形两对角线有关时，可证两对
角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。

66
/
18
v1.0
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五、

两组对角相等

例
5
将两块全等的含
30°角的三角尺如图
1
摆放在一
起


四边形
ABCD
是平行四边形吗理由

。

(1)
如图
2
，将
Rt
△
B CD
沿射线
BD
方向平移到
Rt
△
B
1
C
1
D
1
的位置，四边形
ABC
1
D
1是平行四边形吗说
出你的结论和理由：

。

分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形
的两组内角相等解决问题。

解：
（
1
）四边形
ABCD
是平行四边形，理由如下：

∠
ABC
=∠
ABD
+∠
DBC
=30°+90° =120°，

∠
ADC
=∠
ADB
+∠
CDB< br>=90°+30°=120°

又∠
A
=60°，∠
C
=60°，

∴∠
ABC
=∠
ADC
，∠
A
=∠
C

（2
）四边形
ABC
1
D
1
是平行四边形，理由如下：< br>
将
Rt
△
BCD
沿射线方向平移到
Rt
△
B
1
C
1
D
1
的位置时，
有
Rt
△
C
1
BB
1
≌
Rt
△
ADD< br>1

∴∠
C
1
BB
1
=∠
AD1
D
，∠
BC
1
B
1
=∠
DAD1

∴有∠
C
1
BA
=∠
ABD
+∠
C
1
BB
1
=∠
C
1
D
1
B
1
+∠
AD
1
B
=∠
AD
1
C
1
，
∠
BC
1
D
1
=

∠
BC
1
B
1
+∠
B
1
C
1< br>D
1
=∠
D
1
AD
+∠
DAB
=∠
D
1
AB

所以四边形
ABC
1
D
1
是平行四边形

点评：
（
2
）也可这样证明：由（
1
）知
ABCD
是平行
四边形，∴
AB
∥
CD
，将

77
/
18
=

=

v1.0
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Rt
△
BCD
沿射线
BD
方向平移到
Rt
△
B
1
C
1
D
1
的位置时，
始终有
AB
∥
C
1
D
1
，故< br>ABC
1
D
1
是平行四边形。

判断平行四边形的策略

在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：

一、考虑“对边”关系

思路
1
：证明两组对边分别相等

例
1
如图< br>1
所示，在△
ABC
中，∠
ACB
＝90°，
BC< br>的垂直
平分线
DE
交
BC
于
D
，
交
AB
于
E
，
F
在
DE
上，
并且< br>AF
＝
CE
.
求证：四边形
ACEF
是平行四边形< br>.

证明：∵
DE
是
BC
的垂直平分线，

∴
DF
⊥
BC
，
DB
=
DC
.

∴∠
FDB
=
∠
ACB

= 90°.

B

F

3

1
∴
DF
∥
AC

.∴
CE
=
AE
=
AB
.

2
∴∠1 = ∠2 .

又∵
EF
∥
AC
，
AF
=
CE
=
AE

，

∴∠2 =∠1 =∠3 =∠
F
.

∴△
ACE
≌△
EFA
.

∴
AC
=
EF
.

∴四边形
ACEF
是平行四边形
.

思路
2
：证明两组对边分别平行

E

D

2

A

1

C

（图
1
）

例
2
已知：如图
2，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
E
是
AB
的中
点，
D
在
BC
上，延长
ED到
F
，使
ED
=
DF
=
EB
.
连结
FC
.

88
/
18
v1.0
可编辑可修改

求证：四边形
AEFC
是平行四边形
.

A

证明：∵
AB
＝
AC
，∴∠
B

=∠
ACB
.

E

∵
ED
=
EB
，∴∠
B

=∠
EDB
.

B

∴∠
ACB

=∠
EDB
. ∴
EF
∥
AC
.

D

C

F

∵
E
是
AB
的中点，∴
BD
=
CD
.

∵∠
EDB

=∠
FDC
，
ED
=
DF
，

∴△
EDB
≌△
FDC
. ∴∠
DEB

=∠
F
.

∴
AB
∥
CF
.

∴四边形
AEFC
是平行四边形
.

思路
3
：证明一组对边平行且相等

例
3
如图
3
，
已知平行四边形
ABCD
中，
E
、
F

分别是
AB
、
上的点，
AE
=
C F
，
M
、
N
分别是
DE
、
BF
的 中点
.

求证：四边形
ENFM
是平行四边形
.

证明：∵四边形
ABCD
是平行四边形，

∴
AD
=
BC
，∠
A

=∠
C
.

又∵
AE
=
CF
，∴△
ADE
≌△
CBF
.

D

F

∴∠1 =∠2，
DE
=
BF
.

2

C
∵
M
、
N
分别是
DE
、
BF
的中点，

M

N

1

3
A

∴
EM
=
FN
.

E

B


∵
DC
∥
AB
，∴∠3 =∠2.

∴∠1 =∠3. ∴
EM

∥
FN
.

∴四边形
ENFM
是平行四边形
.


二、考虑“对角”关系


99
/
18
1

E

4

CD

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