五13.第13讲 往返路上的相遇问题
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2021年01月18日 03:47
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第
13
讲
往返路上的相遇问题
知识概要
在数学竞赛中，有时还出现“两次”或“多次”相遇的问题，这类问题比较 特殊也很
有趣，我们称之为往返路上的相遇问题。初次接触时似乎有一定的难度，但实际上这类问
题规律性很强。
往返路上的相遇问题是相遇问题中比较典型的一部分，
其特征是 两个运动体在两地之
间不断往返行走，
过程中多次相遇。
其特点是两个运动体分别从两 地同时出发，
相向而行，
第一次相遇时，合走一个全程；以后每合走两个全程迎面相遇一次。分 析时，只要抓住速
度（或速度和）不变时，路程和时间是成比例的这一关键环节，即可很快找到解题思路 。
例题解评
例
1
、小张与小王分别从相距< br>6
千米的甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到
达另一村后就马上返 回）。在出发后
40
分钟两人第一次相遇。小王到达甲村后立即返回，
在离甲村
2
千米的地方两人第二次相遇，问小张和小王的速度各是多少？
【分析与解】
如图，
第一次相遇两二人共 同走了甲、乙两村间的距离，第二次相遇两人已共同走了甲、
乙两村间距离的
3
倍，因 此，所需时间是
40
×
3
÷
60=2
（小时）
从图上可以看出，从出发到第二次相遇，
小张已走了：
6
×
2-2=10
（千米）
小王已走了：
6+2=8
（千米）
因此，他们的速度分别是：
小张：
10
÷
2=5
（千米）
小王：
8
÷
2=4
（千米）
答：小张的速度是每 小时
5
千米，小王的速度是每小时
4
千米。
课堂练习
1
佳佳从甲地向乙地走，彬彬同时从乙地向甲地走，当她俩人各 自到达终点时，又迅速
返回。两人行走的过程中，各自速度保持不变。两人第一次相遇在距甲地
50
米处，第二
次相遇在距乙地
19
米处。求甲、乙两地相距多少千米？
例
2
、客车和货车同时从甲乙两站相对开出，客车每小时行
54
千米，货车每小时行
48
千米，
两车相遇后又以原来的速度继续前行，< br>客车到乙站后立即返回，
货车到甲站后也
立即返回，
两车再次相遇时 ，
客车比货车多行
216
千米。
求甲乙两站间的路程是多少千米？
【分析】
客比货车每小时多行
54
－
48
＝
6千米。
客车比货车多行
216
千米要用
216
÷
6＝
36
（小时）
，也就是客车和货车同时从甲乙两站相对开出，分别到达乙地和甲 地后立即
返回，到第二次相遇共用了
36
小时。可以用速度之和乘以相遇时间求出两车 行程总和。
行程总和正好是甲、乙两站间距离的
3
倍，除以
3
就可以 求出甲、乙两站间的路程。
【解】
216
÷（
54
－48
）
=36
（小时）
（
54
＋
48
）×
36
÷
3
＝
102
×
36
÷
3
＝
3672
÷
3
＝
1224
（千米）
答：甲乙两站间的路程是
1224
千米。
课堂练习
2
甲、乙两城相距
29
千米，一辆客车从甲城 出发向乙城驶去，每小时行
45
千米；一辆
货车从乙城出发驶向甲城，每小时行
42
千米。两车同时出发相向而行，他们各自到达终
点后休息
1
小时，然后 立即返回。从出发时开始到再次相遇一共花了多少小时？
例
3
、
小张和小王分别从甲乙两地同时出发相向而行，当小张走到离甲地
4
千米的时
候，他们二人第一次相遇。相遇后两人继续前进，当小张到达乙地后又返回往甲地走，在
离乙地
3
千米的地方两人第二次相遇。当他们第四次相遇时，小张离甲地有多远？
【分析与 解】
两人走的路程之和，第一次相遇时是甲乙全程×
1
，此后每两次相遇之
间 的路程都是甲乙全程×
2
，所以除第一次外每次间隔时间都相同，第一次的相遇时间为
以后间隔时间的一半。
那么，第一次相遇前小张走了
4
千米，到第二次相遇 总共走了
3
×
4=12
（千米）
，所以
甲乙路程是
12-3=9
（千米）
。
说明第四次相遇小张总共走了
4+8
×
3=28=9
×
3+1
，也就是走了三次单程加< br>1
千米，距
离乙
1
千米，那么距离甲
8
千米。
答：当他们第四次相遇时，小张离甲地
8
千米。
课堂练习
3
甲、乙两车同时分别从
A
、
B两地开出，相向而行。在距
B
地
160
千米处两车相遇，相
遇后 两车都仍以原速继续前进，甲车到达地
B
地后立即掉头开往
A
地；乙车到达Ａ 地后也
立即掉头开往
B
地。
两车第二次相遇时距
B
地
120
千米。
Ａ、
Ｂ两地间的路程是多少千米？
例< br>4
、
甲、乙两车分别从
A
、
B
两地同时开出，相向而 行。
4
小时后相遇，然后继续
行了
3
小时，此时甲车距离
B
地
10
千米，乙车距离
A
地
80
千米。求甲、乙两 车的速度各
是多少？
【分析】
4
小时合走一个全程，走了
3
小时后差
1
小时，差
80+10=90
（千米），即速
度和为
90
千米；共走
3+4=7
（小时）甲差
10
千米行 完全程，乙差
80
千米行完全程，即
7
小时甲比乙多行
80-10= 70
（千米），即速度差为每小时
10
千米，再根据和差问题公式求