“数感”及其形成与发展
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2021年01月18日 10:08
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“
数感
”
及其形成与发展
徐文彬
喻平
尽管义务教育数学课程标准及其实施
（比如 ，
教科书的编写、
课堂教学、甚至教学评价等）都强调了
“
数感
”< br>及其重要性，
但是在认识上却存在着诸如简单化、泛化、混淆、借用、甚
至神秘化等问题 。因此，在明确
“
数感
”
的基本含义及其特征
的基础上，
探 讨
“
数感
”
的形成与发展，
应该是发展学生
“
数感
”
的理论认识前提和现实条件；更是在
“
数感
”
基础上进一 步发
展学生
“
符号感
”
，乃至数学观的必由之路。
一、何谓
“
数感
”
一旦论及感觉、直觉等与创造性或问题 解决相关的问题时，
很多人就会有一种莫名的神秘感。其实，
“
数感
”
并不是什么
神秘的东西，它只是我们对数字关系和数字模式的意识，以
及运用这种意识灵活地 解决数字问题的能力。学生具有
“
数
感
”
的典型特征就是他们能够对 其所面对的数字模式、
数字关
系和计算过程进行归纳，并能够把新知识和已有知识联系起
来
[1]
。
但是，
在我国数学教育理论界，
却存在着一些关于“
数
感
”
的不恰当、
甚至错误的认识，
而这些
“
误解
”
必然会误导数
学教育实践。
为了澄清这些
“
误导
”
，
就必须首先剖析这些
“
误
解
”
，并追问其发生的认识论根源。
譬如，
有论者认为：
“‘
数感’
是对数的
‘
感悟
’
。
‘
感
’
是外界刺激
作用于主体而产生的，是通过肢体（如感官等）而不是通过
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大脑思维，
它含有原始的、
经验性的成分。
悟是主体自身的，
是通过大脑思维而产生的。
‘
感悟
’
是既通过肢体又通过大脑，
因此，既含有感知的成分又有思维的成分。
”[2]< br>但是，唯物
认识论却认为，
如果要想从根源上来认识认识和思维，
那么，
其根源就是感觉，而感觉与知觉（统称为
“
感知
”
）则是认识
和思 维的初级阶段之具体形式。认识和思维是主体与客体之
间的一种关系，离开了客体，认识与思维是不存在 的；即使
是以认识与思维本身为认识与思维对象的认识与思维即反
思，它也是思维着的思维、或 者认识着的认识与被思维的思
维、
或者被认识的认识之间的主体与客体之间的关系。
因 此，
现实的人类
“
大脑思维
”
就不仅仅是自身的：它既是主体自身< br>的、又是主体客体化的。总之，意识必然是思维的，
“
数感
”
也必然是 思维的：只
“
通过肢体而不通过大脑思维的
”
肯定小
可能是
“
数感
”
，
也不可能是人的反应性，
它只可能是
“
物质的
反应性
”
。
由此可见，
上述关于
“
数感”
的所谓
“
感悟说
”
既割裂
了人的感性认识与理性认识 之间的联系，又简单地把两者粘
贴为
“
数感
”
。与此相近的认识还有 ：
“
从知识的角度来看，
数
感包括感觉、知觉、观念或是能力等，并可用知识 来统一解
释。因此，数感是一种程序性知识，数感又主要是一种内隐
性知识，数感又主要是一种 非结构性知识。
”[3]
再譬如，有论者认为
[4]
：
“
狭义的数感就是
‘
数字感
’
，即人脑
对于数字或数字运算定 律的直觉；广义的数感就是数学感，
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即人脑对于数学对象的直觉。
而且数感还具有
3
个基本特征：
直觉性
——
非逻辑性、
自动性，
内隐性
——
理解性 、
抽象性、
实用性，发展性
——
天赋性、层次性、可学性。
”
显而易见，
该论者泛化了
“
数感
”
的概念及其内容，而且还可以看 出其直
接借用人们对
“
美感
”
理解的痕迹。因此，这种关于
“
数感
”
的
所谓
“
直觉说
”
既不利于我们 对
“
数感
”
的认识，又无助于我们
对学生
“
数感< br>”
的培育。至于其所归纳的
“
数感
”
的
3
个 基本特
征则不仅需要进一步的实证研究来加以证实或者证伪，而且
还存在一些概念间逻辑关系混 淆的问题需要澄清：直觉性、
发展性和内隐性之间是什么关系？发展性中的天赋性与可
学性又是 什么关系？持
“
直觉说
”
的论述还有：
“
数感是一种关于数字的直觉，它从数字的所有不同的意义的表述得以表
现。
”[5]“
数感”
是一种类似于
“
语感
”“
方向感
”“
美感< br>”
和
“
质感
”
等（关于数）的
“
直感
”[6]
。
还有论者认为：
“
数感是人们在数概念的扩展中而产 生的对数
学的一种敏感与一般理解。
”[7]
而且这种
“
敏感与一般 理解
”
具有如下一些特点
[7]
：
“(1)
这种敏感与理解 是对数字（量）
的直觉，它帮助人们对数字（量）的直感迅速地反应为数学
问题，使数学问题从 感知层面敏捷地链接到数学思维；
(2)
这种敏感与理解是关于数概念的网络结构：
( 3)
这种敏感与理
解具有非算法性、非单一、非确定、非逻辑等特点，其反应
时间短， 稳定性差，是所需解决的问题与数学思维之间的按
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钮，
其灵敏度与数概念网络结构的个性化有关。
”
这种关于
“
数
感
”
的所谓
“
敏感说
”< br>具有某种神秘性：
“
一种敏感
”“
一般理解
”
等语义 不清，容易让人
“
浮想联翩
”
；而且还存在着泛化的倾
向：
把对
“
数概念的扩展
”
无限推延至
“
对数学的一种敏感与一
般理解
”
。
我们可以设想，
如果人们真能够在数概念的扩展中
产生所谓的
“
对数学的一种敏感与一般理解
”
，那么这种敏感
与理 解就不可能是
“
数感
”
，而更可能是数学观。由此可见，
该论者混淆 了
“
数感
”
与数学观。其实，
“
数感
”
可 能是数学观
的一个有机构成，但绝不可能是数学观本身。至于其所归纳
的
“
数 感
”
所具有的特点则需要更加严格的数学教育心理学等
（实验）研究来加以证实或者证 伪。
具体而言，
“
数感
”
包括
“
对数字 关系和数字模式的意识
”
，以
及运用这种对数字关系和数字模式的意识
“灵活地解决数字
问题的能力
”
两个部分内容；
其核心是指计算策略中的灵 活性
和创造性，而非
“
没有思维的
”
计算程序。由此可见，
“
数感
”
不仅强调要培养学生的数学理解力，而且强调要培养其积极
的学习态 度与信心；
“
数感是一种主动自觉地或自动化地理解
和运用数的态度与意识。数感是人 的一种基本的数学素养。
它是建立明确的数概念和有效地进行计算等数学活动的基
础，是将数学 与现实问题建立联系的桥梁。
”
与此同时，
“
建
立数感可以理解为会
‘
数学地
’
思考
”[8]
。
因此，数感
……
体现的是应用数字的倾向和能力，以及作为
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交流、加工、解释信息的量化方法。数感导致人们期待数学
有某种规则
[9]
。
二、何以形成
“
数感
”
“
数感
”
主要在三个领域中起作用：
(1)
数字知识和数字的简便
性；
(2)
运算知识和运算的简便性；
(3)
把数字和运算的知识及
其简便性应用到需要用数字 进行推理的问题中
[9]
。因此，我
们可以从上述这三个领域来思考
“
数感
”
的形成问题。
1.
从
“
数字知识和数字 的简便性
”
来看
“
数感
”
的形成
单个数 字的识别与学习，
是数字知识积累的最初形式。
但是，
数字的顺序感可能更为重要：< br>…
，
9
，
8
，
7
，
6
，< br>5
，
4
，
3
，
2
，
1
，< br>0
，
…
或者反过来。
而
“
计数
”
并非仅仅是指学生们最早体验到的
“
单向
”
计数，而
是可以 以任何
“
合适
”
的方式来进行：
可用
2
，
5
，
10
，
100
（其
实也不排除用
3
，
4
，
6
，
7
等）等为间隔来计数，可以从任
何一个 数字开始向前或向后
“
数
”……
在这种
“
计数
”< br>过程中，
既可以形成数字的顺序感、又可以感觉到多样化的数字的呈
现方式，以及数字相 对与绝对数量的判断和思考数字的基准
参考体系。
当这些数字关系和数字模式与算术 运算相联系的时候，这些
数字关系和数字模式就能够促使学生们找到有效的计算策
略，从而促进 其
“
数感
”
的形成与发展。
“
数感
”< br>是高度个性化的产物。因为
“
数感
”
不仅和学生已有的
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数字概念相联系，而且也与 怎样形成这些数字概念相联系。
因此，随着学生们对已知数字事实及其之间的相互关系了解
的深 入，他们的
“
数感
”
也会得到进一步的发展。在这里，数
字应用的不 同方式，以及数字应用之间的关系的意识与辨别
等，
是学生形成
“
数字知识和 数字的简便性
”
、
以及运用
“
数感
”
的关键之所在 。
2.
从
“
运算知识和运算的简便性
”
来看“
数感
”
的形成
“
数感
”
也是一种 运用数字和运算法则进行灵活运算的能力。
数字与计算之间的联系对学生形成
“
数感< br>”
具有重大的影响。
《美国学校数学教育的原则与标准》
也认为，
（数 与运算）
“
这
一标准的中心是培养学生的数感
(NumberSense)< br>，就是用
100
或
1/2
这样特定的数作参考自然地分解数字的能力， 运用从
算术运算到问题解决间关系的能力，理解十进制数的能力，
估算能力，理解数字含义的能 力，以及对数的绝对和相对大
小的辨认能力
”[10]
。
我国学者 对
“
数感与估算之间的关系
”
也进行过实证研究
[11]
：
“
数感只是在一定程度上依赖于估算，同时它也受问题
特点等诸多因素的影响；不同估 算能力下的儿童在做数感类
题时使用的策略相当多，而且有所偏重，但大多数情况下都
选择有效 性中等水平的策略；不同估算水平熟练程度的儿童
在对数感错误类型的影响（方面）存在较为明显的差异 。
”
这项研究结果告诉我们，
“
数感
”
的形成与
“
估算
”
之间不是一
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个简单的一一对应关系，而是有着非常复杂的非线性关系。
但是，就< br>“
运算知识和运算的简便性
”
而言，其核心应该是，
理解运算结果，意 识到所运用的运算规则，以及运算之间的
关系。
对运算结果的理解可能意味着对“
标准运算程序
”
的掌握甚至
熟练：
而对所运用的运算规则的意 识则更加意味着对
“
标准运
算程序
”
的熟悉甚至对不同
“< br>标准运算程序
”
之间关系的意识
与辨别；对各种运算之间的关系的意识则必然意 味着对所运
用的运算规则的
“
烂熟于心
”
，而且还可能意味着对数字 关系
和数字模式与运算程序之间关系的把握。
由于
“
运算知识和运 算的简便性
”
主要来自对运算的标准程序
的熟悉和不同标准运算程序之间关系的比较、 意识与辨别，
所以，应用标准的计算程序可能不如根据
“
数感
”
来选 择适合
的计算策略更为快捷与有效。反之，在一定程度上，计算策
略的快捷与有效也反映了“
数感
”
的形成状态与发展水平。
3.
从
“
把数字和运算的知识及其简便性应用到需要用数字进
行推理的问题中
”
来看< br>“
数感
”
的形成
由此可见，
“
数感
”
的形成是一个
“
对数字关系和数字模式的意
识
”
与运用 这种意识
“
灵活地解决数字问题的能力
”
相互影响
甚至相互制约的动 态过程：
互为基础、
互为补充、
互相促进、
共同发展，并进而促使学生一般数 学能力（即我们通常所指
的
3
大能力：计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力）得< br>第
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