平行四边形的一个向量性质
余年寄山水
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2021年01月16日 23:01
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平行四边形的一个向量性质及其空间推广
摘
要：本文主要证明 了平行四边形的一个向量性质：不过点
a
的直线
l
分别交平行四边形
abcd
边所在直线
ab
，
ad
于点
p
，
q
，交
对角线所在直线
ac
于点
m
，
若满足并探讨 了该向量性质的逆定理及
进行空间上的推广．
关键词：平行四边形；向量性质；空间推广
利用平面向量的知识，平行四边形有以下性质：
定理
1
：不过点< br>a
的直线
l
分别交平行四边形
abcd
边所在直线
a b
，
ad
于点
p
，
q
，交对角线所在直线
ac
于点
m
，若满足
=x
，
=y
，
=k< br>，则
+=
．
证：如图
1
所示，因为
=+< br>，所以
=k+k
．……①
又
p
，
q
，
m
三点共线（
a
不在直线
l
上）
，所以
=
λ
+
μ
（其中
λ
+
μ
=1
）
，……②
结合题设，由②得
=
λ
x+
μ
y
．……③
联立①③得
k+k=
λ
x+
μ
y?
．
< br>又因为与不共线，故有
λ
+
μ
=1
，
λ
x=
μ
y=k
，所以
+=1
，即
+=
．
定理
1
的逆定理：
p
，
q
，
m
分别是 平行四边形
abcd
边所在直线
ab
，
ad
及对角线所在直 线
ac
都异于点
a
的点，且
=x
，
=y
，
=k
，若
满足
+=
，则
p
，
q
，
m
三点共线．
证：如图
1
所示，因为
=+
，所以
=k+k
．
由题设知
=
，
=
，则
=+
．