立方和与立方差公式
萌到你眼炸
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2021年01月18日 01:31
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.
第一阶梯
[
例
1 ]
我们来计算（
a+b
）
(a-b)=a
-ab+ab-b
=a
-b
,
这就是说，两个数的和与这两个数的
2
2
22
差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：
(1)(2x+3y)(2x-3y)
(2)(1+2a)(1-2a)
(3)(2x
+5y
)(2x
-5y
)
3
2
3
2
(4)(-a
-b
)(b
-a
)
提示：
刚开始使用公式，运 算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个
框架
，如（
1）
2
2
2
2
（
2x+3y
）
(2x- 3y)
=
（
）
-
（
）
，第 二步分析哪项相当于公式中的
a
，哪项相当于公式中的
b
，
并在
框架
中填数计算。
参考答案：
(1)
（
2x+3y
）
(2x-3y)=
（
2x
）
-(3y)
=4x
-9y
(2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)
=1-4a
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(3)(2x
+5y
)(2x
-5y
)=(2x
)
-(5y
)
=4x
-25y
2
2< br>2
2
2
2
2
2
2
2
2
6< br>4
(4)(-a
-b
)(b-a
)=(-a
-b
)(-a
+b
)=(-a
)
-(b
)
=a
-b
说明：
平方差公式（
a+b< br>）
(a-b)=a
-b
的特征是：
（
1
）
左边是两个二项式相乘，
并且这两个二项式中有一 项完全相同，
另一项互为相反数。
（< br>2
）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差
2
2
2
2
4
4
公式时还应注意：
①公式中的
a
和
b
可以是具体数，也可以是单项式或多项式
②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标 准形式的题目加以调整，使
它变化为符合公式标准的形式，如第（
4
）小题。
.
.
[
例
2]计算（
a+b
）
和（
a-b
）
,
可知（
a+b
）
2
2
2
=(a+b)(a+b)=a
+ab+a b+b
=a
+2ab+b
(a-b)
=(a-b)(a-b)=a
- ab-ab+b
=a
-2ab+b
,
即（
a
±
b< br>）
=a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
±
2ab+b
，这就是说，两数和（或差 ）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的
2
倍，这两个公式叫做乘法的完全平 方公式。利用这两个公式计算
(1)(x+5)
(2)(2-y)
(3)(3a+2b)
提示：
2
2
2
(5) (-a+2b)
2
在套用完全平方公式进行计算时，
一定 要先弄清题目中的哪个数或式是
a
，
哪个数或式是
b
。
参考答案：
(1)(x+5)
=x
+2
·
x
·
5+ 5
=x
+10x+25
(2)(2-y )
=2
-2
·
2
·
y+y
=4-4y+y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(3)(3a +2b)
=(3a)
+2
·
3a
·
2b+(2b)
=9a
+12ab+4b
2
2
2
(5)(-a+2b)
=( -a)
+2
·
(-a)
·
2b+(2b)
=a
-4 ab+4b
说明：
2
2
2
2
2
1
、（
a+b
）
=a
+2ab+b
与（
a -b
）
=a
-2ab+b
都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前
2
2
2
2
2
2
者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数 差的完全平方公式。
2
、
这两 个公式的结构特征是：
左边是两个相同的二项式相乘，
（即二项式的平方形式）
，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）
这两 项乘积的
2
倍。
3
、 公式中的字母
a
、
b
既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数 式。
.
.
4
、只 要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用公式时，注意防止发生
（
a
±
b
）
=a
±
b
这样的错误。
[
例
3]
计算（
a+b
）
(a
-ab+b
)
和
(a-b)(a
+ab+b
)
，可知（
a+b
）
2
2
2
2
2
2
2
(a
-ab+b
)=a
-a
b+ab
+a
b-ab
+b
=a
+b
,
（
a-b
）
( a
+ab+b
)=a
+a
b+ab
-a
b-ab
- b
=a
-b
,
即
（
a
±
b
）(a
2
2
2
2
2
2
2
2
3< br>3
3
2
2
3
2
2
2
2
3< br>3
3
ab+b
)=a
±
b
，这就是说，两数和（或差 ）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），
2
3
3
等于这两个数的立方和 （或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式，
利用这两个
公式计算：
（
1
）（
x+2
）
(x
-2x+4); (2)(3-y)(9+3y+y
)
2
2
（
3
）
(3x-4y)(9x
+12xy+16y
);
（
5
）
(3x
- 2y
)(9x
+6x
y
+4y
)
提示：
2
2
4
2
2
4
2
2
先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算，
再弄清题 目中哪个数或式是
a
，
哪个
数或式是
b
，最后再代入公式计 算。
参考答案：
（
1
）（
x+2
）
(x
-2 x+4)=(x+2)(x
-x
·
2+2
)=x
+2
=x< br>+8
（
2
）
(3-y) (9+3y+y
)=(3-y)(3
+3
·
y+y
)=3
- y
=27-y
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
2
2
3
3
3
（
3
）
(3x-4y)(9x
+12xy+16y
)=(3x-4y)[(3x)
+3x
·
4y+(4y
)]=(3x)-(4y)
=27x
-64y
2
3
3
3
3
（
5
）
（
3x
-2y
）
(9x
+ 6x
y
+4y
)=(3x
-2y
)[(3x
)
+3 x
·
2y
+(2y
)
]=(3x
)
-(2y
)
=27x
-8y
说明：
.
2
2
4
2
2
42
2
2
2
2
2
2
2
2
32
3
6
6
.
1< br>、注意对公式的理解和记忆（
1
）项数特征：两项乘三项→积为二项，（
2）符号特征：
二项的因式若两项都为
，则三项的因式符号为
+
，
-
，
+
，积的符号与二项因式的符号相同，二
项的因式符号若为
，
，则三项的因式符号为
+
，
+
，
+
，积的符号与二项因式的符号相同，
即是说公式在各种条件都相符的情况下，
所得的积 是两数的
立方和
还是两数的
立方差
，主要
看乘积中第一个乘式是
两数和
，还是
两数 差
。
2
、公式中的字母
a
、
b
仍代表任意数或代数式。
第二阶梯
[
例
1]
利用乘法公式计算：
(1)
（
x+3
）
(x-3)(x
+9)
(2) (a+b)(a-b)(a
-b
)
(3) (x-2)(x+2)(x
+4x
+16)
(4) (a-b)(a
+ab+b
)(a
+a
b
+b
)
提示：
（
1
）小题可两次使用平方差公式；
（
2
）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式；
（
3
）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式
（
4
）小题两次使用立方差公式。
参考答案：
< br>(1)(x+3)(x-3)(x
+9)=(x
-9)(x
+9)=(x
)
-9
=x
-81
(2)( a+b)(a-b)(a
-b
)=(a
-b
)(a
-b
)= (a
-b
)
=(a
)
-2a
b
+(b
)< br>=a
-2a
b
+b
(3) (x-2)(x+2)(x
+4x
+16)=(x
-4)(x
+4x
+16)=(x
)
-4
=x
-64
(4)(a-b)(a
+ab+b
)(a
+a
b
+b
)=(a
-b
)(a
+a
b
+b
)=(a)
-(b
)
=a
-b
说明：
2
2
6
3
3
6
3
3
6
3
3
6
3
3
3
3
9
9
4
2
2
4
2
2
3
3
6
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
4 2
2
2
2
2
2
4
4
2
22
6
3
3
6
2
2
2
.
.
遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘法公式 ，若有恰当的公式使用可大
大简化运算过程。
[
例
2]
运用乘法公式计算：
(1) (a+b+c)(a-b-c)
(2) (a-2b+3c)(a+2b-3c)
(3) (x+2y+z)
(4) (2x-3y-4z)
提示：
（
1
）（
2
）小题可利 用平方差公式进行计算；（
3
）（
4
）小题可利用完全平方公式进行
2
2
计算。
参考答案：
(1)
（
a+b+c
）
(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)]=a
-(b+ c)
=a
-(b
+2bc+c
)=a
-b
-2bc-c
(2)
2
2
2
2
2
2
2
2
(a-2b +3c)(a+2b-3c)=[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]=a
-(2b-3c)
=a
-(4b
-12bc+9c
)=a
-4b
-12bc- 9c
(3)
（
x+2y+z
）< br>=[x+(2y+z)]
=x
+2x(2y+z)+(2y+z)
=x
+4xy+2xz+4y
+4yz+z
(4)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(2x-3 y-4z)
=[2x-(3y+4z)]
=(2x)
-2
·
2x·
(3y+4z)+(13y+4z)
=4x
-4x(3y+4z)+(19y< br>+24yz+16z
)=4x
-12xy-16xz+9y
+24yz+16z
说明：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
进行多项式乘法运算时，一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标 准形
式的题目加以调整。适当地添加括号，将有利于应用乘法公式，
添加括号方式的不同，可一题多
解，如（
4
）小题还可添加括号为
[
（
2x- 3y
）
-4z]
，但得出的结果均相同。
[
例
3]
利用乘法公式计算：
（
1
）（
x+1
）
(x-1)(x< br>+x+1)(x
-x+1)
2
2
2
.
.
（
2
）
(a+b)(a-b)( a
+ab+b
)(a
-ab+b
)
提示：
（
1
）小题前两个因式可利用平方差公式计算，后两个因式也可利用平方差公式计算，也
2
22
2
可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式，
第二个因式与第三个因 式结合利用立方差
公式（
2
）小题类似。
参考答案：
（
1
）
解法一：
（
x+1
）
(x-1)(x
+x+1)(x
-x+1)
= (x
-1)[(x
+1)
-x
]
= (x
-1)(x
+2x
+1-x
)
= (x
-1)(x
+x
+1)
= (x
-1)[(x
)2+x
-1+1
]
= (x
)
-1
= x
-1
2
3
3
6
2
2
2
2
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
解法二：
（
x+1
）
(x-1)(x
+x+1)(x
-x+1)
= [(x+1)(x
-x+1)[(x-1)(x
+x+1)]
=
（
x
+1
）
(x
-1)
= (x
)
-1
= x
-1
（
2
）
解法一：
.
6
3
2
2
3
3
2
2
2
2