高中数学电子书——不定积分
余年寄山水
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2021年01月17日 15:39
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不定积分
不定积分的概念
原函数的概念
已知函数
f(x)
是一个定义在某区 间的函数，如果存在函数
F(x)
，使得在该区间内的任一
点都有
dF'(x)=f(x)dx
，
则在该区间内就称函数
F( x)
为函数
f(x)
的
原函数
。
例：
sinx
是
cosx
的原函数。
关于原函数的问题
函数
f(x)
满足什么条件是，
才保证其原函数一定存在呢？这个问题我们以后来解决。
若其
存在原函数，那末原函数 一共有多少个呢？
我们可以明显的看出来：若函数
F(x)
为函数
f(x)
的原函数，
即：
F
，
则函数族
F (x)+C(C
为任一个常数）中的任一个函数一定是
f(x)
的原函数，
故：若函数
f(x)
有原函数，那末其原函数为无穷多个
.
不定积分的概念
函数
f(x)
的全体原函数叫做函 数
f(x)
的
不定积分
，
记作
。
由上面的定义我们可以知道：如果函数
F( x)
为函数
f(x)
的一个原函数，那末
f(x)
的不定
积 分
就是函数族
F(x)+C.
即
:
例题：
求：
.
=F(x)+C
解答：
由于
，故
=
不定积分的性质
1
、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；
即：
2
、求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，
即：
求不定积分的方法
[
来源
: ]
换元法
换元法（一）：
设
f (u)
具有原函数
F(u)
，
u=g(x)
可导，那末
F[ g(x)]
是
f[g(x)]g'(x)
的原
函数
.
即有换元公式
:
例题：
求
解答：
这个积分在基本积分表中是查不到的，故我们要利用换元法。
设
u=2x
，那末
cos2x=cosu
，
du=2dx< br>，因此：
换元法（二）：设
x=g(t)
是单调的，可导的函数，并且
g'(t)≠0，又设
f[ g(t)]g'(t)
具
有原函数
φ
(t)
，
则
φ
[g(x)]
是
f(x)
的原函数
.(
其中
g(x)
是
x=g(t)
的反函数）
即有换元公式
:
例题：
求
解答：
这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三角公式来换元
.
设
x=asint(-
π
/2
/2)
，那 末
于是有：
，
dx=acostdt,