平方与立方数列求和公式
玛丽莲梦兔
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2021年01月18日 01:24
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全国lol战力排行榜-我和表妹
2010-10-25 16:51
求
1^2+2^2+3^2+...+n^2
的值
第一题
：求
1^2+2^2+3^2+...+n^2
的值
方法一：利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n ^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-( 2+3+4+...+n)
n^3-1=2 *(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2] -n^2-(2+3+4+
...+n)
< br>n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+ n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2 +n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
方法二：另外一个很好玩的做法
想像一个有圆圈构成的正三角形，
第一行
1
个圈，圈内的数字为
1
第二行
2
个圈，圈内的数字都为
2
，
以此类推
第
n
行
n
个圈，圈内的数字都为
n
，
我们要求的平方和，
就转化为了求这个三角形所有 圈内数字的和。
设这
个数为
r
下面将这个三角形顺时针旋转
60
度，得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转
60
度，得到第三个三角形
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了
2n+1
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是
3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
拓展：
1 ^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=(2-1)^2+(4-1)^2+(6-1)^2+.. ..+(2n-1)^2
=[2^2-2*1*2+1^2]+[4^2-2*1*4+1^2]+...+[(2n )^2-2*1*2n+1^2]
=[2^2+4^2+...+(2n)^2]+n-2[2+4+...+2n]
=4*[1^2+2^2+..n^2]+n-2n(n+1)
=2n(n+1)(2n+1)/3+n-2n(n+1)
=n(4n^2-1)/3
第二题： 证明
1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2=[n(n+1)/ 2]^2
＝
（
1+2+3+...+n
）
^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+ 3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2
+3+...+n )+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4 -1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+
n)n/2]+n =[n(n+1)]^2
第三题：
1^4+2^4+3^4+4^4+……+n^ 4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n
-1)/30
证明：
(n+1)^5-n^5=5n^4+10n^3+10n^2+5n+1
n^5-(n-1)^5=5(n-1)^4+10(n-1)^3+10(n- 1)^2+5(n-1)+1
……
2^5-1^5=5*1^4+10*1^3+10*1^2+5*1+1
全加起来
(n+ 1)^5-
1^5=5*(1^4+2^4+3^4+4^4+……+n^4)+10*(1^3+2^ 3+3^3+4^3+……+n^3
)+10*
(1^2+2^2+3^2+4^4+……+n ^2)+5*(1+2+3+4+……+n)+n