关羽斩六将-蜕变

2021年1月16日发(作者：陈宝莲)
平行四边形常用的证明方法

一

利用平行四边形的相关定理证明

1.(1)
两组对边分别平行的四边形是平行四边形

例题：已知在四边形< br>ABCD
中，∠
A=
∠
C
，∠
B=
∠
D
．求证：四边形
ABCD
是平行四边形



0
0
证明：∵∠
A=
∠
C
，∠
B=
∠
D
，又∵∠
A+
∠
C+
∠
B+∠
D=360
，∴∠
A+
∠
B=
∠
C+
∠
D=180
，∴
AB
∥
CD
，
AD
∥
BC
，
∴四边形
ABCD
是平行四边形

（
2
）两组对边分别相等的四边形是平行四边形

例题：如图，□
ABCD
中，点
E
、
F
分别在边
BC
和
AD
上，且∠
BAE=
∠
DCF
．求证：四边形
AECF
是平行四边形



证明：∵四边形
ABCD
是平行四边形，∴∠
B=
∠D
，
AB=CD
，
AD=BC,
又∵∠
BAE=
∠
DCF,
∴△
BAE
≌△
DCF,
∴
AE=CF,BE=DF,
∵
AD=BC,
∴
AF=EC,
∴四边形
AECF
是平行四边形

（
3
）两组对角分别相等的四边形是平行四边形


例题：如图，在
□
ABCD
中，点
E
、
F
分别在< br>CD
、
AB
的延长线上，且
AE=AD
，
CF=CB
．求证：四边形
AFCE
是平
行四边形



证明：∵四边形
ABCD
是平行四边形，∴∠
ADC=
∠
ABC
，∠
BAD=
∠
DCB
，∴∠
ADE=∠
CBF,
∴
AE=AD,CF=CB,
∴∠
EAD=
∠
ADE,
∠
CBF=
∠
FCB
，∵∠
ADC=< br>∠
ABC
，∴∠
EAD=
∠
BCF
，∴∠
E AD+
∠
BAD=
∠
BCF+
∠
DCB
，即∠EAF=
∠
ECF
，∵
∠
EAD=
∠
BCF< br>，∠
EAD=
∠
ADE,
∠
CBF=
∠
FC B
，∴∠
EAD=
∠
ADE=
∠
CBF=
∠
FCB
，∴∠
E=
∠
F
，∴四边形
AFCE
是平 行四
边形

（
4
）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

例题：如图，< br>□
AECF
的对角线交于点
O
，
DB
经过点
O
，分别与
AE
，
CF
交于
B
，
D
．求证：四边形
ABCD
是平
行四边形




证明：
∵四边形
AECF
是平行四边形，
∴
AO=CO
，
∠
FCA=
∠
CAE
，< br>∵∠
DOC=
∠
AOB
，
∴△
AOB
≌△< br>COD
，
∴
DO=BO
，

∴四边形
ABCD
是平行四边形

（
5
）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

例题：如图，< br>□
ABCD
中，
AM=
（
2
／
3
）
AB
，
CN=
（
2
／
3
）
CD< br>．求证：四边形
AMCN
是平行四形



证明：∵四边形
ABCD
是平行四边形，∴
AB
∥
CD
，
AB=CD
，∵
AM=
（
2
／
3
）
AB
，
CN=
（
2
／
3
）CD
，∴
AM
∥
CN
，
AM
＝
CN< br>，∴四边形
AMCN
是平行四形

2.(1)
有一个角是直角的平行四边形是矩形

例题：如图，在△
ABC
中，
AB=AC
，
D
为
BC
中点，四边形< br>ABDE
是平行四边形，求证：四边形
ADCE
是矩形




证明：∵
AB=AC
，
D
为
BC中点，∴
AD
⊥
BC
，
BD=DC
，∵四边形
ABDE
是平行四边形，∴
AE=BD
，
AE
∥
BD
，∵
A
、
0
D
、
C
在一条直线上，∴
A E=CD
，
AE
∥
CD
，∴四边形
ADCE
是平行 四边形，∵∠
ADC=90
，∴四边形
ADCE
是矩形

- 1 -

(2)
有三个角是直角的四边形是矩形

例题：如图，< br>BD
，
BE
分别是∠
ABC
与它的邻补角∠
ABP< br>的平分线．
AE
⊥
BE
，
AD
⊥
BD
，
E
，
D
为垂足，求证：四
边形
AEBD
是矩形








证明：∵
BD
，< br>BE
分别是∠
ABC
与它的邻补角∠
ABP
的平分线，∴∠< br>PBE=
∠
ABE=0.5
∠
ABP
，∠
ABD=< br>∠
DBC=
0
0
0
0.5
∠
ABC
，∵∠
ABP+
∠
ABC=90
，∴∠
ABE+
∠
ABD=
∠
PBE+
∠
DBC=0.5
×
180
，∴∠
EBD=90
，∵
AE
⊥
BE
，
AD
⊥
BD
，∴
0
0
0
∠
AEB=90
，∠
ADB=90
，∴∠
EBD=
∠
AEB=
∠
ADB =90
，∴四边形
AEBD
是矩形
,
(3)
对角线相等的平行四边形是矩形

例题：如图，
□
A BCD
的对角线
AC
、
BD
相交于点
O
，△
OAB
是等边三角形，求证：四边形
ABCD
是矩形



证明：∵△
OAB
是等边三角形，∴
OA=OB
，∵四边 形
ABCD
是平行四边形，∴
OA=OC
，
OB=OD
，∴
AO=OB=OC=OD
，

∴
AC=BD
，∴四边形
ABCD
是矩形

3.(1)
有一组邻边相等的平行四边形是菱形

例题：如图，在△
ABC
中，
AB
＝
BC
，
D
、
E
、
F
分别为
BC
、
AC
、
AB
边的中点。 求证：四边形
BDEF
是菱形




证明：
∵
D
、
E
、
F
分别为
BC
、
AC
、
AB
边的中点，
∴
AF=BF
，
AE=CF
，
BD=CD
，
∴
EF< br>∥
BD
，
ED
∥
BF
，
∴四边形
B DEF
是平行四边形，∵
AB
＝
BC
，∴
BF=BD
，∴四边形
BDEF
是菱形

(2)
四条边都相等的四边形是菱形

例题：
如图，△
AB C
中，
∠
BAC=90
°，
BG
平分∠
ABC，
GF
⊥
BC
于点
F
，
AD
⊥
BC
于点
D
，
交
BG
于点
E
，
连接
EF
，
求证：四边形
AEFG
为菱形





证明：∵
BG
平分∠
ABC
，GF
⊥
BC
于点
F
，
AD
⊥
BC于点
D
，∴
AG=FG
，∵
AG=FG
，
BG =BG
，∴
Rt
△
AGB
≌
Rt
△
FGB
0
（
HL
）
，∴
AB=BF
，∵
AB=B F
，
BE=BE
，∠
ABG=
∠
FBG
，∴△AEB
≌△
FEB
，∴
AE=FE
，∵∠
FBG+∠
DEB=90
，∠
GEA=
∠
0
0
DEB< br>，∴∠
FBG+
∠
GEA=90
，∵∠
ABG+
∠< br>AGB=90
，∠
ABG=
∠
FBG
，∴∠
AGB=
∠
AEG
，∴
AG=AE
，∴
AG=AE=FG=EF，∴四
边形
AEFG
为菱形

(3)
对角线互相垂直的平行四边形是菱形

例题：如图，
O
是矩形
ABCD
的对角线
AC
的中点，
EF
经过
O
点且垂直于
AC
．求证：四边形
AFCE
是菱形








证明：如图，∵
O
是矩形
ABCD
的对角线
AC
的中点，∴
AO=OC
，∵∠
1=
∠
2
，∠
3=
∠
4
，∴△
A EO
≌△
CFO
，∴

OF=OE
，∴四边形
AF CE
是平行四边形，∵
EF
⊥
AC
，∴四边形
AFCE是菱形

(4)
每条对角线平分一组对角的四边形是菱形

4.(1)
有一组邻边相等的矩形是正方形

例题：如图
,
△
ABC
中
.
∠
ABC=90
°
,BD
是 角平分线
,DE
⊥
AB,DF
⊥
BC,
垂足分别是
E
、
F.
求证：四边形
DEBF
是
正方形

- 2 -

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