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2021年1月16日发(作者：蓝廷芳)
判别平行四边形的基本方法


如何判别一个四边形是平行四边形呢
?
下面举例予以说明
.
一、运 用
“
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
”
判
别

例
1

如图
1,
在平行四边形
ABCD
中
,
E
、
F
在对角线
AC
上
,
且
AE
=
CF
,
试说明四边形
DEBF
是平行四边形
.
分析
:
由于已知条件与对角线有关，故考虑运用
“
两条 对角
线互相平分的四边形是平行四边形
”
进行判别
.
为此
,
需连接
BD
.
解：连接
BD
交
AC
于点
O
.

因为四边形
ABCD
是平行四边形
,
所以
AO
=
CO
,
BO
=
DO
.
又
AE
=
CF
,

所以
AO
-
AE
=
CO
-
CF
,
即
EO
=< br>FO
.

所以四边形
DEBF
是平行四边形
.
二、运用
“
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
”
判别

例
2

如图
2
，
是由九根完全一样的小木棒搭成 的图形，
请
你指出图中所有的平行四边形，并说明理由
.
分析
:< br>设每根木棒的长为
1
个单位长度，
则图中各四边形的
边长便可求得，< br>故应考虑运用
“
两组对边分别相等的四边形是平
行四边形
”
进 行判别
.
解
：
设
每
根
木
棒
的< br>长
为
1
个
单
位
长
度
，
则< br>AF
=
BC
=1,
AB
=
FC
=1,
所以四边形
ABCF
是平行四边形
.
同样可知四边形
FC DE
、
四边形
ACDF
都是平行四四边形
.
因为
AE
=
DB
=2,
AB
=
DE
=1,
所以 四边形
ABDE
也是平行四边
形
.
三、运用
“
一 组对边平行且相等的四边形是平行四边形
”
判
别

例
3

如图
3
，
E
、
F
是四边形
AB CD
的对角线
AC
上的两
点，
AE
=
CF
,
DF
=
BE
,
DF
∥
BE
，
试 说明四边形
ABCD
是平行四边
形
.
分析
:
题 目给出的条件都不能直接判别四边形
ABCD
是平
行四边形，但仔细观察可知，
由已知条件可得△
ADF
≌△
CBE
，
由此就可得到判别平行四边 形所需的
“
一组对边平行且相等
”
的条件
.
解：因为< br>DF
∥
BE
，所以∠
AFD
=
∠
CEB.
因为
AE
=
CF
,
所以
AE
+< br>EF
=
CF
+
EF
，即
AF
=
CE
.
又
DF
=
BE
,
所以△
ADF
≌△
CBE
，所以
AD
=
BC
，∠
DAF
=
∠
BCE
，

所以
AD
∥
BC
.
所以四边形
ABCD
是平行四边形
.

1
A

E





D



O

B



F





图
1
C



A
F
E
B
C
D
图
2
D
C
E
F
A
B
图
3
四、运用
“
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
”
判别

例
4

如图
4
，在平行四边形
ABCD
中，∠
DAB
、∠
BCD
的平分线分别交
BC
、
A D
边于点
E
、
F
，
则四边形
AECF
是平 行
四边形吗？为什么？

分析：由平行四边形的性质易得
AF
∥EC
，又题目中给出
的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考
虑运用
“
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
”
进行判别
.
解：四边形
AECF
是平行四边形
.

理由：因为四边形
ABCD
是平行四边形，所以
AD
∥
BC
，
∠DAB
=
∠
BCD
，

所以
AF
∥
EC
.
又因为∠
1=
A
1
F
3
D
B
2
E
C
图
4
1
1
∠
DAB
，∠
2=
∠
BCD
，

2
2
所以∠
1=
∠
2 .
因为
AD
∥
BC
，所以∠
2=
∠
3，

所以∠
1=
∠
3
，所以
AE
∥< br>CF
.
所以四边形
AECF
是平行四边形
.







判定平行四边形的五种方法


平行四边形的判定方法有：
（
1
）
证两组对边分别平行；
（
2
）
证两组对边分别相等；
（
3
）证一组对边平 行且相等；
（
4
）证对
角线互相平分；
（
5
）证两 组对角分别相等。下面以近几年的中
考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。






一、

两组对边分别平行
如图
1
，
已知△
ABC
是等边三角形，
D
、< br>E
分别在边
BC
、
AC
上，且
CD
=
CE
，连结
DE
并延长至点
F
，使
EF
=
AE
，
连结
AF
、
BE
和
CF

2
A
F
E
B
D
C
图
1
(1)
请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；

(2)
判断四边形
ABDF
是怎样的四边形，并说明理由。


解：
（
1
）选证△
BDE
≌△
FEC

证明：∵△
ABC
是等边三角形，

∴
BC
=
AC
，∠
ACD
=60°
∵
CD
=
CE
，∴
BD
=
AE
，△< br>EDC
是等边三角形

∴
DE
=
EC
，∠< br>CDE
=
∠
DEC
=60°

∴∠
BDE
=
∠
FEC
=120°

又∵
EF
=
AE
，∴
BD
=
FE
，∴△
BDE
≌△
FEC

（
2
）四边形
ABDF
是平行四边形

理由：由（
1
）知，△
ABC
、△
EDC
、△
AEF
都是等
边三角形

∵∠
CDE
=
∠
ABC
=
∠
EF
A
=60°

∴
AB
∥
DF
，
BD
∥
AF

∵四边形
ABDF
是平行四边形。

点评：当四边形两组对边分别被 第三边所截，易证
截得的同位角相等，
内错角相等或同旁内角相等时，
可证四边形的两 组对边分别平行，从而四边形是平
行四边形。

二、

一组对边平行且相等

例
2

已知：如图
2
，在正方形
ABCD
中，
G
是
CD
上一
点，延长
BC
到
E
，使
CE
=
CG
，连结
BG
并延长交
DE
于
F

(1)
求证：△
BCG
≌△
DCE
；


(2)
将△
DCE
绕点
D
顺时针旋转
90°
得到△
DAE
′
，判
断四边形
E
′
BGD
是什么特殊四边形？并说明理由。

分析：
（
2
）由于
A BCD
是正方形，所以有
AB
∥
DC
，
又通过旋转
CE
=
AE
′
已知
CE
=
CG
，
所以
E
′
A
=
CG
，
这
样就有
B E
′=
GD
，可证
E
′
BGD
是平行四边形。
解：
（
1
）∵
ABCD
是正方形，

∴∠
BCD
=
∠
DCE
=90°
又∵
CG
=
CE
，
△
BCG
≌△
DCE

（
2
）∵△
DCE
绕
D
顺时针

旋转
90°
得到△
DAE
′
，

∴
CE
=
AE
′
，∵
CE
=
CG
，∴CG
=
AE
′
，

∵四边形
ABCD
是正方形

∴
BE
′
∥
DG
，
AB
=
CD

∴
AB
-< br>AE
′=
CD
-
CG
，即
BE
′=
DG

∴四边形
DE
′
BG
是平行四边形


3
点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相
等，即可得这个四边形是平行四边形

三、

两组对边分别相等

例
3

如图< br>3
所示，在△
ABC
中，分别以
AB
、
AC
、
BC
为边在
BC
的同侧作等边△
ABD
，等边△
ACE
，等
边△
BCF
。

求证：四边形
DAEF
是平行四边形；

分析：利用证三角形全等可 得四边形
DAEF
的两组
对边分别相等，从而四边形
DAEF
是平行 四边形。

解：∵△
ABD
和△
FBC
都是等边三角形

∴∠
DBF
+
∠
FBA
=
∠
ABC
+
∠
FBA
=60°

∴∠
DBF
=
∠
ABC

又∵
BD
=
BA
，
BF
=
BC



∴△
ABC
≌△
DBF

∴
AC
=
DF
=
AE

同理△
ABC
≌△
EFC

∴
AB
=
EF
=
AD

∴四边形
ADFE
是平行四边形

点评：题设中存在较多线段相等关 系时，可证四边
形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四
边形。

四、

对角线互相平分

例
4
已知：如图
4
，平行四边形
ABCD
的对角线
AC
和
BD
相交 于
O
，
AE
⊥
BD
于
E
，
BF< br>⊥
AC
于
F
，
CG
⊥
BD
于
G
，
DH
⊥
AC
于
H
，求证：四边形
E FGH
是平行四边形。

图
4
分析：因为题设条件是从四个顶点向 对角线引垂线，这
些条件与四边形
EFGH
的对角线有关，
若能证出
OE
=
OG
，
OF
=
OH
，则问题可获得解决。< br>





4




证明：∵
AE
⊥
BD
，
CG
⊥
BD
，

∴∠
AEO
=
∠
CGO
，

∵∠
AOE
=
∠
COG
，
OA
=
OC

∴△
AOE
≌△
COG
，
∴
OE
=
OG

同理△
BOF
≌△
DOH

∴
OF
=
OH

∴四边形
EFGH
是平行四边形

点评：当已知条件与四边形两对角 线有关时，可证两对
角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。

五、

两组对角相等

例
5

将两块全等的含
30°
角的三角尺如图
1
摆放在一起




四边形
ABCD
是平行四边形吗？理由













。

(1)
如图
2
，将
Rt
△
BCD
沿射线
BD
方向平移到
Rt
△
B
1
C
1
D
1
的位置，四边形
ABC
1D
1
是平行四边形
吗？说出你的结论和理由：















。

分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形
的两组内角相等解决问题。

解：
（
1
）四边形
ABCD
是平行四边形，理由如下：

∠
ABC
=
∠
ABD
+
∠
DBC
=30°
+90°
=120°
，

∠
ADC
=∠
ADB
+
∠
CDB
=90°
+30°
=12 0°

又∠
A
=60°
，∠
C
=60°
，
∴∠
ABC
=
∠
ADC
，∠
A
=
∠< br>C

（
2
）四边形
ABC
1
D
1< br>是平行四边形，理由如下：

将
Rt
△
BCD
沿射线 方向平移到
Rt
△
B
1
C
1
D
1
的位置
时，有
Rt
△
C
1
BB
1
≌
Rt
△
ADD
1

∴∠
C
1
BB
1
=
∠
AD
1
D
，∠
BC
1
B
1
=
∠
DAD
1

∴
有
∠
C
1
BA
=
∠
ABD
+
∠
C
1
BB
1
=
∠
C
1
D
1
B
1
+
∠
AD
1
B
=
∠
AD
1C
1
，∠
BC
1
D
1
=
∠
BC
1
B
1
+
∠
B
1
C
1
D
1
=
∠
D
1
AD
+
∠
DAB
=
∠
D
1
AB


5
所以四边形
ABC
1
D
1
是平行四边形

点评：
（
2
）也可这样证明：由（
1
）知
ABCD
是平行
四边形，∴
AB
∥
CD
，将

Rt
△
BCD
沿射线
BD
方向平移到
Rt
△
B
1
C
1
D
1
的位置
时，始终有
AB
∥C
1
D
1
，故
ABC
1
D
1
是平行四边形。













=
=
判断平行四边形的策略


在学习了
“
平行四边形
”
这部分内容后，对于平行四边形的
判定问题，可从以下几个方面去考虑：

一、考虑
“
对边
”
关系

思路
1
：证明两组对边分别相等

例
1

如图
1
所示，在△
ABC
中，∠
ACB
＝
90°
，
BC
的垂
直平分线
DE
交
BC
于
D
，交
AB
于
E
，
F
在
DE
上 ，并且
AF
＝
CE
.
求证：四边形
ACEF
是平行 四边形
.

证明：∵
DE
是
BC
的垂直平分线，

∴
DF
⊥
BC
，
DB
=
DC
.
∴∠
FDB
=
∠
ACB
= 90°
.

∴
DF
∥
AC
.
∴
CE
=
AE
=
B
E
3
1
AB
.
2
F
∴∠
1 =
∠
2 .


又∵
EF
∥
AC
，
AF
=
CE
=
AE

，

∴∠
2 =
∠
1 =
∠
3 =
∠
F
.

∴△
ACE
≌△
EF
A
.


∴
AC
=
EF
.
∴四边形
ACEF
是平行四边形
.

思路
2
：证明两组对边分别平行


6
D
2
A
1
C
（图
1
）

例

2

已知：如图
2
，在△
ABC< br>中，
AB
＝
AC
，
E
是
AB
的中点，
D
在
BC
上，延长
ED
到
F
， 使
ED
=
DF
=
EB
.
连结
FC
.
求证：四边形
AEFC
是平行四边形
.

A
证明：∵
AB
＝
AC
，∴∠
B
=
∠
ACB
.
∵
ED
=
EB
，∴∠
B
=
∠
EDB
.
E
∴∠
ACB
=
∠
EDB
.



∴
EF
∥
AC
.
B
C
∵
E
是
AB
的中点，∴
BD
=
CD
.
D
∵∠
EDB
=
∠
FDC
，
ED
=
DF
，

F
∴△
EDB
≌△
FDC
.
∴∠
DEB
=
∠
F
.
∴
AB
∥
CF
.
∴四边形
AEFC
是平行四边形
.
思路
3
：证明一组对边平行且相等

例
3
如图
3
，已知平行四边形
ABCD
中，
E
、
F


分别是
AB
、
CD
上的点，
AE
=
C F
，
M
、
N
分别是
DE
、
BF
的 中点
.
求证：四边形
ENFM
是平行四边形
.

证明：∵四边形
ABCD
是平行四边形，

∴
AD
=
BC
，∠
A
=
∠
C
.
又∵
AE
=
CF
，∴△
ADE
≌△
CBF
.
F
D
∴∠
1 =
∠
2
，
DE
=
BF
.
C
2
∵
M
、
N
分 别是
DE
、
BF
的中点，

N
M
∴
EM
=
FN
.
1
3
∵
DC
∥
AB
，∴∠
3 =
∠
2.
A
B
E
∴∠
1 =
∠
3.


∴
EM

∥
FN
.

∴四边形
ENFM
是平行四边形
.


二、考虑
“
对角
”
关系


思路：证明两组对角分别相等

例
4

如图
4
，在正方形
ABCD
中，点
E
、

F
分别是
AD
、
BC
的中点
.
求证：< br>（
1
）△
ABE
≌△
CDF
；

（
2
）四边形
BFDE
是平行四边形
.

证明：
（
1
）
在正方形
ABCD
中，
AB
=
CD
，
AD
=
BC
，
∠
A
=
∠
C

=
90°
，∵
AE
=
E
4
1
A
3
2
F
D
（图
4
）

B
C
1
1
AD
，
CF
=
BC
，

2
2
∴
AE
=
CF
.

∴△
ABE
≌△
CDF
. < br>（
2
）由（
1
）△
ABE
≌△
CDF
知，∠
1 =
∠
2
，∠
3 =
∠
4.

∴∠
BED
=
∠
DFB
.

7

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