自然数平方和公式的推导与证明
别妄想泡我
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2021年01月18日 01:22
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※自然数之和公式的推导
法计算
1
，
2
，
3
，…，
n
，…的前
n
项的和：
由
1
+
2
+
…
+ n-1
+
n
n
+
n-1
+
…
+
2
+
1
（
n+1
）
+
（
n+1
）
+
…
+
（
n+1
）
+
（
n+1
）
可知
上面这种加法叫“倒序相加法”
※等差数列求和公式的
推导
一般地，称
1
、
思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？
思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示
：
为数列
的前
n
项的和，用
表示，即
①
②
由①
+
②，得
由此得到等差数列
的前
n
项和的公式
对于这个公式，我们 知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等
差数列前
n
项和了。
2
、
除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）
当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：
=
=
=
=
这两个公式是可以相互转化的。把
代入
中，
就可以得到
引 导学生思考这两个公式的结构特征得到：
第一个公式反映了等差数列的任
意的第
k项与倒数第
k
项的和等于首项与末项的和这个内在性质。
第二个公式反
映 了等差数列的前
n
项和与它的首项、
公差之间的关系，
而且是关于
n
的
“二次
函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道
点 是第一个公式还需知道
条件决定选用哪个公式。
和
n
，不同
，
而第二个公式是要知道
d
，
解题时还需要根据已知
自然数平方和公式的推导与证明（一）
1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
=n(n+1)(2n+1)/6
，
在 高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，
没有给出其直接的推导过程。
其实，
该求 和公式的直接推导并不复杂，
也没有超
出初中数学内容。
一、
设：
S=1
2
+2
2
+ 3
2
+…+n
2
另设：
S
1
=1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
+(n+1)
2
+(n+2)
2
+(n+3)
2
+…+(n+n)
2< br>，此步设题是解题
的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，
第一：< br>S
1
=1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
+(n+1)
2
+(n+2)
2
+(n+3)
2
+…+(n+n)
2
中的
1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
=S
，
(n+1)
2
+(n +2)
2
+(n+3)
2
+…+(n+n)
2
可以展开为< br>(n
2
+2n+1
2
)+( n
2
+2×2n+2
2
)
+( n
2
+2×3n+3
2
)+…+( n
2
+2×nn+n< br>2
)=n
3
+2n(1+2+3+…+n)+ 1
2
+22
+3
2
+…+n
2
，即
S
1=2S+n
3
+2n(1+2+3+…+n)……………………………………………….. (1)
第二：
S
1
=1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
+(n+1)
2
+(n+2)
2
+(n+3)
2
+…+
(n+n)
2
可以写为：
S
1
=1
2
+3
2
+5
2
…+ (2n
-1)
2
+2
2
+4
2
+6
2…+(2n)
2
，其中：
2
2
+4
2
+6
2
…+(2n)
2
=2
2
(1
2
+ 2
2
+3
2
+…+n
2
)=4S……………………………… ……..(2)
1
2
+3
2
+5
2
…+ (2n
-1)
2
=(2×1
-1)
2
+(2×2
- 1)
2
+(2×3
-1)
2
+…+ (2n
-1)
2
= (2
2
×1
2
-
2×2×1+1) +(2
2
×2
2
-
2×2×2+1)
2
+(2
2
×3
2
-
2×2×3+1)
2
+…+
(2
2
×n
2
-
2×2×n+1)
2
< br>=2
2
×1
2
+2
2
×2
2
+2< br>2
×3
2
+…+2
2
×n
2
-
2× 2×1
-
2×2×2
-
2×2×3
-
…
-
2×2×n+n
=2
2
×(1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
)-
2×2 (1+2+3+…+n)+n
=4S-
4(1+2+3+…+n)+n……………… ……………………………………………..(3
)
由
(2)+ (3)
得：
S
1
=8S-
4(1+2+3+…+n)+n…………………………………… ……..(4)
由
(1)
与
(4)
得：
2S+ n
3
+2n(1+2+3+…+n) =8S
-
4(1+2+3+…+n)+n
即：
6S= n
3
+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)
-n
= n[n
2
+n(1+n)+2(1+n)-1]
= n(2n
2
+3n+1)
= n(n+1)(2n+1)
S= n(n+1)(2n+1)/ 6
亦即：
S=1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
= n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)
以上可得各自然数平方 和公式为
n(n+1)(2n+1)/6
，其中
n
为最后一位自然数。
由
(5)
代入
(2)
得自然数偶数平方和公式为
2n( n+1)(2n+1)/3
，其中
2n
为最后一
位自然数。
由
(5)
代入
(3)
得自然数奇数平方和公式为
n(2n-1)( 2n+1)/3
，其中
2n-1
为最后
一位自然数。
二、由自然数平方和公式推导自然数立方和公式
设
S=1
3
+2
3
+3
3
+…+n
3
…………………………………… ………………….(1)
有
S=n
3
+(n-1)
3+(n-2)
3
+…+1
3
……………………………………………... (2)
由
(1)+ (2)
得：
2S=n
3
+1
3
+(n-1)
3
+2
3
+(n-2)
3
+3
3
+…+n
3
+1
3
=(n+1)(n
2
-n+1)
+
(n+1)[(n-1)
2
-2(n-1)+2
2
)
+
(n+1)[(n-2)
2
-3(n-2)+3
2
)
+
.
.
.
+
(n+1)(1
2
-n(n-n+1)(n-n+1+ n
2
)
即
2S=( n+1)[2(1
2
+2
2
+3
2< br>+…+n
2
)-n-2(n-1) -3(n-2)-
…
-n
(n-
n+1)] ………………...(3)
由
1
2< br>+2
2
+3
2
+…+n
2
=n(n+1)(2n+1 )/ 6
代入
(2)
得：
2S=(n+1)[2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-
…nn+2×1+3×2+…+n(n
-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-
n(1+2+3+…n)+( 1+1)×1+(2+1)×2+…+(n
-1+1)(n
-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n
2
(1+n)/2+1
2+1+2
2
+2+…+(n
-1)
2
+ (n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n
2
(1+n)/2 +1
2
+2
2
+…+(n
-1)
2
+1 +2+…+
(n-
1)] ……...(4)
由
1
2< br>+2
2
+…+(n
-1)
2
= n(n+1)(2n+1)/6-n
2
，1+2+…+(n
-1)=n(n-1)/ 2
代入
(4)
得：
2S=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)/6-n
2
+n(n-1)/2
=n
2
(n+1)
2
/2 即
S=1
3
+2
3
+3
3
+
…+n< br>3
= n
2
(n+1)
2
/4
结论：自然数的立方 和公式为
n
2
(n+1)
2
/4
，其中
n
为自然数。
三、自然数偶数立方和公式推导
设
S=2
3
+4
3
+6
3
+…+(2n)
3
有S=2
3
(1
3
+2
3
+3
3
+…+ n
3
)=8n
2
(n+1)
2
/4=2n
2
(n+1)
2
结论：自然数偶数的立方和公式为
2n
2
(n+1)
2
，其中
2n
为最后一位自然偶数。
四、自然数奇数立方和公式推导
设
S=1
3
+2
3
+3
3
+…+(2n)
3
由自然数的立方和公式为
n
2
(n+1)
2< br>/4
，其中
n
为自然数代入左边
有
n
2< br>(2n+1)
2
=2
3
+4
3
+6
3
+…+(2n)
3
+1
3
+3
3
+5
3
…+(2n
-1)
3
=2n
2
(n+1)
2
+1
3
+3< br>3
+5
3
…+(2n
-1)
3
移项得：< br>1
3
+3
3
+5
3
…+(2n
-1)
3
=n
2
(2n+1)
2
-2n
2
(n+1)
2
=n
2
(2n
2
-1)
结论：自然数奇数的立方和公式为
n
2
(2n
2
-1)
，其中
2n-1
为最后一位自 然奇数，
即
n
的取值。