二进制浮点数规范化
巡山小妖精
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2021年01月17日 16:23
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二进制浮点数规范化
篇一：浮点数的二进制表示
浮点数的二进制表示
1.
前几天，我在读一本
c
语言教材，有一道例题：
#include
voidmain(void)
{
intnum=9;/*num
是整型变量，设为
9*/
float*pFloat=/*pFloat
表示
num
的内存地址，但是设< br>为浮点数
*/printf(
的值为：
%dn
显示
num的
整型值
*/
printf(
的值为：
%fn
显示
num
的浮点值
*/
*pFloat=9.0;/*
将
num
的值改为浮点数
*/
printf(
的值为：
%dn
显示
num< br>的整型值
*/
printf(
的值为：
%fn
显示
num
第
1
页
共
19
页
的浮点值
*/
}
运行结果如下：
num
的值为：
9
*pFloat
的值为：
0.000000
num
的值为：
1091567616
*pFloat
的值为：
9.000000
我很惊讶 ，
num
和
*pFloat
在内存中明明是同一个数，
为什么浮点数 和整数的解读结果会差别这么大？
要理解这个结果，一定要搞懂浮点数 在计算机内部的表
示方法。我读了一些资料，下面就是我的笔记。
2.
在讨论浮点数之前，先看一下整数在计算机内部是怎样
表示的。
intnum=9;
上面这条命令，声明了一个整数变量，类型为int
，值
为
9
（二进制写法为
1001
）
。 普通的
32
位计算机，用
4
个字
节表示
int
变量 ，所以
9
就被保存为
00001001
，写成
16
进制就是
0x00000009
。
那么，我们的问题就简化成 ：为什么
0x00000009
还原
成浮点数，就成了
0.000000？
3.
第
2
页
共
19
页
根据国际标准
ieee754
，任意一个二进制浮点数
V
可以
表 示成下面的形式：
V=(-1)^s
×
m
×
2^e
（
1
）
(-1)^s
表示符号位，当
s=0
，
V为正数；当
s=1
，
V
为负数。
（
2
）
m
表示有效数字，大于等于
1
，小于
2< br>。
（
3
）
2^e
表示指数位。
举例来说，十进制的
5.0
，写成二进制是
101.0
，相当
于< br>1.01
×
2^2
。那么，按照上面
V
的格式，可以得出s=0
，
m=1.01
，
e=2
。
十进制的
-5.0
，写成二进制是
-101.0
，相当于
-1.01
×
2^2
。那么，
s=1
，
m=1.0 1
，
e=2
。
ieee754
规定 ，
对于
32
位的浮点数，
最高的
1
位是符号
位s
，接着的
8
位是指数
e
，剩下的
23
位为有 效数字
m
。
对于
64
位的浮点数， 最高的
1
位是符号位
s
，接着的
11
位是指数
e< br>，剩下的
52
位为有效数字
m
。
5.
ieee754
对有效数字
m
和指数
e
，还有一些特别规定 。
前面说过，
1
≤
m
至于指数
e
，情况就比较复杂。
首先，e
为一个无符号整数
（
unsignedint
）
。
这 意味着，
如果
e
为
8
位，它的取值范围为
0~255
；如果
e
为
11
位，它
的取值范围为
0~2047
。但是，我们知道，科学计数法中的
e
是可以出现负数的，所以
ieee754规定，
e
的真实值必须再
第
3
页
共
19
页
减去一个中间数，对于
8
位的
e
，这个中间数是
127
；对于
11
位的
e
，这个中间数是
1023
。
比如，
2^10
的
e
是
10
，所以保存成
32
位浮点数时，必
须保存成
10+127=137
， 即
10001001
。然后，指数
e
还可以
再分成三种情况：
（
1
）
e
不全为
0
或不 全为
1
。这时，浮点数就采用上面
的规则表示，即指数
e
的计算值减 去
127
（或
1023
）
，得到
真实值，再将有效数字m
前加上第一位的
1
。
（
2< br>）
e
全为
0
。这时，浮点数的指数
e
等于
1 -127
（或
者
1-1023
）
，有效数字
m
不再 加上第一位的
1
，而是还原为
的小数。这样做是为了表示±
0
，以及接近于
0
的
很小的数字。
（
3
）
e
全为
1
。这时，如果有效数字
m
全为0
，表示±
无穷大（正负取决于符号位
s
）
；如果有效数字m
不全为
0
，
表示这个数不是一个数（
nan
）
。
6.
好了，关于浮点数的表示规则，就说到这里。
下面，让我们回 到一开始的问题：为什么
0x00000009
还原成浮点数，就成了
0.00000 0
？
首先，将
0x00000009
拆分， 得到第一位符号位
s=0
，后
面
8
位的指数
e=00000 000
，最后
23
位的有效数字
m=
。
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