图灵机二进制加法
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2021年01月17日 16:27
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1.
图灵简介
阿兰
·
麦席森
·
图灵（
1912~1954
），英国著名数学家、逻辑学家、密码学家，被称为计
算机科学之 父、人工智能之父。
1912
年
6
月
23
日生于英国帕丁顿 ，
1931
年进入剑桥大学
国王学院，师从著名数学家哈代，
1938
年在美国普林斯顿大学取得博士学位，二战爆发后
返回剑桥，
曾协助军方破解德国的著名密码 系统
Enigma
，
帮助盟军取得了二战的胜利。
1954
年
6
月
7
日在曼彻斯特去世。
图灵是计算机逻辑的奠基者，提出了
“
图灵机
”
和
“
图灵测试
”
等重要概念。 人们为纪念其
在计算机领域的卓越贡献而专门设立了
“
图灵奖
”
。< br>
2.
图灵机简介
什么是图灵机
?
首先，我们用
IT
行业的语言来描述的话就是：
1
图灵机是一个处理器
2
图灵机的正常工作需要
1
个内存条，内存条中有一定的初始数据
3
图灵机可以对内存条的任何地址，按照一定的规则，进行读
/
写
4
图灵机能够根据内存条中的数据，计算出一个结果，这个结果记录在内存条上
5
内存条的容量是无限的
6
在计算出结果之前，图灵机可以工作任何时间，只要是有限的
7
内存条，图灵机，可以用任何材料制作，比如纸条，电路，甚至可以用程序模拟
然后，请注意以下几点：
1
图灵机有很多种，作用各不相同
2
每一台图灵机
(
处理器
)
都只有一个固定的运行规则，或者说 ，只有
1
种功能
3
真正的图灵机是制造不出来的，因为内存有限， 计算时间有限，但是可以近似地实现
它！
基本思想：
图灵的基本 思想是用机器来模拟人们用纸笔进行数学运算的过程，
他把这样的过程看作
下列两种简单的动作 ：
在纸上写上或擦除某个符号；
把注意力从纸的一个位置移动到另一个位置；
而在每个阶段，人要决定下一步的动作，依赖于
(a)
此人当前所关注的纸上某个位置
的符号和（
b)
此人当前思维的状态。
为了模拟人的这种运算过程，
图灵构造出一台假想的 机器，
该机器由以下几个部分组成：
1.
一条无限长的纸带
TAPE
。纸带被划分为一个接一个的小格子，每个格子上包含一个
来自有限字母表的符号 ，
字母表中有一个特殊的符号表示空白。
纸带上的格子从左到右依此
被编号为
0,1,2,...
，纸带的右端可以无限伸展。
2.
一个读写头
HEAD
。
该读写头可以在纸带上左右移 动，
它能读出当前所指的格子上的
符号，并能改变当前格子上的符号。
3.
一套控制规则
TABLE
。它根据当前机器所处的状态以及当 前读写头所指的格子上的
符号来确定读写头下一步的动作，并改变状态寄存器的值，令机器进入一个新的 状态。
4.
一个
状态寄存器
。
它用来保存图灵机当前所处 的状态。
图灵机的所有可能状态的数目
是有限的，并且有一个特殊的状态，称为停机状态。参见 停机问题。
注意这个机器的每一部分都是有限的，
但它有一个潜在的无限长的纸带，
因此这种机器
只是一个理想的设备。图灵认为这样的一台机器就能模拟人类所能进行的任何计算 过程。
在某些模型中，纸带移动，而未用到的纸带真正是
“
空白
”
的。要进行的指令（
q4
）展示
在扫描到方格之上（ 由
Kleene (1952) p.375
绘制）
。
在某些模型中，读写头沿着固定的纸带移动。要进行的指令（
q1
）展示在读写头内。
在这种模型中
“
空白
”
的纸带是全部为
0
的。有阴影的方格，包括读写头扫描到的空白，标
记了
1,1,B
的那些方格，和读写头符号，构成了系统状态。
所谓的图灵机就是指一个 抽象的机器，
它有一条无限长的纸带，
纸带分成了一个一个的
小方格，
每个方 格有不同的颜色。
有一个机器头在纸带上移来移去。
机器头有一组内部状态，
还有一些 固定的程序。
在每个时刻，
机器头都要从当前纸带上读入一个方格信息，
然后结合自己的内部状态查找程序表，
根据程序输出信息到纸带方格上，
并转换自己的内部状态，< br>然
后进行移动。
形式化：
一台图灵机是一个七元组，{Q
，
Σ
，
Γ
，
δ
，
q0,qacc ept,qreject}
，其中
Q
，
Σ
，
Γ
都是
有限集合，且满足
1.Q
是状态集合；
2.Σ
是输入字母表，其中不包含特殊的空白符
□
；
3.Γ
是带字母表，其中
□
∈
Γ
且
Σ
∈
Γ
；
4. δ
：
Q×
「
→Q×Γ×{L,R}
是转移函数，其中
L,R
表示读写头是向左移还是向右移；
5.q0
∈
Q
是起始状态；
6. qaccept
是接受状态。
t
是拒绝状态，且。
qreject≠qaccept
图灵机
M = (Q
，
Σ
，
Γ
，
δ
，
q0,qaccept,qreject)
将以如下方式运作：
< br>开始的时候将输入符号串从左到右依此填在纸带的第号格子上，
其他格子保持空白
（即< br>填以空白符）。
M
的读写头指向第
0
号格子，
M
处于状态
q0
。机器开始运行后，按照
转移函数
δ
所描述的规则进行计算。例如，若当前机器的状态为
q
，读写头所指的格子中
的符号为
x
，设
δ
（
q,x) = (q',x',L
），则机器进入新状态
q'
，将读写头所指的格子中的符号
改为
x'
，然后将读写头向左移动一个格子。若在某一时刻，读写头所指的是第
0
号格子，
但根据转移函数它下一步将继续向左移，
这时它停在原地不动。
换句话说，
读写头始终不移
出纸带的左边界。若在某个时刻
M < br>根据转移函数进入了状态
qaccept
，则它立刻停机并接
受输入的字符串； 若在某个时刻
M
根据转移函数进入了状态
qreject
，则它 立刻停机并拒
绝输入的字符串。
注意，
转移函数
δ
是一个部分函数，
换句话说对于某些
q,x
，
δ
（
q,x)
可能没有定义，
如果在运行中遇到下一个操作没有定义的情况，机器将立刻停机。
3.
实例：两位
2
进制加法器
简 单说这个图灵机的输入字符集是
0
、
1
和
+
。
带字 符集是
0
、
1
、
+
、
.
、
=、
还有空白符。
解释一下这个图灵机程序计算加法的过程。一开始带 上内容是一个二进制加式，比如
10+10
，读写头在最左边的
1
上。首先，图灵机将读写头运动到更左一个位置，写下
=
。