平行四边形的判定与性质
绝世美人儿
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2021年01月16日 23:20
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平行四边形的性质与判定
一、
平行四边形定义及其性质：
1
、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形对边平行且相等
。
定义的几何语言表述
∵
AB
∥
CD AD
∥
BC
∴四边形
ABCD
是平行四边形
。
∵四边形
ABCD
是平行四边形（或在
ABCD
中）
∴
AB=CD
，
AD=BC
。
例题
1
、如图5
，
AD
∥
BC
，
AE
∥
CD
，
BD
平分∠
ABC
，
A
D
求证
AB=CE
B
C
E
图（
5
）
2
、平行四边形除了对边平行且相等外，其
对角也相等
。
∵四边形
ABCD
是平行四边形（或在
ABCD
中）
∴
∠
A=
∠
C
，∠
B=
∠
D
。
例题
2
、在平行四边形
ABCD
中，若∠A
：∠
B=2
：
3
，求∠
C
、∠
D< br>的度数。
3
、平行四边形的
对角线互相平分
。
例题
3．已知
O
是平行四边形
ABCD
的对角线的交点，
AC=24c m
，
BD=38 cm
，
AD= 28cm
，求
三角形
OBC
的周长。
5
．
如图，
平行四边形
ABCD
中，
A C
交
BD
于
O
，
AE
⊥
BD
于< br>E
，
∠
EAD=60
°，
AE=2cm,AC+BD=14c m,
求三角形
BOC
的周长。
例题
4
：
已知平行四边形
ABCD
，
A B=8cm
，
BC=10cm,
∠
B=30
°
,
求平行四边形平行四边形
ABCD
的面积。
对边分别平行
边
对边分别相等
对角线互相平分
平行四边形
角
对角相等
邻角互补
二、平行四边形的判定
方法一
（定义法）
：两组对边分别平行的四边形的平边形。
A
几何语言表达定义法：
∵
AB
∥
CD
，
AD
∥
BC
，∴四边形
ABCD
是平行四边形
C
B
方法二：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
∵
AB=CD
，
AD=BC
，∴四边形
ABCD
是平行四边 形
方法三
：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
∵
OA=OC
，
OB= OD
∴四边形
ABCD
是平行四边形
方法四：
有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∵< br>AB=CD
，
AB
∥
CD
，∴四边形
ABCD
是平行四边形
E
A
2
方法五：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
∵
∠
A =
∠
C
，∠
B =
∠
D
，∴四边形
ABCD
是平行四边形
例1
：已知：
E
、
F
分别为平行四边形
ABCD
两边
1
AD
、
BC
的中点，连结
BE
、
DF
F
C
B
求证：
∠
1
=
∠
2
三、
三角形中位线：
三角形两边的中点连线线段（即中位线）与三角形的第三边平行，并且等于第三边的一半。
（记为：三 角形中位线平行且等于第三边的一半）
A
∵
AD=CD AE=BE
∴
DE
=
D
D
1
BC
，
DE
∥
BC
2
D
E
C
B
【课前练习】
1.
如图在平行四边形ABCD
中，
DB=DC
，
∠
A=65
°，
C E
⊥
BD
于
E
，
则∠
BCE= .
2.
如图，在□
ABCD
中，
AE
⊥
BC于
E
，
AF
⊥
CD
于
F
，已知
AE=4
，
AF=6
，□
ABCD
的周长为
40
，
试求□
ABCD
的面积。
D
C
A
D< br>E
A
B
B
E
C
F
3.
如 图在□
ABCD
中，
EF
∥
AD
，
MN
∥
AB
，
EF
、
MN
相交于点
P
，图中共有
个平行四边形。
4.
如果平行四边形的两条对角线长分别 为
8
和
12
，那么它的边长不能取（
）
A. 10 B. 8 C. 7 D. 6
F
D
5.
如图，在□
ABCD
中，
AC
、
BD
交于点
O
，
EF
过点
O
分别交
AB
、
CD于
E
、
F
，
AO
、
CO
的中点分别为
G
、
H
，求证：四边形
GEHF
是平行四边形。
O
G
A
E
C
H
B