应用题(四年级)·方法
别妄想泡我
802次浏览
2021年01月17日 18:20
最佳经验
本文由作者推荐
安徒生童话集-青春力量
应用题（四年级）·方法
解答数学竞赛应用题常用的方法有：综合法、分析法、作图分析法和转化变换法等。
一、综合法
综合法解题，是从已知条件出发，根据题中数量关系，先选 择两个已知量，由这两个已知量而提出可
以解答的问题；然后把所求出的问题作为新的已知条件，并与其 他已知条件进行搭配，再提出可以解答
的新问题。这样一步步推导、搭配、求解，直到最后问题的解决。
运用综合法在推导求解的过程中，通常是把已知条件组合成可以依次解答的几个简单应用题。
【例
1
】（盈亏问题）幼儿园阿姨把一批饼干分给小朋友。若每人分
6
块，则多了
15
块；若每人分
9
块，则又少了
21
块。试 问：一共是多少小朋友？多少块饼干？
【分析】第一次分配时，每人分
6
块 ，还多
15
块；第二次分配时，每人分
9
块，就少
21
块。 把两次分
得的结果进行比较，由于每人多分了（
9-6
）
=3
块饼干 ，就是得饼干数相差（
15+21
）
=36
块。也就是
说，每多分< br>3
块饼干，就对应一个人，现在多分了
36
块饼干，应该对应多少人？所以，小 朋友的人数
为：（
21+15
）÷（
9-6
）
=12
（人）；饼干总数为：
9
×
12-21=87
（块）。
公式：（盈
+
亏）÷两次分配的差
=
分配的份数。
【注意】同时都是盈（多余）或者都是亏（不足）时，应该是两个数相减。
解：小朋 友人数：（
21+15
）÷（
9-6
）
=12
（人）
饼干总数：
12
×
9-21=87
（块）
答：一共有
12
位小朋友，
87
块饼干。
【例< br>2
】（消去问题）甲、乙、丙三个同学到书店购买图书。已知甲、乙两人共带钱
46元，乙、丙两人
共带钱
47
元，甲、丙两人共带钱
51
元，三人 买书用去的钱数相等，并且恰好用完了三人所带去的钱。
问：带钱最多的同学代替带钱最少的同学付了多 少元钱？
【分析】由前面三个已知条件，可以求出：①甲、乙、丙钱数和的
2
倍是：
46+47+51=144
（元），则
甲、乙、丙三人一共的钱数为：
144
÷
2=72
（元）；②甲、乙两人共
16
元，则丙的钱数为 ：
72-46=26
（元）；同样道理，甲的钱数为：
72-47=25
（元 ）；乙的钱数为：
72-51=21
（元）；③由于三人用的钱
数相等，并且恰好用完 了三人所带去的钱，可知每人需要付款：
72
÷
3=24
（元）；所以，带钱 最多的丙
代替带钱最少的乙付款为：
26-24=2
（元）。
解： ①甲、乙、丙钱数和的
2
倍是：
46+47+51=144
（元），则甲、乙 、丙三人一共的钱数为：
144
÷
2=72
（元）；
②甲 、乙两人共
16
元，则丙的钱数为：
72-46=26
（元）；同样道理，甲 的钱数为：
72-47=25
（元）；乙
的钱数为：
72-51=21
（元）；
③由于三人用的钱数相等，并且恰好用完了三人所带去的钱，可知每人需要付款：
72
÷
3=24
（元）；所
以，带钱最多的丙代替带钱最少的乙付款 为：
26-24=2
（元）。
答：带钱最多的丙同学代替带钱最少的乙同学付了
2
元钱。
上面的两道例题在解答的过程中是从已知到未知的推理过程，也就是综合法。
< br>综合法解题的优点是叙述简明、清晰，但在较复杂的应用题中，不易找到解答方法，有时甚至很难把
握解题方向。
二、分析法
分析法解题，是从应用题的最后 问题入手，根据数量关系，找出解答最后问题所需要的两个条件，然
后把这两个条件中的一个（或两个） 作为要解答的问题，再找出解答这个问题所需要的条件。这样步步
逆推，直到把题目所给已知条件全部用 完，而使问题最终获得解决。
在逆推的过程中，把一个复杂的问题分解成为可以依次解答的几个简单问题。
【例< br>3
】（归一问题）印刷厂计划在
25
小时内印制笔记本
10800本。由于改进了技术，每小时比原计划
多印制
108
本。比原计划提前几小时完成 任务？
【分析】①求比原计划提前的时间：原计划
25
小时
-实际用了多少小时；②求实际用了多少小时：共生
产
10800
本÷实际每小时生 产多少本；③求实际每小时生产多少本：原计划每小时生产本数
+
实际每小时
多生产< br>108
本；④求原计划每小时生产多少本：共生产
10800
本÷原计划
25
小时。
.
所以，
25-10800
÷（
10800
÷
25+108
）
=5
（小时）。
解：
10800
÷
25=432
（本
/
小时）
432+108=540
（本
/
小时）
10800
÷
540=20
（小时）
25-20=5
（小时）
应用题·方法，第
1
页
应用题（四年级）·方法
答：比原计划提前
5
小时完成。
【例
4
】（流水 问题）两只船分别从上游的甲地和下游的乙地同时相向而行，水的速度为每分钟
30
米，
两船在静水中的速度都是每分钟
600
米。有一天，两船又分别从甲、乙两地同时相向而行， 但这次水流
速度为平时的
2
倍，所以两船相遇的地点比平时相遇点相差
60< br>米。求甲、乙两地间的距离。
【分析】要求甲、乙两地间的距离，必须知道“两船的速 度和”与“两船相遇的时间”。顺水速度
=
船速
+
水速，逆水速度
=
船速
-
水速，相遇时间
=
路程和÷速度和。
两船的速度和，不论水速是否改变，它都是（
600+600
）米，且相遇的时间也不 会因水速改变而改变，
而只有相遇的地点有所改变。当下行的船速每分钟增加
30
米时 ，相遇的地点就偏离原相遇地点
60
米。
由此可知，两船相遇所需的时间为（
60
÷
30
）分钟。
所以，甲、乙两地的距离为：（
60 0+600
）×（
60
÷
30
）
=2400
（米） 。
解：
60
÷
30=2
（分钟）
（
600+600
）×
2=2400
（米）
答：甲、乙两地间的距离是
2400
米。
例
3
、例
4
的解答过程是从问题出发，从未知到已知的逆推过程，也就是分析法。
分析法解题的优点是较易找到解题的途径和方法，但叙述较繁。对于有些复杂的应用题 ，由于结构复
杂，已知条件多，中间的问题往往难以辨认。
【例
5
】（鸡兔同笼问题）百货商场委托运输队包运
1000
只花瓶，议定每只花瓶运费
0. 4
元。如果损坏
一只，不但不给运费，而且要赔偿损失
5.1
元。如果运输队 获得运费
383.5
元，问损坏了花瓶多少只？
【分析】假设在运输中没有 损坏花瓶，则应该获得运费：
0.4
×
1000=400
（元）；但是，实际 只得了运费
383.5
元，少付了：
400-383.5=16.5
（元）； 这是因为若损坏一只花瓶，不但不给运费
0.4
元，反而还要
赔偿
5.1元。实际上相当于扣除运费：
5.1+0.4=5.5
（元）；所以，损失的花瓶数为：< br>16.5
÷
5.5=3
（只）。综合列式：（
0.4
×
100-383.5
）÷（
.4+5.1
）
=3
（只）。
解：
0.4
×
1000=400
（元）
400-383.5=16.5
（元）
5.1+0.4=5.5
（元）
16.5
÷
5.5=3
（只）
答：一共损坏了花瓶
3
只。
例
5
是先运用了分析法，后又运用了综合法解答。
事 实上，综合法和分析法并不是孤立的。在思考问题的过程中，它们是相互联系的。在应用题的解答
中，两 种方法常常是协同运用。用分析法思考的时候，要随时注意题目本身的已知条件，考虑哪些已知
数量应该 搭配在一起。因此，分析中也有综合。
用综合法思考问题的时候，要随时注意题 目中的最后问题，时刻考虑为了解决最后的问题需要哪些已
知数量。因此，综合中也有分析。
三、作图分析法
作图分析法就是把题目中的已知条件用线段等集合图形 表示出来，用图形来揭示数量间的实质与内在
联系，从而寻求解题线索。
【例
6
】（平均数问题）五个数的平均数是
138
，把这些数从小到大排列起来，从小的 开始前三个数的平
均数是
127
；从大的开始，后三个数的平均数是
148< br>。中间的一个数是多少？
【分析】把五个数按从小到大的顺序排列。因为左边三个数的 平均数是
127
，则三个数的和为（
127
×
3
），右边三 个数的平均数为
148
，则三个数的和为（
148
×
3
）， 而五个数的平均数是
138
，则五个数的
和为（
138
×
5
）。
从图中可以看出，中间一个数既算作前面三个数，又算 作后面三个数。所以，中间的一个数是：
127
×
3+148
×
3- 138
×
5=135
。
解：
127
×
3 +148
×
3-138
×
5=135
答：中间的一个数是
135
。
应用题·方法，第
2
页
应用题（四年级）·方法
【例
7
】一条大鱼被分成了三部分：鱼头 、鱼身和鱼尾。鱼尾重
4
千克。鱼头的质量等于鱼尾的质量加上
鱼身一半的质量；而鱼 身的质量等于鱼头的质量加上鱼尾的质量。聪明的同学们，能不能算出这条鱼的
质量？
【分析】根据“鱼身的质量等于鱼头的质量加上鱼尾的质量”和“鱼尾重
4
千克”这两个条件 ，可推
知：鱼身的质量比鱼头的质量多了
4
千克。同样地，根据“鱼头的质量等于鱼尾 的质量加上鱼身一半的
质量”和“鱼尾重
4
千克”这两个条件，可推知：鱼头的质量等 于鱼身质量的一半再加
4
千克。推出了
这两个条件，我们可以作图：
4
千克
鱼头
4
千克
鱼身
鱼身的一半
解：鱼身的一半是：
4+4=8
（千克）
（
1
） 鱼身质量：（
4+4
）×
2=16
（千克）
（
2
）鱼头质量：
16-4=12
（千克）
（
3
）这条鱼的质量：
12+16+4=32
（千克）
答：这条鱼的质量是
32
千克。
【例
8
】四（< br>1
）班的男生人数和女生人数同样多。选派
18
名男生和
26
名女生参加实践活动，剩下的男
生是女生的
3
倍。四（
1
）班原来有 男女生各多少名？
【分析】根据“男生人数和女生人数同样多”这个条件，我们可以用相同长 度的线段来表示这两个量。
再根据“剩下的男生是女生的
3
倍”可知，剩下的男生要分 成三份，而女生剩下的就是一份。数量关系
如右图所示。
18
名
男生
26
名
女生
< br>从图中可以看出，由于女生比男生多选了
26
－
18
＝
8名学生参加实践活动，若女生少选
8
人，则剩下
的男女生人数同样多。根据“剩下 的男生是女生的
3
倍”，可知剩下的男生人数比女生人数多
2
倍（
3 -
1=2
）。这
8
名同学就相当于剩下女生人数的两倍，剩下女生是
8
÷
2=4
（名）。共有女生
26+4=30
（名）。由于男女生人 数相等，即都是
30
名。详解如下：（
26-18
）÷（
3-1）
+26=30
（名）。
解：（
26-10
）÷（< br>3-1
）
+26=30
（名）
答：四（
1
）班原有男女生都是
30
名。
【例< br>9
】甲乙两船一共载客
623
人，若甲船增加
34
人，乙船减 少
57
人。这时两船的乘客同样多，那么甲
乙两船原来分别有多超乘客？
【分析】根据题意作图。
增加
34
人
26
－
18
名
甲船
减少
57
人
623
人
乙船
这时甲乙相等
甲乙两船原本共有
623
人，甲船加人， 乙船减人后两船的人数才相等。这时候两船的总人数发生了变
化，一共有：
623+34-57 =600
（人）。所以两船现在分别有：
600
÷
2=300
（人） 。
解：
623+34-57=600
（人）
600
÷
2=300
（人）
甲船原有人数为：
3 00-34=266
（人）；乙船原有人数为：
300+57=357
（人）。
应用题·方法，第
3
页
应用题（四年级）·方法
答：甲船原有人数为
266
人，乙船原有人数为
357
人。
【例
10
】甲向乙借款
10
元，乙向丙借款
20
元 ，丙向丁借款
30
元，丁向甲借款
40
元。某日四人会面，
你能用最 简便的手续了清他们之间的债务吗？
【分析】如图所示（箭头所指者为收钱者）。从图上可以 看出，每人都借了别人的钱，还债的时候每人
又都必须收回各自的钱。而每人至少给别人还
10
元钱。现在我们假设每个人都少给别人还
10
元钱，即
每人少收回
1 0
元。则如图右边所示：乙给丙
10
元，丙给丁
20
元，丁给甲30
元。
丙收回
10
元，而给出
20< br>元，应净出
10
元；丁收回
20
元，而给出
30
元， 应净出
10
元；乙收回
10
元，给出
20
元，应净出
10
元；甲收回
40
元，而给出
10
元，应净收
30元。
解：乙、丙、丁每人给甲
10
元时，债务就全部还清了。
乙
10元
丙
20元
丁
30元
甲
【例
11
】（年龄问题）哥哥的年龄和妹妹现在的年龄一样时，妹妹是
9
岁； 妹妹的年龄和哥哥的年龄一
样时，哥哥是
24
岁。兄妹两人现在各是多少岁？
【分析】年龄差
=
较大年龄
-
较小年龄，年龄差在任何时候都是不变 的。如图所示，从图中可以看出，
（
24-9
）岁，正好相当与兄妹现在年龄差的3
倍。
解：妹妹现在的年龄：（
24-9
）÷3+9=14
（岁）；
哥哥现在的年龄：（
24-9
）÷
3+14=19
（岁）。
答：哥哥现年
19
岁，妹妹现年
14
岁。
【例< br>12
】哥哥现在存的钱是弟弟的
5
倍，如果哥哥再存
20
元， 弟弟再存
100
元，二人的存款正好相等。
哥哥原来存有多少钱？
【分析】根据题意“哥哥再存
20
元，弟弟再存
100
元，二人的存款正好相 等”这个条件可以推出：如果
弟弟再存（
100-20
）
=80
元， 哥哥不再存，那么弟弟的钱刚好跟哥哥以前的一样多，也就是弟弟原来的钱
加上这再存的
80< br>元，刚好是自己原来钱数的五倍。
80
元占
4
倍量。则哥哥原来存有的 钱数为：（
100-
20
）÷（
5-1
）×
5=100（元）。
一倍量
100
元
弟弟
哥哥
五倍量
20
元
解： 弟弟存钱数：（
100-20
）÷（
5-1
）
=20
（元） ；
哥哥存钱数：
20
×
5=100
（元）。
答：哥哥原来存钱
100
元。
作图分析法解题的优点 是：数形结合，形象具体，它往往比文字叙述表达要清晰得多。因此，它是我
们解答应用题常用的方法之 一。
四、转化变换法
转化就是将题目中的已知条件或问题转 变成别的已知条件或问题，使它们用另一种形式或方式出现。
使用这一方法，常常可以使题目中较隐晦的 条件变得明显，间接的问题变得直接。变换就是将题中的某
个量作为一等量代换，使题中已知条件和问题 更加联系密切。
应用题·方法，第
4
页