(完整word版)二次函数复习专题讲义.docx
余年寄山水
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2021年01月18日 12:22
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.
二次函数
【知识清单】
※一、网络框架
概念：形如
y
ax
2
(a 0)
的函数
简单二次函数图像：是过（
0,0
）的一条抛物线
对称轴：
y
轴
性质
最值：当
a 0
时，
；当
时，
y
最小值
=0
a
0
y
最大值
=0
0
时，在对称轴左边（即
x 0
）
,
y
随
x
的
增大而减小。在对称轴右边（即
x 0
）
,
y
随
x
的增大而增大。
当
a
增减性
当
a
0
时，在对称轴左边（即
x 0
）
,
y
随
x
的增大而增大。在对称轴右边（即
x 0
）
,
y
随
x
的增大而减小。
概念：形如
y
ax
2
bx c(a 0)
的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。
开口方向：
a
二次函数
0
，开口向上；
a 0
，开口向下。
b 4ac b
图像：是一条抛物线顶点坐标：（
-
对称轴：
x
b
,
2
）
-
一般二次函数
最值：当
a
时，
2
4ac b
2
，当
时，
4ac
b
0 y
最小值
=
4a
a
0
y
最大值
=
4a
0
x
y
x
性质：
b
）
,
随
的增大而增大。
时，在对称轴左边（即
-
b
）
,
随
的增大而减小。在对称轴右边（即
-
2a
2a
增减性：
b
b
）
,
随
的增大而增大。在对称轴右边（即
-
）
,
随
的增大而减小。
时，在对称轴左边（即
当
-
当
a
x
y
x
a
0
x
y
x
x
y
x
2a
2a
待定系数法求解析式
应用
与一元二次方程和不等式的关系
建立函数模型解决实际问题
※二、清单梳理
2
,a ,
是
b
常
c
数
的
)
函
数
叫
二
次
函
数
。
例
1
、
一
般
的
，
形
如
y
2
2
a x
b x (c a 0 ,
如
1
6 , y
2
2
y 2 x , y
2 x
3
x 4 x, y
5 x 9 x
等都
6
是二次函数。
注意：系数
a
不能为零，
b, c
可以为零。
word
.
2
、二次函数的三种解析式（表达式）
①一般式：
y ax
2
②顶点式：
y
③交点式：
y
bx c(a 0, a,b,c
是常数
)
a( x
h)
2
k( a, h, k
为常数，且
a
0)
，顶点坐标为
(h, k )
a( x
x
1
)( x
x
2
)(a
0,
其中
x
1
, x
2
是抛物线与
x
轴的交点的横坐标
)
3
、二次函数的图像位置与系数
a ,b,c
之间的关系
①
a
：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当
口方向向下。
| a |
决定开口大小，当
线的开口越大。反之，也成立。
②
c
：决定抛物线与
轴上方）；当
c
a
0
时，开口方向向上；当
a 0
时，开
| a |
越大，则抛物线的开口越小；当
| a |
越小，则抛物
y
轴交点的位置。当
c 0
时，抛物线与
y
轴交点在
y
轴正半轴（即
x
0
时，抛物线与
y
轴交点在
y
轴负半轴（即
x
轴下方）；当
c 0
时，抛物
线过原点。反之，也成立。
③
a
和
b
：共同决定抛物线对称轴的位置。
当
b
0
时，对称轴在
y
轴右边；当
b
2a
0
2a
时，对称轴在
y
轴左边；当
b
2a
a b
0
（即当
b
0
时）对称轴为
y
轴。反之，也成立。
④特别：当
x
1
时，有
y
c
；当
x
1
时
，有
y
a
b c
。反之也成立。
4
、二次函数
y a(x h)
2
而得到。具体为：当
h
向左平移
单位，当
k
图像。
k
的图像可由抛物线
y
ax
2
向上（向下），向左（向右）平移
0
时，抛物线
y ax
2
向右平移
h
个单位；当
h
0
时，抛物线
y
ax
2
h
个单位，得到
y
a( x
h)
2
；当
k
0
时，抛物线
y
a(x
h)
2
再向上平移
k
个
0
时，抛物线
y
a( x
h)
2
再向下平移
k
个单位，
而得到
y a( x h)
2
k
的
word
.
5
、抛物线
y
ax
2
bx
c(a
0)
与一元二次方程
ax
2
2
bx c 0( a
0)
的关系：
①
若
抛
物
线
y a x
b x ( c a0 )
与
x
轴
有
两
个
交
点
，
则
一
元
二
次
方
程
a x
2
b x
c 0 (
a 0
有
)
两个不相等的实根。
② 若
抛
物
线
2
与
轴
有
一
个
交
点
，
则
一
元
二
次
方
程
y a x
b x ( c
a0 )
x
a x
2
b x
c 0 (
a 0
有
)
两个相等的实根（即一根）
。
a
2
x
c0 (
③
若
抛
物
线
y
2
b x( c 0a)
与
x
轴
无
交
点
，
则
一
元
二
次
方
程
a x
6
、二次函数
y
关系式
b x
a0
没
)
有实根。
c(a
y
ax
2
bx
0, a,b,c
是常数
)
的图像与性质
ax
2
bx
c(a
0)
抛物线
y
a( x h)
2
k (a 0)
图像形状
(
b 4ac
,
b
2
)
( h, k )
顶点坐标
对称轴
2a
4a
b
x
2a
x h
在图像对称轴左侧，即
x
b
或
x
h
，
y
随
x
的增大而减
2a
x
a
0
小；在图像对称轴右侧，即
b
或
x h
，
y
随
x
的增大
2a
而增大；
增
在图像对称轴左侧，即
x
b
或
x
h
，
y
随
x
的增大而增
减
2a
x
大；在图像对称轴右侧，即
b
或
x h
，
y
随
x
的增大
性
a
0
2a
而减小；
word
.
当
x
b
2a
b
2a
时，
y
最小值
=
4ac b
4a
2
当
x
h
时，
y
最小值
=k
最
大
值
a
a
0
0
当
x
最小值
时，
y
最大值
=
4ac b
4a
2
当
x
h
时，
y
最大值
=k
word
.
【考点解析】
考点一：二次函数的概念
【例
1
】下列函数中是二次函数的是（
）
A. y 8x
2
1
C.y
B. y
8x 1
8
x
D.y
3
x
2
4
【解析】
根据二次函数的定义即可做出判断，
A
中
y
8x
2
1
符合
y
ax
2
bx c(a 0)
D
的形式，所以是二次函数，
B, C
分别是一次函数和反比例函数，
中右边
3
4
不是整式，
显然不是二次函数。
【答案】
A
【例
2
】已知函数
y (m
2
2m)x
m
2
3m 4
3mx
(m
1)
是二次函数，则
m
“二次项系数不为零，且
。
【解析】
根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可
数为
2
”。故有
x
的最高次
m
2
2m 0
2
，解得
m
0
且
m
2
m
3m
4
2
m
1
或
m
2
，综上所述，
m
取
1
。
【答案】
1
【针对训练】
1
、若函数
y
(m
2)x
m 2
mx
是二次函数，则该函数的表达式为
2
y
__________
。
考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用
【例
1
】已知点
a,8
在二次函数
y
ax
2
的图象上，则
a
的值是（）
A.2
word
B.
2
C.
2
D.
2
.
【解析】
因为点
中，可以得出
a
3
【答案】
A.
a,8
在二次函数
y
ax
2
的图象上，所以将点
，
a,8
代入二次函数
y
ax
2
8
，则可得
a 2
2
【例
2
】（
2011
，
泰
安
）
若
二
次
函
数
y
ax
bx
c
的
x
与
y
的
部
分
对
应
值
如
下
x
表
，
则
当
1
时
，
y
的
值
为
（
）
x
y
A.5
7
27
B.
3
6
13
5
3
C.
13
2
4
3
3
5
2
3
27
【解析】
设
二
次
函
数
的
解
析
式
为
y
由
抛
物
线
的
对
称
性
可
知
h
a x
hk
，因
为
当
x
2
4
或
2
时
，
y
5
，
把
3
，
3
，
h 5
，
所
以
y
2 x
3
a x 3
2
2,3
代
入
得
，
a 2
，
所
以
二
次
函
数
的
解
析
式
为
y
【
答
案
】
C
【针对训练】
5
，
当
x 3
时
，
y
27
。
1
、
(2002
年
太
原
)
过
1,0
,
3,0
,
1,2
三
点
的
抛
物
线
的
顶
点
坐
标
是
（
）
A. 1,2
B.(1,
)
3
2
C. 1,5
D.(2,
14
3
)
2
、无论
m
为何实数，二次函数
y
x
2
2 m x
m
的图象总是过定点（
）
A.1,3
B. 1,0
C.
1,3
D
1,0
word
.
【例
3
】（
2010
，
石
家
庄
一
模
）
如
图
所
示
，
在
平
面
直
角
坐
标
系
中
，
二
次
函
数
，则
y
与
x
的
函
数
关
系
y ax
2
为
（
bx
）
c
的
图
象
顶
点
为
A.
2,
2
，且
过
点
B 0,2
2
式
2
2
A.
y x
2
2
B.
y x 2
2
C.
y x 2
2
2
D.
y x 2 2
【
解
析
】
设
这
个
二
次
函
数
的
关
系
式
为
y a x
2
2
2
，
将
B 0,2
代
入
得
2
2 0 2
2
，解
得
：
a 1
，
故
这
个
二
次
函
数
的
关
系
式
是
y x 2
2
，
【
答
案
】
D
【针对训练】
1
、二
次
函
数
y
1
2
x
bx c
的
顶
点
为
( 2, 1)
，
则
二
次
函
数
的
解
析
式
为
________.
2
【
例
4
】二
次
函
数
y
x
2
bx
c
过
点
(
3, 0)
、
(1,
0)
，则
二
次
函
数
的
解
析
式
为
______
。
a,b, c
的关系）
考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数
【例
1
】（
2012
，兰州）已知二次函数
y
小值
1
，则
a
、
b
的大小关系为（
）
a(x
1)
2
b
(a
0)
有最
A. a b
B. a
b
C. a
b
D.
不能确定
【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值
【解析】因为二次函数
y a
x
(
b
(a 0)
1)
2
1
有最小值
，所以
a 0
，
b 1 b 1
，
，
所以
a
b
。
word
.
【答案】
A.
【针对训练】
1
、二次函数
y
2x
2
4x 1
的最小值是
。
2
、（
2013
，兰州）二次函数
y
2( x 1)
2
3
的图象的顶点坐标是（
）
A.
(1
，
3)
B.
( 1
，
3)
C.
(1
，
3)
D.
( 1
，
3)
3
、抛物线
y
x( x
2)
的顶点坐标是（
）
A.
( 1
，
1)
B.
(
1
，
1)
C.
(1
，
1)
D.
(1
，
1)
【例
2
】（
2012
，兰州）抛物线
y
移过程正确的是（
( x
2)
2
3
可以由抛物线
y
x
2
平移得到，则下列平
）
A.
先向左平移
2
个单位，再向上平移
B.
先向左平移
2
个单位，再向下平移
C.
先向右平移
2
个单位，再向下平移
D.
先向右平移
2
个单位，再向上平移
【考点】涉及函数平移问题
【解析】
抛物线
y
3
个单位
3
个单位
3
个单位
3
个单位
x
2
向左平移
2
个单位可得到抛物线
y ( x 2)
2
，再向下平移
3
个单
word
.
位可得到抛物线
y
(x
2)
2
3
。【答案】
B.
【针对训练】
1
、（
2012
，南京）已知下列函数：
（
1
）
y
x
2
；（
2
）
y
x
2
；（
3
）
y
( x
1)
2
2
。
（填写所有正确
其中，图象通过平移可以得到函数
y
x
2
2x
3
的图象的有
选项的序号）。
2
、（
2009
，上海）将抛物线
y
x
2
2
向上平移一个单位后，得到
。
新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是
3
、将抛物线
y
x
2
向左平移
2
个单位后，得到的抛物线的解析式是（
2
）
A.
y x
2
B.
y
( x 2)
2
C.
y ( x 2)
2
D.
y
x
2
2
4
、将抛物线
y
ax
2
bx
c(a
0)
向下平移
3
个单位，在向左平移
__________
。
4
个单位得到抛物线
y
2 x
2
4x
5
，则原抛物线的顶点坐标是
【例
3
】（
2013
，长沙）二次函数
y
是（
）
ax
2
bx
c
的图象如图所示，则下列关系式错误的
A. a
0
B. c 0
C.
b
2
4ac 0
D. a b c 0
【考点】图像与系数的关系
word
.
【解析】
观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与
y
轴的交点在
y
轴的正半
轴
上
，
与
x
轴
有
两
个
交
点
，
所
以
a
0
，
c
0
，
b
2
4ac
0
，
且
当
x
1
时
，
【答案】
D.
y
a
b
c
0
。显然选项
A
、
B
、
C
都正确，只有选项
D
错误。
y
【例
4
】（
2011
，山西）已知二次函数
ax
2
bx
c
的图象如图所示，
对称轴为直线
x
1
，
则下列结论正确的是（
）
A. ac
0
B.
方程
ax
2
bx
c
0
的两根是
x
1
C. 2a
b
0
D.
当
x
0
时，
y
随
x
的增大而减小
【考点】图像与性质的综合应用
1
，
x
2
3
【解析】
由图象可知
a
0
，
c
0
，故
A
错误；因对称轴为直线
x 1
，所以
b
2a
1
，
故
C
错误；由图象可知当
1 x
称性可知
B
选项正确，
【答案】
B.
0
时，
y
随
x
的增大而增大，故
D
错误；由二次函数的对
【针对训练】
1
、（
2013
，
呼
和
浩
特
）
在
同
一
平
面
直
角
坐
标
系
中
，
函
数
y
mx
m
和
函
数
）
y
mx
2
2x
2
（
m
是常数，且
m
0
）的图象可能是（
word
.
A.
B.
C.
D.
2
、（
2011
，重庆）已知抛物线
y
ax
2
bx
c (a
0)
在平面直角坐标系中的位置如图所
示，则下列结论中，正确的是（
）
A.
a
0
B.
b
0
C.
c
0
D.
a
b
c
0
3
、在反比例函数中
y
a
(a 0)
，当
x 0
时，
y
随
x
的增大而减小，则二次函数
x
y
ax
2
ax
的图象大致是（
）
A.
B.
C.
D.
4
、如图所示，
二次函数
y
ax
2
bx
c(a
0)
的图像经过
A( 1,2)
，且与
x
轴的交点的横
坐
标
分
别
为
x
1
, x
2
，
其
中
2
x
1
1,0
x
2
1
，
下
列
结
论
：
2b
c
0
；
②
2a
b
0
；③
a
1
；④
b
2
8a
4ac
，其中正确的选项有
。
【例
5
】已知关于
x
的函数
y
x
2
4x
3
，求当
1
x
1
时函数的最大值和最小值
word
①
4a
.
【针对训练】
1
、
已知函数
y
2x
2
4x
1
，试求当
1
x
2
的最大值和最小值
2
、
已知函数
y
2x
2
4 | x |
1
，试求当
1
x
2
的最大值和最小值
【
例
6
】
已
知
二
次
函
数
y ax
2
bx c(a
0)
其
中
a
、
b
、
c
满
足
a b c
9a 3b c 0
，则该二次函数的对称轴是直线
。
【针对训练】
1
、
已知
A(x
1
, 2002)
、
B(x
2
, 2002)
是二次函数
y
ax
2
bx
5( a
0)
的图像上的两点，
则
当
x
x
1
x
2
时，二次函数的值是
__________.
word
0
和
.
【例
7
】已知二次函数
y
数
m
的取值范围是
x
2
2mx 2
，当
x
。
2
时，
y
的值随
x
值的增大而增大，则实
【针对训练】
1
、
若二次函数
y
( x
m)
2
1
，当
x
1
时，
y
随
x
的增大而减小，则
m
的取值范围是
_________
。
讲到这儿了
考点四：二次函数的实际应用
【例
1
】（
2011
，重庆）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，
从去年
1
至
9
月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格
y
1
（元）
x
与月
份（
1
x
9
，且
x
取整数）之间的函数关系如下表：
1
2
580
3
600
4
620
5
640
6
660
7
680
8
700
9
720
月份
x
价格
y
1
（元
/
件）
560
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，
10
至
12
月每件配件的原材料价格
y
2
（元）与月份
x
（
10
≤
x
≤
12
，且
x
取整数）之间存在如图所示的变化趋势：
word