陶喆好听的歌-小学音乐教学计划

2021年1月18日发(作者：吕作松)
平方差公式

完全平方公式

立方和与立方差公式


一、学习目标


熟练掌握平方差公式，完全平方公式，立方和与立方差公式，并能灵活地应用它们进行计算


二、学习要求


1
、知道乘法公式是一种 特殊形式的乘法，是通过多项式的乘法，把特殊多项式相乘的结果
写成公式形式并加以运用。


2
、理解五个乘法公式，掌握这五个公式的结构特征，并会用这五个公式进行运算。


3
、会用这五个公式使计算简便，会简捷地计算某些数的积。


4
、能够灵活运用公式进行计算，提高运算能力。


三、例题分析

第一阶梯

[
例
1]我们来计算（
a+b
）
(a-b)=a
-ab+ab-b
=a< br>-b
,
这就是说，两个数的和与这两个数的差的
2
2
2
2
积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：


(1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a)

(3)(2x
+5y
)(2x
-5y
) (4)(-a
-b
)(b
3
2
3
2
2
2
2
- a
)


提示：


刚开始使用公式 ，
运算格式可分两步走，
第一步先按公式特征写出一个

框架

，
如
（
1
）
（
2x+3y
）
2
( 2x-3y) =
（

）
-
（

）
，第二 步分析哪项相当于公式中的
a
，哪项相当于公式中的
b
，并在

框
架

中填数计算。


参考答案：

2
2

(1)
（
2x+3y
）
(2 x-3y)=
（
2x
）
-(3y)
=4x
-9y

(2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)
=1-4a
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2

(3)(2x
+5y
)(2x
-5y
)=(2x< br>)
-(5y
)
=4x
-25y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
4

(4)(-a
-b
)(b
-a
)=(-a< br>-b
)(-a
+b
)=(-a
)
-(b
)
= a
-b


说明：


平方差公式（
a+b
）
(a-b)=a
-b
的特征是：


（
1
）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反 数。


（
2
）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平 方减去相反项的平方，在学习平方差公
2
2
2
2
4
4
式时还应注意：


①公式中的
a
和
b
可以是具体数，也可以是单项式或多项式


②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，
把不符合公式标准形式的题目加以 调整，
使它变
化为符合公式标准的形式，如第（
4
）小题。


[
例
2]
计算（
a+b
）
和（< br>a-b
）
,
可知（
a+b
）
2
2
2
=(a+b)(a+b)=a
+ab+ab+b
=a
+2ab+b
( a-b)
=(a-b)(a-b)=a
-ab-ab+b
=a
-2ab+b< br>,
即（
a
±
b
）
=a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
±
2ab+b
，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们 积的
2
倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算
(1)(x+5 )
(2)(2-y)
(3)(3a+2b)


提示：

2
2
2
(5) (-a+2b)

2

在套用完全平方公式进行计算时，
一定要先弄清题目中的哪个数或 式是
a
，
哪个数或式是
b
。


参考答案：


(1)(x+5)
=x
+2
·
x
·
5+5
=x
+10x+25

(2 )(2-y)
=2
-2
·
2
·
y+y
=4-4y+ y
2
2
2
2
2
2
2
2

(3)(3a+2b)
=(3a)
+2
·
3a
·
2 b+(2b)
=9a
+12ab+4b
2
2
2
2
2




(5)(-a+2b)
=(-a)< br>+2
·
(-a)
·
2b+(2b)
=a
-4ab+4 b


说明：

2
2
2
2
2


1
、（< br>a+b
）
=a
+2ab+b
与（
a-b
）
= a
-2ab+b
都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者
2
2
2
2
2
2
叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。


2
、这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，（即二项 式的平方形式），
右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项 相减时）
这两项乘积的
2
倍。


3
、公式 中的字母
a
、
b
既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。


4
、只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用 公式时，注意防止发生（
a
±
b
）
=a
±
b
这样的错误。


[
例
3]
计算（
a+b
）
(a
-ab+b
)
和
(a-b)(a
+ab+b
)
，可知（
a+b
）
2
2
2
2
2
2
2
(a
-ab+b
)=a
-a
b+ab
+a
b-ab
+b
=a
+b
,
（
a-b
）
(a
+ab+b
)=a
+a
b+ab
-a
b-ab
-b
=a
-b
,
即
（
a
±
b）
(a
2
2
2
2
2
2
2
2< br>3
3
3
2
2
3
2
2
2
2< br>3
3
3
ab+b
)=a
±
b
，这就是说，两 数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），
2
3
3
等于这两个 数的立方和（或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式，
利用这两个
公式计算：


（
1
）（
x+2
）
(x
-2x+4); (2)(3-y)(9+3y+y
)
2
2

（
3
）
(3x-4y)(9x
+12xy+16y
);

（
5
）
(3x
-2y
)(9x
+6x
y
+4y
)


提示：

2
2
4
2
2
4
2
2


先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算，再弄清题目中哪个数或式是
a
，哪 个数
或式是
b
，最后再代入公式计算。


参考答案：


（
1
）（
x+2
）
(x
-2x+4)=(x+2)(x
-x
·
2+2
)=x< br>+2
=x
+8

（
2
）
(3-y) (9+3y+y
)=(3-y)(3
+3
·
y+y
)=3
- y
=27-y
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
2
2
3
3
3

（< br>3
）
(3x-4y)(9x
+12xy+16y
)=(3x-4y)[ (3x)
+3x
·
4y+(4y
)]=(3x)
-(4y)
=27x
-64y
2
3
3
3
3



（
5
）（
3x
-2y
）
(9x
+6x
y
+4y
)=(3x
-2y
)[(3x)
+3x
·
2y
+(2y
)
]=(3x
)-(2y
)
=27x
-8y


说明：


1
、注意对公式的理解和记忆（
1
）项数特征：两项乘三项 →积为二项，（
2
）符号特征：二
2
2
4
2
24
2
2
2
2
2
2
2
2
23
2
3
6
6
项的因式若两项都为

，则三项的因 式符号为
+
，
-
，
+
，积的符号与二项因式的符号相同，二 项
的因式符号若为

，

，则三项的因式符号为
+
，< br>+
，
+
，积的符号与二项因式的符号相同，即
是说公式在各种条件都相 符的情况下，
所得的积是两数的

立方和

还是两数的

立方差

，
主要看
乘积中第一个乘式是

两数和

，还是

两数差

。


2
、公式中的字母
a
、
b
仍代表任意数或代数式。


第二阶梯


[
例
1]
利用乘法公式计算：


(1)
（
x+3
）
(x-3)(x
+9) (2) (a+b)(a-b)(a
-b
)

(3) (x-2)(x+2)(x
+4x
+16) (4) (a-b)(a
+ab+b
)(a
+a
b
+b
)

4
2
2
2
6
3
3
6
2
2
2

提示：


（
1
）小题可两次使用平方差公式；


（
2
）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式；


（
3
）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式


（
4
）小题两次使用立方差公式。


参考答案：


(1)(x+3)(x-3)(x
+9)=( x
-9)(x
+9)=(x
)
-9
=x
-81

(2)(a+b)(a-b)(a
-b
)=(a
-b
)(a
-b
)=(a
-b
)
=(a
)
-2a
b
+ (b
)
=a
-2a
b
+b

(3)(x-2 )(x+2)(x
+4x
+16)=(x
-4)(x
+4x
+16) =(x
)
-4
=x
-64

(4)(a-b)(a
+ab+b
)(a
+a
b
+b
)=(a
-b
)(a
+a
b
+b
)=(a
)
-(b
)
=a
-b


说明：


遇到多项式 的乘法问题，
首先应看看是否符合某个乘法公式，
若有恰当的公式使用可大大简
22
6
3
3
6
3
3
6
3
36
3
3
3
3
9
9
4
2
24
2
2
3
3
6
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
22
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
4
化运算过程。


[
例
2]
运用乘法公式计算：


(1) (a+b+c)(a-b-c) (2) (a-2b+3c)(a+2b-3c)

(3) (x+2y+z)
(4) (2x-3y-4z)


提示：


（1
）
（
2
）小题可利用平方差公式进行计算；
（
3）
（
4
）小题可利用完全平方公式进行计算。


参考答案：


(1)
（
a+b+c
）(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)]=a
-(b+c)
=a
-(b
+2bc+c
)=a
-b
-2bc-c

(2)
2
2
2
2
2
2
2
2 < br>2
2
(a-2b+3c)(a+2b-3c)=[a-(2b-3c)][a+(2b- 3c)]=a
-(2b-3c)
=a
-(4b
-12bc+9c
)= a
-4b
-12bc-9c
2
2
2
2
2
2
2
2

(3)
（
x+2y+z
）
=[x+(2y+z)]
=x
+2x(2y+z)+(2y+z)
=x
+4x y+2xz+4y
+4yz+z

(4)
2
2
2
2
2
2
2
(2x-3y-4z)
=[2x-(3y+4z)]
=(2x)
-2
·
2x
·(3y+4z)+(13y+4z)
=4x
-4x(3y+4z)+(19y
+2 4yz+16z
)=4x
-12xy-16xz+9y
+24yz+16z


说明：

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

进行多项式乘法运算时，
一定要 认真仔细地对题目进行观察研究，
把不符合公式标准形式的
题目加以调整。适当地添加括号，将 有利于应用乘法公式，添加括号方式的不同，可一题多解，
如（
4
）小题还可添加括号 为
[
（
2x-3y
）
-4z]
，但得出的结果均相同。

[
例
3]
利用乘法公式计算：


（
1
）（
x+1
）
(x-1)(x
+x+1)(x
-x+1)

（
2
）
(a+b)(a-b)(a< br>+ab+b
)(a
-ab+b
)


提示：


（
1
）小题前两个因式可利用平方差公式 计算，后两个因式也可利用平方差公式计算，也可
2
2
2
2
2
2
2
以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式，
第二个因式与第三个因式结 合利用立方差公
式（
2
）小题类似。


参考答案：


（
1
）


解法一：


（
x+1
）
(x-1)(x
+x+1)(x
-x+1)

= (x
-1)[(x
+1)
-x
]

= (x
-1)(x
+2x
+1-x
)

= (x
-1)(x
+x
+1)
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2

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