中考数学平行四边形综合练习题含答案
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2021年01月16日 23:24
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中考数学平行四边形综合练习题含答案
一、平行四边形
1
．
四边形
ABCD
是正方形，
AC
与
BD，相交于点
O
，点
E
、
F
是直线
AD
上两动点，且
AE=DF
，
CF
所在直线与对角线
BD
所在 直线交于点
G
，连接
AG
，直线
AG
交
BE
于点
H
．
（
1
）如图
1
，当点
E
、
F
在线段
AD
上时，
①
求证：
∠< br>DAG=
∠
DCG
；
②
猜想
AG
与
BE
的位
置关系，并加以证明；
（
2
）如图
2< br>，在（
1
）条件下，连接
HO
，试说明
HO
平分∠
BHG
；
（
3
）当点
E
、
F
运动到如图
3
所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接
写出
∠
BHO
的度数．
【答案】（
1
）
①
证明见解析；
②AG
⊥
BE
．理由见解析；（
2
）证明见解析；（
3
）
∠
BHO=45°
．
【解析】
试题分析：（
1
）
①
根据正方形的性质 得
DA=DC
，
∠
ADB=
∠
CDB=45°
，则 可根据
“SAS”
证明
△
ADG
≌
△
CDG
，所以
∠
DAG=
∠
DCG
；
②
根据正方形的性 质得
AB=DC
，
∠
BAD=
∠
CDA=90°
， 根据
“SAS”
证明
△
ABE
≌
△
DCF
，则
∠
ABE=
∠
DCF
，由于
∠
DAG=
∠
DCG
，
所以
∠
DAG=
∠
ABE
， 然后利用
∠
DAG+
∠
BAG=90°
得到
∠
AB E+
∠
BAG=90°
，于是可判断
AG
⊥
BE
；
（
2
）如答图
1
所示，过点
O
作
OM
⊥
BE
于点
M
，
ON
⊥
AG
于点
N
，证明
△
AON
≌
△
BOM
，< br>可得四边形
OMHN
为正方形，因此
HO
平分
∠
BH G
结论成立；
（
3
）如答图
2
所示，与（
1
）同理，可以证明
AG
⊥
BE
；过点
O
作OM
⊥
BE
于点
M
，
ON
⊥
AG于点
N
，构造全等三角形
△
AON
≌
△
BOM
，从而证明
OMHN
为正方形，所以
HO
平分
∠
B HG
，即
∠
BHO=45°
．
试题解析：（
1< br>）
①
∵
四边形
ABCD
为正方形，
∴DA=DC
，
∠
ADB=
∠
CDB=45°
，
在
△
ADG
和
△
CDG
中
，
∴
△
ADG
≌
△
CDG
（< br>SAS
），
∴
∠
DAG=
∠
DCG
；
②AG
⊥
BE
．理由如下：
∵
四边形
ABCD
为正方形，
∴
AB=DC，
∠
BAD=
∠
CDA=90°
，
在
△
ABE
和
△
DCF
中
，
∴
△
ABE
≌
△
DCF
（< br>SAS
），
∴
∠
ABE=
∠
DCF
，
∵
∠
DAG=
∠
DCG
，
∴
∠
DAG=
∠
ABE
，
∵
∠
DAG+
∠
BAG=90°
，
∴
∠
ABE+
∠
BAG=90°
，
∴
∠
AHB=90°
，
∴
AG
⊥
BE
；
（
2
）由（< br>1
）可知
AG
⊥
BE
．
如答图
1
所示，过点
O
作
OM
⊥
BE
于点
M
，
ON
⊥
AG
于点
N
，则四边形
OMHN
为矩形．
∴
∠
MON=90°
，
又
∵
OA
⊥
OB
，
∴
∠
AON=
∠
BOM
．
∵
∠
AON+
∠
OAN=90°
，
∠
BOM+
∠
OBM=90°
，
∴
∠
OAN=
∠
OBM
．
在
△
AON
与
△
BOM
中，
∴
△
AON
≌
△
BOM
（
AAS
）．
∴
OM=ON
，
∴
矩形
OMHN
为正方形，
∴
HO
平分
∠
BHG
．
（
3< br>）将图形补充完整，如答图
2
示，
∠
BHO=45°
．
与（
1
）同理，可以证明
AG
⊥
BE
．
过点
O
作
OM
⊥
BE
于点
M
，< br>ON
⊥
AG
于点
N
，
与（
2）同理，可以证明
△
AON
≌
△
BOM
，
< br>可得
OMHN
为正方形，所以
HO
平分
∠
BHG，
∴
∠
BHO=45°
．
考点：
1
、四边形综合题；
2
、全等三角形的判定与性质；
3
、正方形的性 质
2
．
如图，
△
ABC
是等边三角形 ，
AB=6cm
，
D
为边
AB
中点．动点
P
、
Q
在边
AB
上同时从
点
D
出发，点
P
沿
D→A
以
1cm/s
的速度向终点
A
运动．点< br>Q
沿
D→B→D
以
2cm/s
的速度
运动，回到点< br>D
停止．以
PQ
为边在
AB
上方作等边三角形
PQN
．将
△
PQN
绕
QN
的中点旋
转
180°
得到
△
MNQ
．设四边形
PQMN
与
△
A BC
重叠部分图形的面积为
S
（
cm
2
），点
P< br>运
动的时间为
t
（
s
）（
0
＜
t< br>＜
3
）．
（
1
）当点
N
落在边< br>BC
上时，求
t
的值．
（
2
）当点
N
到点
A
、
B
的距离相等时，求
t
的值．
（
3
）当点
Q
沿
D→B
运动时，求
S
与
t
之间的函数表达式．
（
4
）设四边形
PQMN
的边
MN
、
MQ
与边
BC
的交点分别是
E
、
F
，直接写出四边形
PEMF
与四边形
PQM N
的面积比为
2
：
3
时
t
的值．
【答案】（
1
）
（
2
）
2
（< br>3
）
S=S
菱形
PQMN
=2S
△
PNQ< br>=
t=1
或
【解析】
t
2
；
（
4
）
试题分析：（
1
）由题意知：当点
N
落在边
BC
上时，点
Q
与点< br>B
重合，此时
DQ=3
；
（
2
）当点N
到点
A
、
B
的距离相等时，点
N
在边
AB
的中线上，此时
PD=DQ
；
（
3
）当< br>0≤t≤
时，四边形
PQMN
与
△
ABC
重叠部分图 形为四边形
PQMN
；当
≤t≤
时，四
边形
PQMN
与
△
ABC
重叠部分图形为五边形
PQFEN
．
（
4
）
MN
、
MQ
与边
BC
的有交点时 ，此时
＜
t
＜
面积表达式后，即可求出
t
的值．
试题解析：（
1
）
∵
△
PQN
与
△
ABC
都是等边三角形，
∴
当点
N
落在边
BC
上时，点
Q
与点
B
重合．
∴
DQ=3
∴
2t=3
．
∴
t=
；
（
2
）
∵
当点
N
到点
A
、
B
的距离相等时，点
N
在边
AB
的中线上，
∴
PD=DQ
，
当
0
＜
t
＜
时，
此时，
PD=t
，
DQ=2t
∴
t=2t
∴
t=0
（不合题意，舍去），
当
≤
t
＜
3
时，
此时，
PD=t
，
DQ=6
﹣
2t
∴
t=6
﹣
2t
，
解得
t=2
；
综上所述，当点
N到点
A
、
B
的距离相等时，
t=2
；
（
3
）由题意知：此时，
PD=t
，
DQ=2t
当点
M
在
BC
边上时，
∴
MN=BQ
∵
PQ=MN=3t
，
BQ=3
﹣
2t
∴
3t=3
﹣
2t
∴
解得
t=
如图
①
，当
0≤t≤
时，
S
△
PNQ
=
PQ
2
=
t
2
；
t
2
，
，列出四边形
PEMF
与四边形
PQMN
的
∴
S=S
菱形
PQMN
=2S
△
PNQ
=
如图
②
，当
≤t≤
时，
设< br>MN
、
MQ
与边
BC
的交点分别是
E
、F
，
∵
MN=PQ=3t
，
NE=BQ=3
﹣
2t
，
∴
ME=MN
﹣
NE=PQ
﹣
BQ=5t
﹣
3
，
∵
△
EMF
是等边三角形，
∴
S
△EMF
=
ME
2
=
（
5t
﹣
3
）
2
．
；
（
4
）
MN
、
MQ
与边
BC
的交点分别是
E
、
F
，
此时
＜
t
＜
t=1
或
，
．
考点：几何变换综合题
3
．< br>如图，平面直角坐标系中，四边形
OABC
为矩形，点
A
，
B
的坐标分别为（
4
，
0
），
（
4
，
3
），动点
M
，
N
分别从
O
，
B
同时出发．以每秒
1
个单位的速度运动．其中，点
M
沿
OA
向终点
A
运动，点
N
沿
BC
向终点
C
运 动．过点
M
作
MP
⊥
OA
，交
AC
于P
，连接
NP
，已知动点运动了
x
秒．
（< br>1
）
P
点的坐标为多少（用含
x
的代数式表示）；
（
2
）试求
△
NPC
面积
S
的表达式，并 求出面积
S
的最大值及相应的
x
值；
（
3
）当
x
为何值时，
△
NPC
是一个等腰三角形？简要说明理由．< br>
【答案】（
1
）
P
点坐标为（
x
，
3
﹣
（
2
）
S
的最大值为
（
3
）
x=
【解析】
，或
x=
，此时
x=2
．
，或
x=
．
x
）．
试题分析：（1
）求
P
点的坐标，也就是求
OM
和
PM
的长 ，已知了
OM
的长为
x
，关键是
求出
PM
的长，方 法不唯一，
①
可通过
PM
∥
OC
得出的对应成比例线段来求 ；
②
也可延长
MP
交
BC
于
Q
，先在直角三角形
CPQ
中根据
CQ
的长和
∠
ACB
的正切值求出
PQ
的长，然后根据
PM=AB
﹣
PQ
来求 出
PM
的长．得出
OM
和
PM
的长，即可求出
P< br>点的
坐标．
（
2
）可按（
1
）
②
中的方法经求出
PQ
的长，而
CN
的长可根据
CN=BC< br>﹣
BN
来求得，因此
根据三角形的面积计算公式即可得出
S
，
x
的函数关系式．
（
3
）本题要分类讨论：
< br>①
当
CP=CN
时，可在直角三角形
CPQ
中，用
C Q
的长即
x
和
∠
ABC
的余弦值求出
CP
的表
达式，然后联立
CN
的表达式即可求出
x
的值；
②
当
CP=PN
时，那么
CQ=QN
，先在直角三角形
CPQ
中求出
CQ
的长，然后根据
QN=CN
﹣
CQ
求出
QN
的表达式，根据题设的等量条件即可得出
x
的值．
③
当
CN=PN
时，先求出
QP
和
QN
的长， 然后在直角三角形
PNQ
中，用勾股定理求出
PN
的长，联立
CN< br>的表达式即可求出
x
的值．
试题解析：（
1
）过点
P
作
PQ
⊥
BC
于点
Q
，
有题意可得：
PQ
∥
AB
，
∴
△
CQP
∽
△
CBA
，
∴
∴
解得：
QP=
∴
PM=3
﹣
x
，
x
，
由题意可知，
C
（
0
，
3
），
M
（
x
，
0
），
N
（
4
﹣
x
，
3
），
P
点坐标为（
x
，
3
﹣
x
）．
（
2
）设
△
NPC
的面积为
S
，在
△
NPC
中，
NC=4
﹣
x
，
NC< br>边上的高为
∴
S=
=
﹣
（
4
﹣
x< br>）
×
（
x
﹣
2
）
2
+
，其 中，
0≤x≤4
．
x=
．
，此时
x=2
．
（﹣
x
2
+4x
）
∴
S
的最大 值为
（
3
）延长
MP
交
CB
于
Q
，则有
PQ
⊥
BC
．
①
若
NP=CP
，
∵
PQ
⊥
BC
，
∴
NQ=CQ=x
．
∴
3x=4
，
∴
x=
．
x
，
4
﹣
x=
x
，
②
若
CP=CN
，则
CN=4
﹣
x
，
PQ=x
，
CP=
∴
x=
；
③
若
CN=NP< br>，则
CN=4
﹣
x
．
∵
PQ=
x
，
NQ=4
﹣
2x
，
∵
在
Rt
△
PNQ
中，
PN
2
= NQ
2
+PQ
2
，
∴
（
4
﹣< br>x
）
2
=
（
4
﹣
2x
）
2
+
（
∴
x=
．
，或
x=
，或
x=
．
x
）
2
，
综上所述，
x=
考点：二次函数综合题．
4
．
操作与证明：如图
1
，把一个含
45°
角的直角三角板
ECF
和一个正方形
ABCD
摆放在一
起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点
C
重合，点
E
、
F
分别在正方形的边
CB
、
CD
上，
连接
AF
．取
AF
中点
M
，
EF
的中点
N
，连接
MD
、
MN
．
（
1< br>）连接
AE
，求证：
△
AEF
是等腰三角形；
猜想与发现：
（
2
）在（
1
）的条件下，请判断
MD
、
MN
的数量关系和位置关系，得出结论．
结论
1
：
DM
、
MN
的数量关系是
；
结论
2
：
DM
、
MN
的位置关系是
；
拓展与探究：
（
3
）如图
2
，将图
1
中的直角三角板
ECF
绕点
C
顺时针旋转
180°
，其他条件不变，则
（
2
）中的两个结论还成立吗？若成立，请加 以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（
1
）证明参见解析 ；（
2
）相等，垂直；（
3
）成立，理由参见解析
.
【解析】
试题分析：（
1
）根据正方形的性质以及等腰直角三角形 的知识证明出
CE=CF
，继而证明出
△
ABE
≌
△
ADF
，得到
AE=AF
，从而证明出
△
AEF
是等腰三 角形；（
2
）
DM
、
MN
的数量关
系是相等，利用 直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论
.
位置
关系是垂直 ，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角
相等即可得出结论；（3
）成立，连接
AE
，交
MD
于点
G
，标记出 各个角，首先证明出
MN
∥
AE
，
MN=
AE
，利 用三角形全等证出
AE=AF
，而
DM=
AF
，从而得到
D M
，
MN
数量相
等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形 性质以及角角之间的数量关
系得到
∠
DMN=
∠
DGE=90°．从而得到
DM
、
MN
的位置关系是垂直
.
试题解析：（
1
）
∵
四边形
ABCD
是正方形，
∴
AB=AD=BC=CD
，
∠
B=
∠
ADF=90°
，
∵
△
CEF
是等腰直角三角形，
∠
C=90°
，
∴
CE=CF
，
∴
BC
﹣
CE=CD
﹣
CF
，即
BE=DF
，
∴
△
ABE
≌△
ADF
，
∴
AE=AF
，
∴
△
AE F
是等腰三角形；（
2
）
DM
、
MN
的数量关系是 相等，
DM
、
MN
的位置关系是垂直；
∵
在
Rt< br>△
ADF
中
DM
是斜边
AF
的中线，
∴AF=2DM
，
∵
MN
是
△
AEF
的中位线，
∴
AE=2MN
，
∵
AE=AF
，
∴
DM =MN
；
∵
∠
DMF=
∠
DAF+
∠
AD M
，
AM=MD
，
∵
∠
FMN=
∠
FAE
，
∠
DAF=
∠
BAE
，
∴
∠
A DM=
∠
DAF=
∠
BAE
，
∴
∠
DMN =
∠
FMN+
∠
DMF=
∠
DAF+
∠
B AE+
∠
FAE=
∠
BAD=90°
，
∴
DM⊥
MN
；（
3
）（
2
）中的
两个结论还成立， 连接
AE
，交
MD
于点
G
，
∵
点
M
为
AF
的中点，点
N
为
EF
的中点，
∴
MN
∥
AE
，
MN=
AE
，由已知得，
A B=AD=BC=CD
，
∠
B=
∠
ADF
，
CE= CF
，又
∵
BC+CE=CD+CF
，即
BE=DF
，∴
△
ABE
≌
△
ADF
，
∴
AE=A F
，在
Rt
△
ADF
中，
∵
点
M
为
AF
的
中点，
∴
DM=
AF
，
∴
DM=MN
，
∵
△
ABE
≌
△
ADF
，
∴
∠
1=
∠
2
，
∵
AB
∥
DF
，
∴
∠
1=
∠
3
，同
理可证：∠
2=
∠
4
，
∴
∠
3=
∠
4
，
∵
DM=AM
，
∴
∠
MAD=
∠
5
，
∴
∠
DGE=
∠
5+
∠
4=
∠
MAD+
∠
3=90°
，
∵
MN
∥
A E
，
∴
∠
DMN=
∠
DGE=90°
，
∴
DM
⊥
MN
．所
以（
2
）中的两个结论还成立.
考点：
1.
正方形的性质；
2.
全等三 角形的判定与性质；
3.
三角形中位线定理；
4.
旋转的性
质．
5
．
在平面直角坐标系中，四边形
AOBC
是矩形 ，点
O
（
0
，
0
），点
A
（
5< br>，
0
），点
B
（
0
，
3
）．以点< br>A
为中心，顺时针旋转矩形
AOBC
，得到矩形
ADEF
，点
O
，
B
，
C
的对应点分别
为
D
，
E
，
F
．
（
1
）如图
①
，当点
D
落在
BC
边上时，求点
D
的坐标；
< br>（
2
）如图
②
，当点
D
落在线段
BE
上时，
AD
与
BC
交于点
H
．
①
求证
△
ADB
≌
△
AOB
；
②
求点
H
的坐标．
（
3
）记
K
为矩形
AOBC
对角线的交点，
S
为
△
KDE的面积，求
S
的取值范围（直接写出结
果即可）．
【答案】（
1
）
D
（
1
，
3
）；（
2
）
①
详见解析；
②
H
（
17
，
3
）；（
3
）
5
30
3
34
30
3
34
≤
S
≤
．
4
4
【解析】
【分析】
（
1
）如图
①
，在
Rt
△
ACD
中求出
CD
即 可解决问题；
（
2
）
①
根据
HL
证明即可；
②
，设
AH=BH=m
，则
HC=BC-BH=5-m
，在
Rt
△
AHC
中，根据
AH
2
=HC
2< br>+AC
2
，构建方程求出
m
即可解决问题；
（3
）如图
③
中，当点
D
在线段
BK
上时，△
DEK
的面积最小，当点
D
在
BA
的延长线上
时，
△
D′E′K
的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；
【详解】
（
1
）如图
①
中，
∵
A
（
5
，
0
），
B
（
0
，
3
），
∴
OA
=5
，
OB
=3
，
∵
四边形
AOBC
是矩形，
∴
AC
=< br>OB
=3
，
OA
=
BC
=5
，
∠< br>OBC
=
∠
C
=90°
，
∵
矩形
ADEF
是由矩形
AOBC
旋转得到，
∴
AD
=
AO
=5
，
在
Rt< br>△
ADC
中，
CD
=
∴
BD
=
BC
-
CD
=1
，
∴
D
（
1
，
3
）．
（
2
）
①
如图
②
中，
AD
2
AC
2
=4
，
由四边形
ADEF
是矩形，得到
∠
ADE
=90°
，< br>
∵
点
D
在线段
BE
上，
∴
∠
ADB
=90°
，
由（
1
）可知，
AD
=
AO
，又
AB
=
AB
，< br>∠
AOB
=90°
，
∴
Rt
△
A DB
≌
Rt
△
AOB
（
HL
）．
②
如图
②
中，由
△
ADB
≌
△
AOB< br>，得到
∠
BAD
=
∠
BAO
，
又在矩形
AOBC
中，
OA
∥
BC
，
∴
∠
CBA
=
∠
OAB
，
∴
∠
BAD
=
∠
CBA
，
∴< br>BH
=
AH
，设
AH
=
BH
=
m< br>，则
HC
=
BC
-
BH
=5-
m
，
在
Rt
△
AHC
中，
∵
AH
2
=
HC
2
+
AC
2
，
∴
m
2
=3
2
+
（
5-
m
）
2< br>，
∴
m
=
17
，
5
17
，
5
17
，
3
）．
5
1
1
•
DE
•
DK
=
×3×
2
2
∴
BH
=
∴
H
（
（
3
）如图
③
中， 当点
D
在线段
BK
上时，
△
DEK
的面积最小，最 小值
=
（
5-
34
30
3
34
）
=
，
2
4
当点
D
在
BA
的延长线上时，
△
D
′
E
′
K
的面 积最大，最大面积
=
1
1
×
D
′
E
′×< br>KD
′=
×3×
2
2
（
5+
34
3 0
3
34
）
=
．
2
4
综上所述，
【点睛】
30
334
30
3
34
≤
S
≤
．
4
4
本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转 变换等
知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决
问题．
6
．
已知
AD
是
△
A BC
的中线
P
是线段
AD
上的一点（不与点
A
、< br>D
重合），连接
PB
、
PC
，
E
、
F
、
G
、
H
分别是
AB
、
AC
、
PB
、
PC
的中点，
AD
与
EF
交于点< br>M
；
（
1
）如图
1
，当
AB
＝
AC
时，求证：四边形
EGHF
是矩形；
（
2
）如图
2
，当点
P
与点
M
重合时， 在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与
△
BPE
面
积相等的三角形（不包 括
△
BPE
本身）．
【答案】（
1
）见解析；（
2
）
△
APE
、
△
APF
、
△< br>CPF
、
△
PGH
．
【解析】
【分析】
（
1
）由三角形中位线定理得出
EG
∥
AP
，
EF
∥
BC
，
EF=
1
1
BC
，
GH
∥
BC
，
GH=
BC
，推出
2
2
EF
∥
GH
，
EF=GH
，证 得四边形
EGHF
是平行四边形，证得
EF
⊥
AP
，推出< br>EF
⊥
EG
，即可得出
结论；
（
2
）由
△
APE
与
△
BPE
的底
AE=BE
，又等高，得出
S
△
APE
=S
△
BPE
，由< br>△
APE
与
△
APF
的底
EP=FP
，又等 高，得出
S
△
APE
=S
△
APF
，由
△
APF
与
△
CPF
的底
AF=CF
，又等高，得出
S
△
APF
=S
△
CPF
，证得
△
PGH
底边
GH
上的高等于
△
AEF
底边
EF< br>上高的一半，推出
1
S
△
AEF
=S
△
AP F
，即可得出结果．
2
【详解】
S
△
PGH
=
（
1
）证明：
∵
E
、
F
、
G
、
H
分别是
AB
、
AC
、
P B
、
PC
的中点，
∴
EG
∥
AP
，
EF
∥
BC
，
EF
＝
∴
EF
∥
GH
，
EF
＝
GH
，
∴
四边形
EGHF
是平行四边形，
∵
AB
＝
AC
，
1
1
BC，
GH
∥
BC
，
GH
＝
BC
，
2
2
∴
AD
⊥
BC
，
∴
EF
⊥
AP
，
∵
EG
∥
AP
，
∴
EF
⊥
EG
，
∴
平行四边形
EGHF
是矩形；
（
2
）
∵
PE
是
△
APB
的中线，
∴
△
APE
与
△
BPE
的底
AE
＝
BE，又等高，
∴
S
△
APE
＝
S
△< br>BPE
，
∵
AP
是
△
AEF
的中线，
∴
△
APE
与
△
APF
的底
EP
＝
FP，又等高，
∴
S
△
APE
＝
S
△< br>APF
，
∴
S
△
APF
＝
S△
BPE
，
∵
PF
是
△
APC
的中线，
∴
△
APF
与
△
CPF
的底
AF
＝
CF，又等高，
∴
S
△
APF
＝
S
△< br>CPF
，
∴
S
△
CPF
＝
S△
BPE
，
∵
EF
∥
GH
∥
BC
，
E
、
F
、
G
、
H
分别是
AB
、
AC
、
PB
、
PC
的中点，
∴
△
AEF
底边
EF
上的高等于
△
A BC
底边
BC
上高的一半，
△
PGH
底边
GH上的高等于
△
PBC
底边
BC
上高的一半，
∴
△
PGH
底边
GH
上的高等于
△
AEF
底边
EF
上高的一半，
∵
GH
＝
EF
，
∴
S
△
PGH
＝
1
S
△
AEF
＝
S
△
APF
，
2
综上所述，与
△
BPE
面积相等的三 角形为：
△
APE
、
△
APF
、
△
CPF
、
△
PGH
．
【点睛】
本题考查了矩 形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、
三角形面积的计算等知识，熟 练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．
7
．
（
1
）（问题发现）
如图
1
，在
Rt
△
ABC
中，
AB
＝
AC
＝< br>2
，
∠
BAC
＝
90°
，点
D
为< br>BC
的中点，以
CD
为一边作正
方形
CDEF
，点< br>E
恰好与点
A
重合，则线段
BE
与
AF
的数 量关系为
（
2
）（拓展研究）
在（
1
）的条件下，如果正 方形
CDEF
绕点
C
旋转，连接
BE
，
CE
，
AF
，线段
BE
与
AF
的数
量关系有无变化？ 请仅就图
2
的情形给出证明；
（
3
）（问题发现）
当正方形
CDEF
旋转到< br>B
，
E
，
F
三点共线时候，直接写出线段
AF
的长．
【答案】（
1
）
BE=
2
A F
；（
2
）无变化；（
3
）
AF
的长为
3
﹣
1
或
3
+1
．
【解析】
< br>试题分析：（
1
）先利用等腰直角三角形的性质得出
AD=
2
，再得出
BE=AB=2
，即可得出
结论；
（
2
）先利用三角函数得出
CA
2
CF
2
，同理得出
， 夹角相等即可得出
CB
2
CE
2
△
A CF
∽
△
BCE
，进而得出结论；
（
3
）分两种情况计算，当点
E
在线段
BF
上时，如图
2
，先利 用勾股定理求出
EF=CF=AD=
2
，
BF=
6
，即可得 出
BE=
6
﹣
2
，借助（
2
）得出的结论，当点< br>E
在线
段
BF
的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论．
试题解析：（
1
）在
Rt
△
ABC
中，
A B=AC=2
，
根据勾股定理得，
BC=
2
AB=2
2
，
点
D
为
BC
的中点，
∴
AD=
1
BC=
2
，
2
∵
四边形
CDEF
是正方形，< br>∴
AF=EF=AD=
2
，
∵
BE=AB=2，
∴
BE=
2
AF
，
故答案为
BE=
2
AF
；
（
2
）无变化；
如图
2
，在
Rt
△
ABC
中，
AB=AC=2
，
∴
∠
ABC=
∠
ACB=45°
，
∴
sin
∠
ABC=
在正方形
CDEF
中，
∠
FEC=
在
Rt
△
CEF
中，
sin
∠
FEC=
∴
CA
2
，
CB
2
1
∠
FED=45°
，
2
CF
2
，
CE
2
CF
CA
，
CE< br>CB
∵
∠
FCE=
∠
ACB=45°
，
∴< br>∠
FCE
﹣
∠
ACE=
∠
ACB
﹣
∠
ACE
，
∴
∠
FCA=
∠
ECB
，
BE
CB
=
2
，
∴
BE=
2
AF
，
AF
CA
∴
线段
BE
与
AF
的数量关系无变化；
（
3
）当点
E
在线段
AF
上时，如图
2
，
∴
△
ACF
∽
△
BCE
，
∴
由（
1
）知，
CF=EF=CD=
2
，
在
Rt
△
BCF
中，
CF=
2
，
BC=2
2
，
根据勾股定理得，
BF=
6
，∴
BE=BF
﹣
EF=
6
﹣
2
，
< br>由（
2
）知，
BE=
2
AF
，
∴
A F=
3
﹣
1
，
当点
E
在线段
B F
的延长线上时，如图
3
，
在
Rt
△
A BC
中，
AB=AC=2
，
∴
∠
ABC=
∠
ACB=45°
，
∴
sin
∠
ABC=
在正方形
CDEF
中，
∠
FEC=
在
Rt
△
CEF
中，
sin
∠
FEC=
CA
2
，
CB
2
1
∠
FED=45°
，
2
CF
CA
CF
2
，
∴
，
CE
CB
CE2
∵
∠
FCE=
∠
ACB=45°
，
∴
∠
FCB+
∠
ACB=
∠
FCB+
∠
FCE，
∴
∠
FCA=
∠
ECB
，
∴△
ACF
∽
△
BCE
，
∴
BE
CB< br>
=
2
，
∴
BE=
2
AF
，
AF
CA
由（
1
）知，
CF=EF=CD=
2
，
在
Rt
△
BCF
中，
CF=
2
，BC=2
2
，
根据勾股定理得，
BF=
6
，
∴
BE=BF+EF=
6
+
2
，
由（< br>2
）知，
BE=
2
AF
，
∴
AF=
3
+1
．
即：当正方形
CDEF
旋转到
B
，
E
，
F
三点共线时候，线段
AF
的长为
3﹣
1
或
3
+1
．
8< br>．
点
P
是矩形
ABCD
对角线
AC
所在直线 上的一个动点（点
P
不与点
A
，
C
重合），分别
过 点
A
，
C
向直线
BP
作垂线，垂足分别为点
E，
F
，点
O
为
AC
的中点．
（
1
）如图
1
，当点
P
与点
O
重合时 ，请你判断
OE
与
OF
的数量关系；