平行四边形知识梳理
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2021年01月16日 23:12
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平行四边形知识梳理
平行四边形是我们 常见的一种图形，它是中心对称图形，具有十分和谐的对称美．经过三角
形和四边形及平移、
旋 转和对称图形的学习后，
进一步学习的一类重要几何图形．
研究平行四边
形问题的基本 思想方法是转化法．
即把平行四边形的问题转化成为三角形及平移、
旋转和对称图
形的 问题来研究．三角形、平移、旋转对称的特征与研究方法是研究平行四边形的基础．反过来
平行四边形的 特征与研究方法又丰富和充实了三角形、平移、旋转对称的知识．
< br>在研究平行四边形的特征和识别的过程中，一是通过线段的平移；二是连结对角线得三角形
及中心 对称图形，
将四边形问题转化成三角形及中心对称的问题，
通过直观感知与操作确认产生
新的知识——平行四边形的特征和识别．
让学生动手做一做、
试一试从中认识图形的主要特征 与
图形的基本变换，学会识别不同的图形，培养学生一定的合情推理能力与解决实际问题的能力．
(
－
)
知识要点：
一、平行四边形：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
二、平行四边形的特征：
1
、基本特征：具有四边形的所有特征：有四条边、四个内角、两条对角线．
四个内角和等于
360
0
，外角和等于
360
0
，
2
、本质特征：平行四边形是中心对称图形
3
、主要特征：
两组对边平行
特征
边
一组对边平行且相等
两组对边相等
平行四边形
角
两组对角相等
识别
对角线
对角线互相平分
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等
平行线之间的距离处处相等
三、平行四边形的面积：
S
□
＝底边×高
平行四边形的一条对角线把平行四边形分成了面积相等的两个三角形
平行四边形的两条对角线把平行四边形分成了面积相等的四个小三角形
(
二
)
、典型例析：
一、填空题：
1
、平行四边形是
中心
对称图形，两条对角线的交点是它的
对称中心
；
A
D
2
、如图
1
，平行四边形< br>ABCD
被两条对角线分成面积相等的
O
三角形有
4
对，它们是
△
AOB
与△
COD
，△
BOC
与△
DOA< br>，
B
△
ABC
与△
CDA
， △
ABD
与△
CDB
．
C
图
1
3
、
如图
1
，
在平行四边形
ABCD
中，
0
为对角线 的交点，
那么关于
0
对称的三角形有
4
对，
它们是
△
AOB
与△
COD，△
BOC
与△
DOA
，△
ABC
与△
CDA
，△
ABD
与△
CDB
．
4
、在
□
ABCD
中，∠
A
比∠
B
大
10
0
，则∠
C
的度数为
95
0
．
5
、
已知< br>□
ABCD
的周长为
48
，
△
ABC
的周长 为
35
，
则
□
ABCD
的一条对角线
AC
的长为
11
；
6
、若
□
ABCD
的一边
AB
＝
8cm
，一条对角线
AC
＝
6cm
，那么另一条对角线
BD
的取值范围
是
10cm < BD < 22cm
；
F
C
D
7
、如图
2
在
□< br>ABCD
中，
E
、
F
分别为
AB
、
CD
的中点，
则图中共有
6
平行四边形；
图
2
A
B
E
A
8
、如图
3
，过△
A
ＢＣ的顶点
A
、
B、
C
分别作对边的平行线，
D
E
B
C
图
3
两两相交于点
D
、
E
、
F
，图中有
3
个平行四边形，
它们是
□
ACBD
、
□
ABCE
、
□
ABFC
；
说明：解以上各题的关键是熟练掌握平行四边形的基本特征：
具有四边形的所有特征 ；
及平行四边形的主要特征；
还要注意利用平行四边形的本质特征即：
平
行四 边形是中心对称图形．
二、选择题：
1
、下面特征中，平行四边形不一定具备的是：
( A )
Ａ、对角互补
Ｂ、邻角互补
Ｃ、一组对边平行
Ｄ、内角和
360
0
2
、下列说法错误的是：
(
Ｄ
)
Ａ、平行四边形的对角线互相平分
Ｂ、对角线互相平分的四边形是平行四边形
Ｃ、平行四边形的对边相等
Ｄ、对边相等的四边形是平行四边形
3
、能够识别一个四边形是平行四边形的条件是：
( C )
Ａ、一组对角相等
Ｂ、两条对角线互相垂直Ｃ、两组对边分别平行
Ｄ、两组邻角互补
4
、在
□
ABCD
中，∠A
：∠
B
＝
7
：
2
，则∠
C
的度数为：
( D )
Ａ、
20
0
Ｂ、
40
0
Ｃ、
70
0
Ｄ、
140
0
< br>5
、已知
□
ABCD
的一条边长为
10
，那么两条对 角线的长度可取下列各组数中的：
( B )
Ａ、
7
和
13
Ｂ、
9
和
12
Ｃ、
8
和
12
Ｄ、
10
和
10
6
、给定平面上不在同一条直线上的三点，则以此三点为顶点的平行四边形有
(
C )
D
C
A
、
1
个
B
、
2
个
C
、
3
个
D
、
4
个
F
7
、如图
4
，
O
为
□
ABCD
两 条对角线的交点，
E
、
F
分别是
OA
、
OC
的中点，则图中形状、大小相同的三角形有
( D )
E
O
A
B
图
4
A
、
3
对
B
、
4
对
C
、
6
对
D
、
7
对
8
、
A
、
B
、
C
、
D
在同一平面内，从①
AB
∥
CD
； ②
AB
＝
CD
；③
BC
∥
AD
；④
BC
＝
AD
，这
四个条件中任选两个能使四边形
ABCD
是平行四边形的选法有
( B )
A
、
3
种
B
、
4
种
C
、
5
种
D
、
6
种
说明：平行四边形的特征与识别等概念是解此类 题的依据，熟练掌握、充分理解、灵活应用是选
择正确的保证．
三、解答 题：
1
、如图
5
，在
□
ABCD
中，
AE
⊥
BD
于Ｅ，
CF
⊥
BD
于Ｆ，连结
AF
、
CE
，
求证：四边形
AECF
是平行四边形
A
D
分析：平行四边形的识别方法有多种，
F
证题时应根据题目的特点，灵活应用．
E
O
证明：在
□
ABCD
中，
AB
∥
CD
且
AB
＝
CD
∴∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＦ
B
C
图
5
又∵
AE
⊥
BD
于Ｅ，
CF
⊥
BD
于Ｆ
(
已知
)
∴△
CDF
是由△
ABE
绕
O
点旋转
180
0的图形，由旋转的特征得：
AE
∥
FC
且
AE
＝
FC
方法一：
(
证一组对边平行且相等
)
∵
AE
∥
FC
且
AE
＝
FC
∴四边形
AECF
是平行四边形
方法二：
(
证两组对边分别相等
)
∴
AE
＝
FC
，
BE
＝
FD
又∵Ｂ
C
＝Ａ
D
，∠
EBC
＝∠
FDA
∴△
BEC
与△
DFA
成中心对称
∴
EC
＝
AF
∴四边形
AECF
是平行四边形
方法三：
(
证两组对边分别平行
)
由上旋转对称的特征得：∠
BEC
＝∠
DFA
，∠
FEC
＝∠
AFE
∴
E
Ｃ∥Ａ
F
又
AE
∥
FC
∴四边形
AECF
是平行四边形
方法四：
(
证对角线互相平分
)
∴
BE
＝
FD
在
□
ABCD
中，
OA
＝
OC
OB
＝
OD
∴
OE
＝
OF
又
OA
＝
OC
∴四边形
AECF
是平行四边形
方法五：在
□
ABCD
中，∵△
ABD
和△CDB
的面积相等
且
AE
⊥
BD
，
CF
⊥
BD
∴
AE
＝
CF
又∵
AE
⊥
BC
，
CF
⊥
BC
∴
AE
∥
CF(
同垂直于一直线的两条直线平行
)