特殊的平行四边形知识点总结
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2021年01月16日 23:18
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知识点总结
一、特殊的平行四边形
1.
矩形：
（
1
）定义：有一个角是直角的平行四边形。
（
2
）性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。
（
3
）判定定理：
①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
②对角线相等的平行四边形是矩形。
③有三
个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形的性质：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半。
2.
菱形：
（
1
）定义
：邻边相等的平行四边形。
（
2
）性质：菱形的四条边都相等；菱 形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一
组对角。
（
3
）判定定理：
①一组邻边相等的平行四边形是菱形。
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
③四条边相等的四边形是菱形。
（
4
）面积：
3.
正方形：
（
1
）定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
（
2
）性质：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分。
正方形既是矩形，
又是菱形。
（
3
）正方形判定定理：
①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
②一组邻边相等，一个角为直角的平行四边形是正方形；
③对角线互相垂直的矩形是正方形；
④邻边相等的矩形是正方形
⑤有一个角是直角的菱形是正方形；
⑥对角线相等的菱形是正方形。
二、矩形、菱形、正方形与平行四边形、四边形之间的联系：
1.
矩形、< br>菱形和正方形都是特殊的平行四边形，
其性质都是在平行四边形的基础上扩充来的。
矩形 是由平行四边形增加
“
一个角为
90°”
的条件得到的，
它在角和对 角线方面具有比平行四
边形更多的特性；
菱形是由平行四边形增加
“
一组邻边 相等
”
的条件得到的，
它在边和对角线
方面具有比平行四边形更多的特性；正 方形是由平行四边形增加
“
一组邻边相等
”
和
“
一个角
为
90°”
两个条件得到的，它在边、角和对角线方面都具有比平行四边形更多 的特性。
2.
矩形、菱形的判定可以根据出发点不同而分成两类：一类是以四边形为 出发点进行判定，
另一类是以平行四边形为出发点进行判定。
而正方形除了上述两个出发点外，
还可以从矩形
和菱形出发进行判定。
三、判定一个四边形是特殊四边形的步骤：
常见考法
（
1
）利用菱形、矩形、正方形的性质进行边、角以及面积等计算；
（
2
）灵活运用判定定理证明一个四边形（或平行四边形）是菱形、矩形、正方形；
（
3
）一些折叠问题；
（
4
）矩形与直角三角形 和等腰三角形有着密切联系、正方形与等腰直角三角形也有着密切
联系。所以，以此为背景可以设置许多 考题。
误区提醒
（
1
）平行四 边形的所有性质矩形、菱形、正方形都具有，但矩形、菱形、正方形具有的性
质平行四边形不一定具有， 这点易出现混淆；
（
2
）矩形、菱形具有的性质正方形都具有，而正方形具 有的性质，矩形不一定具有，菱形
也不一定具有，这点也易出现混淆；
（
3
）不能正确的理解和运用判定定理进行证明，（如在证明菱形时，把四条边相等的四边
形是菱形 误解成两组邻边相等的四边形是菱形）
；
（
3
）
再利用对角线长度求 菱形的面积时，
忘记乘；（
3
）判定一个四边形是特殊的平行四边形的条件不充分。< br>
【典型例题】
（
2010
天门、潜江、仙桃）
正方形
ABCD
中，点
O
是对角线
DB
的中点，
点
P< br>是
DB
所在直线上的一个动点，
PE
⊥
BC
于
E
，
PF
⊥
DC
于
F
.
(1)
当点
P
与点
O
重合时
(
如图①
)< br>，猜测
AP
与
EF
的数量及位置关系，并证明你的结论；
(2)
当点
P
在线段
DB
上
(
不与点
D
、
O
、
B
重合
)
时
(
如图②
)
，
探究
(1)
中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)
当点P
在
DB
的长延长线上时，
请将图③补充完整，
并判断
(1)
中的结论是否成立？若
成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论
.