饺子推荐-屈原的作品

2021年1月18日发(作者：熊太古)

自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？

即：

(1)


1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

(2)


1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

推导过程如下：

一
.


1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加

n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^ 2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2* (1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]- n^2-(2+3+4+...
+n)


n^3-1=3*(1^2+2 ^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1


n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
< br>3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+ 2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

故：
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6


二
.



1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

证明如下：

(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)

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