2018中考数学专题复习 新定义 二次函数问题 含答案
温柔似野鬼°
789次浏览
2021年01月18日 12:24
最佳经验
本文由作者推荐
玫瑰花多少朵的含义-h7n9禽流感
二函新定义
一．解答题（共
10
小题）
1．在平面直角坐标系中，点
A
的坐标为（
m
，
n
），若 点
A'
（
m
，
n'
）的纵坐标满足
n'=
则称点
A′
是点
A
的
“
绝对点
”
．
（
1
）点（
3
，
2
）的
“
绝 对点
”
的坐标为
．
（
2
）点
P
是函数
y=4x
﹣
1
的图象上的一点，点
P′
是点
P
的
“
绝对点
”．若点
P
与点
P′
重合，求点
P
的
坐标．
（
3
）点
Q
（
a
，
b< br>）的
“
绝对点
”Q′
是函数
y=2x
2
的图 象上的一点．当
0
≤
a
≤
2
时，求线段
QQ′的最大值．
，
2
．定义：如果一条抛 物线
y=ax
2
+
bx
+
c
（
a
≠
0
）与
x
轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个
交点为顶 点的三角形称为这条抛物线的
“
直观三角形
”
．
（
1
）抛物线
y=x
2
的
“
直观三角形
”
是
．
A
．等腰三角形
B
．等边三角形
C
．直角三角形
D
．等腰直角三角形
（
2
）若抛物线
y=ax< br>2
+
2ax
﹣
3a
的
“
直观三角形
”
是直角三角形，求
a
的值；
（
3
）如图，面积 为
12
的矩形
ABCO
的对角线
OB
在
x
轴的正半轴上，
AC
与
OB
相交于点
E
，若△
AB E
是抛物线
y=ax
2
+
bx
+
c
的“
直观三角形
”
，求此抛物线的解析式．
3
．在平面直角坐标系
xOy
中，已知抛物线
C
：
y=x
2
﹣
4x
+< br>4
和直线
l
：
y=kx
﹣
2k
（
k
＞
0
）．
（
1
）抛物线
C
的顶点
D
的坐标为
；
（
2
）请判断点< br>D
是否在直线
l
上，并说明理由；
（
3
） 记函数
y=
的图象为
G
，点
M
（
0
，t
），过点
M
垂直于
y
轴的直线与图象
G
交< br>于点
P
（
x
1
，
y
1
），
Q
（
x
2
，
y
2
）．当
1
＜t
＜
3
时，若存在
t
使得
x
1
+x
2
=4
成立，结合图象，求
k
的取值
范围．
4
．设
a
，
b
是任意两个不等实数，我们规定： 满足不等式
a
≤
x
≤
b
的实数
x
的所有取 值的全体叫做闭
区间，表示为
[
a
，
b
]
．对于一 个函数，如果它的自变量
x
与函数值
y
满足：当
m
≤
x
≤
n
时，有
m
≤
y
≤
n
，我 们就称此函数是闭区间
[
m
，
n
]
上的
“
闭函数
”
．如函数
y=
﹣
x
+
4
，当x=1
时，
y=3
；当
x=3
时，
y=1
，即 当
1
≤
x
≤
3
时，恒有
1
≤
y< br>≤
3
，所以说函数
y=
﹣
x
+
4
是 闭区间
[
1
，
3
]
上的
“
闭函数
”
，同理函数
y=x
也是闭区间
[
1
，
3
]
上的
“
闭函数
”
．
（
1
）反 比例函数
y=
是闭区间
[
1
，
2018
]
上的
“
闭函数
”
吗？请判断并说明理由；
（
2< br>）如果已知二次函数
y=x
2
﹣
4x
+
k
是 闭区间
[
2
，
t
]
上的
“
闭函数
”
，求
k
和
t
的值；
（
3
）如 果（
2
）所述的二次函数的图象交
y
轴于
C
点，
A
为此二次函数图象的顶点，
B
为直线
x=1
上
的一点，当△
ABC
为直角三角形时，写出点
B
的坐标．
5
．若抛物线
L
：
y=ax
2
+
bx
+c
（
a
，
b
，
c
是常数，
abc≠
0
）与直线
l
都经过
y
轴上的同一点，且抛物线L
的顶点在直线
l
上，则称次抛物线
L
与直线
l
具有
“
一带一路
”
关系，并且将直线
l
叫做抛物线
L
的
“
路
线
”
，抛物线
L
叫做直线l
的
“
带线
”
．
（
1
）若
“
路线
”l
的表达式为
y=2x
﹣
4
，它 的
“
带线
”L
的顶点的横坐标为﹣
1
，求
“
带线
”L
的表达式；
（
2
）如果抛物线
y=m x
2
﹣
2mx
+
m
﹣
1
与直线
y =nx
+
1
具有
“
一带一路
”
关系，求
m
，
n
的值；
（
3
）设（
2
）中 的
“
带线
”L
与它的
“
路线
”l
在
y
轴上的交点为
A
．已知点
P
为
“
带线
”L
上的点，当以点
P
为圆心的圆与
“
路线
”l
相 切于点
A
时，求出点
P
的坐标．
6
． 在平面直角坐标系中，规定：抛物线
y=a
（
x
﹣
h
）2
+
k
的关联直线为
y=a
（
x
﹣
h
）
+
k
．
例如：抛物线
y=2
（
x
+
1
）
2
﹣
3
的关联直线为
y=2< br>（
x
+
1
）﹣
3
，即
y=2x
﹣< br>1
．
（
1
）如图，对于抛物线
y=
﹣（< br>x
﹣
1
）
2
+
3
．
①该抛物线的顶点坐标为
，关联直线为
，该抛物线与其关联直线的交点坐标为
和
；
②点
P
是抛物线
y=
﹣（
x
﹣
1
）
2
+
3
上一点，过点
P
的直线
PQ
垂直于
x
轴，交抛物线
y=
﹣（
x
﹣
1
）
2
+3
的关联直线于点
Q
．设点
P
的横坐标为
m
， 线段
PQ
的长度为
d
（
d
＞
0
），求当< br>d
随
m
的增大而减小
时，
d
与
m
之 间的函数关系式，并写出自变量
m
的取值范围．
（
2
）顶 点在第一象限的抛物线
y=
﹣
a
（
x
﹣
1
）
2
+
4a
与其关联直线交于点
A
，
B
（ 点
A
在点
B
的左侧），
与
x
轴负半轴交于点
C
，直线
AB
与
x
轴交于点
D
，连结
A C
、
BC
．
①求△
BCD
的面积（用含
a
的代数式表示）．
②当△
ABC
为钝角三角形时，直接写出
a
的取值范围．
7
．已知：抛物线
C
1
：
y=
﹣（x
+
m
）
2
+
m
2
（
m＞
0
），抛物线
C
2
：
y=
（
x﹣
n
）
2
+
n
2
（
n
＞0
），称抛物线
C
1
，
C
2
互为派对抛物线， 例如抛物线
C
1
：
y=
﹣（
x
+
1
）
2
+
1
与抛物线
C
2
：
y=
（
x
﹣
）
2
+
2
是派对抛物
线，已知派对 抛物线
C
1
，
C
2
的顶点分别为
A
，B
，抛物线
C
1
的对称轴交抛物线
C
2
于C
，抛物线
C
2
的
对称轴交抛物线
C
1
与
D
．
（
1
）已知抛物线①
y=
﹣< br>x
2
﹣
2x
，②
y=
（
x
﹣
3
）
2
+
3
，③
y=
（
x
﹣< br>）
2
+
2
，④
y=x
2
﹣
x
+
，则抛物线①②
③④中互为派对抛物线的是
（请在横线上填写抛物线的数字序号）；
（
2
）如图< br>1
，当
m=1
，
n=2
时，证明
AC=BD
；
（
3
）如图
2
，连接
AB
，
CD
交于点
F
，延长
BA
交
x
轴的负半轴于点E
，记
BD
交
x
轴于
G
，
CD
交
x
轴
于点
H
，∠
BEO=
∠
BDC< br>．
①求证：四边形
ACBD
是菱形；
②若已知抛 物线
C
2
：
y=
（
x
﹣
2
）2
+
4
，请求出
m
的值．
8．
定义：
对于给定的两个函数，
任取自变量
x
的一个值，
当
x
＜
0
时，
它们对应的函数值互为相反数；
当
x
≥
0
时，
它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例 如：一次函数
y=x
﹣
1
，
它们的相关函数为
y=
．
（
1
）已知点
A
（﹣
5
，
8
）在一次函数
y=ax
﹣
3
的相关函数的图象上，求
a的值；
（
2
）已知二次函数
y=
﹣
x
2
+
4x
﹣
．
①当点
B
（
m
，
）在这个函数的相关函数的图象上时，求
m
的值；
②当 ﹣
3
≤
x
≤
3
时，求函数
y=
﹣
x
2
+
4x
﹣
的相关函数的最大值和最小值．
9
．定义：在平面直角坐标系中，图形
G
上点
P
（
x
，
y
）的纵坐标
y
与其横坐标
x
的差
y
﹣
x
称为
P
点
的
“
坐标差
”
，而图 形
G
上所有点的
“
坐标差
”
中的最大值称为图形
G
的
“
特征值
”
．
（
1
）①点< br>A
（
1
，
3
）的
“
坐标差
”
为
；
②抛物线
y =
﹣
x
2
+
3x
+
3
的
“
特征值
”
为
；
< br>（
2
）某二次函数
y=x
2
+
bx
+
c
（
c
≠
0
）的
“
特征值
”
为
1
，点
B
（
m
，
0
）与点
C分别是此二次函数的图象
与
x
轴和
y
轴的交点，且点
B
与点
C
的
“
坐标差
”
相等．
①直接写出
m=
；（用含
c
的式子表示）
②求此二次函数的表达式．
< br>（
3
）如图，在平面直角坐标系
xOy
中，以
M
（< br>2
，
3
）为圆心，
2
为半径的圆与直线
y=x
相交于点
D
、
E
，请直接写出⊙
M
的
“
特征值
”
为
．
10
．
如图①所示，
双曲线
y=
（
k< br>≠
0
）
与抛物线
y=ax
2
+
bx
（
a
≠
0
）
交于
A
，
B
，
C
三点，
已知
B
（
4
，
2
）
，
C
（﹣
2
，﹣
4
），直线
CO
交双曲线于 另一点
D
，抛物线与
x
轴交于另一点
E
．
（
1
）求双曲线和抛物线的解析式；
（
2
）在抛 物线上是否存在点
P
，使得∠
POE
+
∠
BCD=90°< br>？若存在，请求出满足条件的点
P
的坐标；若
不存在，请说明理由；
（
3
）如图②所示，过
B
作直线
l
⊥
OB
，过点
D
作
DF
⊥
l
于点
F
，< br>BD
与
OF
交于点
P
，求
的值．
二函新定义
参考答案与试题解析
一．解答题（共
10
小题）
1
．在 平面直角坐标系中，点
A
的坐标为（
m
，
n
），若点
A'
（
m
，
n'
）的纵坐标满足
n'=
则称点< br>A′
是点
A
的
“
绝对点
”
．
（
1
）点（
3
，
2
）的
“
绝对点”
的坐标为
（
3
，
1
）
．
（
2
）点
P
是函数
y=4x
﹣
1
的图象上的一点，点
P′
是点
P
的
“
绝对点
”
．若点
P
与点
P′
重合，求点
P
的
坐标．
（
3
）点
Q
（
a< br>，
b
）的
“
绝对点
”Q′
是函数
y=2x< br>2
的图象上的一点．当
0
≤
a
≤
2
时，求线 段
QQ′
的最大值．
，
【分析】
（
1
）根据
“
绝对点
”
的定义求解可得；
（
2
）设点P
的坐标为（
m
，
n
）．若
m
≥
n< br>，则
P′
的坐标为（
m
，
m
﹣
n
） ，根据
P
与
P′
重合知
n=m
﹣
n
，由< br>4m
﹣
1=n
求得
m
、
n
的值可得；若m
＜
n
，同上的方法即可得出结论；
（
3
） 当
a
≥
b
时，
Q′
的坐标为（
a
，
a
﹣
b
），由
Q′
是函数
y=2x
2
的 图象上一点知
a
﹣
b=2a
2
，即
b=a
﹣
2a
2
．可得
QQ′=
|
a
﹣
b
﹣< br>b
|
=
|
a
﹣
2
（
a
﹣< br>2a
2
）
|
=
|
4a
2
﹣
a
|
，利用二次函数的图象和性质求出其最大值；当
a
＜
b
时，
Q′
的坐标为（
a
，
b
﹣
a
），知< br>QQ′=
|
b
﹣
b
+
a
|
=
|
a
|
，显然可得其最值．
【解答】
解：（
1
）∵
3
＞
2
，
∴点（
3
，
2
）的
“
绝对点
”
的 纵坐标为
3
﹣
2=1
，
则点（
3
，2
）的
“
绝对点
”
的坐标为（
3
，
1
），
故答案为：（
3
，
1
）．
（
2
）设点
P
的坐标为（
m
，
n
）．
当
m
≥
n
时，
P′< br>的坐标为（
m
，
m
﹣
n
）．
若< br>P
与
P′
重合，则
n=m
﹣
n
，
∵点
P
是函数
y=4x
﹣
1
的图象上的一点，
∴
4m
﹣
1=n
，
∴
n=
．
即
P
的坐标为（
，
）．
当
m
＜
n
时，
P′
的坐标为（
m
，
n
﹣
m
）．
若
P
与
P′
重合，则
n
﹣
m=n
∴
m=0
．
∵点
P
是函数
y=4x﹣
1
的图象上的一点，
∴
4m
﹣
1=n
，
∴
n=
﹣< br>1
，（不符合
m
＜
n
，舍）
综上所述，点
P
的坐标为（
，
）；
（
3
）当
a
≥
b
时，
Q′
的坐标为（
a
，
a
﹣
b
）．
因为
Q′
是函数
y=2x
2
的图象上一点，
所以
a
﹣
b=2a
2
．
即
b=a
﹣
2a
2
．
QQ′=
|
a
﹣
b
﹣
b
|
=
|
a
﹣
2
（
a
﹣
2a
2
）
|
=|
4a
2
﹣
a
|
，
其函数图象如图所示：
．
由图象可知，当
a=2
时，
QQ′
的最大值为
14
．
当
a
＜
b
时，
Q′
的坐标为（
a
，
b
﹣
a
）．
QQ′=
|
b
﹣
b
+
a
|
=
|
a
|
=a
．
当
a=2
时，
QQ′
的最大值为
2
．
综上所述，
Q Q′
的最大值为
14
或
2
．
【点评】
本 题二次函数的综合题，主要考查了
“
绝对点
”
的定义及二次函数的图象和性质 、两点间的距
离公式，理解新定义是解题的关键．
2
．定义：如果一条抛物线
y=ax
2
+
bx
+
c
（
a
≠
0
）与
x
轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两 个
交点为顶点的三角形称为这条抛物线的
“
直观三角形
”
．
（
1
）抛物线
y=x
2
的
“
直观三角形< br>”
是
B
．
A
．等腰三角形
B
．等边三角形
C
．直角三角形
D
．等腰直角三角形
（
2
）若抛物线
y=ax< br>2
+
2ax
﹣
3a
的
“
直观三角形
”
是直角三角形，求
a
的值；
（
3
）如图，面积 为
12
的矩形
ABCO
的对角线
OB
在
x
轴的正半轴上，
AC
与
OB
相交于点
E
，若△
AB E
是抛物线
y=ax
2
+
bx
+
c
的“
直观三角形
”
，求此抛物线的解析式．
【分析】
（
1
）先确定出抛物线与
x
轴的交点坐标和顶点坐标，进而求出AD
，
BD
，即可判断出抛物线
的
“
直观三角形
”
；
（
2
）根据抛物线的
“
直观三角形
”
是直角三角形建立方程求解即可；
（
3
）先判断出 △
ABE
是等边三角形，即可求出
AH
，
BE
，
E H
，最后用待定系数法求出抛物线解析式．
【解答】
解：（
1
）设抛 物线
y=x
2
﹣
2
∴
A
（
0
，< br>0
），
B
（
2
∴
AD=BD=2
，
AB=2
，
0
），
D
（
，
x
与
x
轴的交点坐标为
A
，
B
，顶点为
D
，< br>
，﹣
3
），
∴
AB=AD=BD
，
∴△
ABD
是等边三角形，
∴抛物线
y=x
2< br>﹣
2
故答案为：
B
；
x
对应的
“
直观三角形
”
是等边三角形，
（
2
）设抛物线
y=ax
2
+
2ax
﹣
3a
与
x
轴的交点坐标为
A
，
B
，顶点为
D
，
∴
A
（﹣
3
，
0
），B
（
1
，
0
），
D
（﹣
1
， ﹣
4a
），
∵抛物线
y=ax
2
+
2a x
﹣
3a
对应的
“
直观三角形
”
是直角三角形，< br>
∴
AB
2
=AD
2
+
BD
2，
∴
16=4
+
16a
2
+
4+
16a
2
，
∴
a=
±
；
（
3
）如图，
∵四边形
ABCD
是矩形，
∴
AE=CE=OE=BE
，
∴
S
△
A BE
=
S
矩形
ABCD
=
×
12
=3，
∵△
ABE
是抛物线的
“
直观三角形
”
，
根据抛物线的对称性得，
AE=AB
，
∴
AE=AB=BE
，
∴△
ABE
是等边三角形，
过点
A
作
AH
⊥
BE
，
∴AH=ABsin
∠
ABE=
∴
BE
2
=3
，
，
，
0
），
B
（
4
，
0
），
，
AB=
BE
，
∴
BE=2
∴
AH=3
，
EH=
∴
A（
3
，
3
），
E
（
2
设抛物线解析式 为
y=a
（
x
﹣
3
将点
E
（
2< br>）
2
+
3
，
，
0
）代入得，
a=
﹣
1
，
）
2
+
3=
﹣
x
2
+
6
x
﹣
24
．
x
﹣
24
．
∴y=
﹣（
x
﹣
3
∴过点
A
，
B
，
E
三点的抛物线的解析式
y=
﹣
x
2
+
6
【点评】
此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的
“
特征轴三角形< br>”
的特点，待定系数法，直角三
角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的面积公 式，解本题的关键是判断出△
ABE
是等边三
角形．
3
．在平面直角坐标系
xOy
中，已知抛物线
C
：
y=x
2
﹣
4x
+
4
和直线
l
：
y=kx
﹣
2k
（
k
＞
0
）．
（
1
）抛物线
C
的顶点
D
的坐标为
（
2
，
0
）
；
（
2
）请判断点
D
是否在直线
l
上，并说明理由；
（
3
）记函数
y=
的图象为
G
，点
M
（0
，
t
），过点
M
垂直于
y
轴的直线与图象< br>G
交
于点
P
（
x
1
，
y
1
），
Q
（
x
2
，
y
2
）．当1
＜
t
＜
3
时，若存在
t
使得
x1
+
x
2
=4
成立，结合图象，求
k
的取值< br>范围．
【分析】
（
1
）将抛物线解析式整理成顶 点式形式，然后写出顶点
D
的坐标即可；
（
2
）将点D
的坐标代入直线
l
的解析式判断即可；
（
3
）根据抛物线的作法作出图形，再根据等式判断出点
P
、
Q
关于直线
x=2
对称，再根据抛物线的
对称轴为直线
x=2
，从而判断出点
Q
在抛物线上，然后求出
t=1
和
3
时的临界的交点坐标，再求出< br>k
的值，写出
k
的取值范围即可．
【解答】
解：（
1
）∵
y=x
2
﹣
4x
+
4=
（
x
﹣
2
）
2
，
∴顶点
D
的坐标为（
2
，
0
）；
故答案为：（
2
，
0
）；
（
2
）点
D
在直线
l
上．
理由 如下：直线
l
的表达式为
y=kx
﹣
2k
（
k＞
0
），
∵当
x=2
时，
y=2k
﹣
2k=0
，
∴点
D
（
2
，
0
）在直线
l
上；
（
3
）如图，不妨设点
P
在点
Q
的左侧，
由题意知：要使得
x
1
+
x
2
=4
成立， 即是要求点
P
与点
Q
关于直线
x=2
对称，
又∵函数
y=x
2
﹣
4x
+
4
的图象关于直线
x=2
对称，
∴当
1
＜
t
＜
3
时，若存在
t
使得
x
1
+
x
2
=4
成立，
即要求点
Q
在
y=x
2
﹣4x
+
4
（
x
＞
2
，
1
＜< br>y
＜
3
）
的图象上，
根据图象，临界位置为射线
y= kx
﹣
2k
（
k
＞
0
）过
y=x
2
﹣
4x
+
4
（
x
＞
2
）与y=1
的交点
A
（
3
，
1
）处，
< br>以及射线
y=kx
﹣
2k
（
k
＞
0
）过
y=x
2
﹣
4x
+
4
（
x
＞
2
）与
y=3
的交点
B
（
2
+
此 时，
k=1
以及
k=
，
．
，
3
）处，
故
k
的取值范围是
1
＜
k
＜
【 点评】
本题是二次函数综合题型，
主要利用了二次函数的顶点坐标的求解，
一次函数图 象上点的坐
标特征，二次函数的对称性，难点在于判断出两点关于对称轴
x=2
对称．
4
．设
a
，
b
是任意两个 不等实数，我们规定：满足不等式
a
≤
x
≤
b
的实数
x
的所有取值的全体叫做闭
区间，表示为
[
a
，
b
]
．对于一个函数，如果它的自变量
x
与函数值
y
满足：当
m
≤
x
≤
n
时，有
m
≤
y
≤< br>n
，我们就称此函数是闭区间
[
m
，
n
]
上 的
“
闭函数
”
．如函数
y=
﹣
x
+
4
，当
x=1
时，
y=3
；当
x=3
时，
y=1
，即当
1
≤
x
≤
3
时，恒有
1< br>≤
y
≤
3
，所以说函数
y=
﹣
x
+
4
是闭区间
[
1
，
3
]
上的
“< br>闭函数
”
，同理函数
y=x
也是闭区间
[
1
，
3
]
上的
“
闭函数
”
．
（< br>1
）反比例函数
y=
是闭区间
[
1
，
201 8
]
上的
“
闭函数
”
吗？请判断并说明理由；
< br>（
2
）如果已知二次函数
y=x
2
﹣
4x
+
k
是闭区间
[
2
，
t
]
上的
“< br>闭函数
”
，求
k
和
t
的值；
（< br>3
）如果（
2
）所述的二次函数的图象交
y
轴于
C< br>点，
A
为此二次函数图象的顶点，
B
为直线
x=1
上
的一点，当△
ABC
为直角三角形时，写出点
B
的坐标．
【分析】
（
1
）
由
k
＞
0可知反比例函数
y=
2016
]
上
y
随
x的增大而减小，
在闭区间
[
1
，
然后将
x=1
，
x=2018
别代入反比例解析式的解析式，从而可求得
y
的范围，于是可 做出判断；
（
2
）先求得二次函数的对称轴为
x=1
，< br>a=1
＞
0
，根据二次函数的性质可知
y=x
2
﹣< br>4x
+
k
在闭区间
[
2
，
t
]上
y
随
x
的增大而增大，然后将
x=2
，
y= k
﹣
4
，
x=t
，
y=t
2
﹣
4 t
+
k
分别代入二次函数的解析式，从而
可求得
k
的值；< br>
（
3
）根据勾股定理的逆定理，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】
解：（
1
）∵
k=2018
，
∴当
1
≤
x
≤
2018
时，
y
随
x
的增大而减小．
∴当
x=1
时，
y=2018
，
x=2018
时，
y=1
．
∴
1
≤
y
≤
2108
．
∴反比 例函数
y=
（
2
）∵
x=
﹣
是闭区间
[< br>1
，
2018
]
上的
“
闭函数
”
．
=2
，
a=1
＞
0
，
∴二次 函数
y=x
2
﹣
4x
+
k
在闭区间
[2
，
t
]
上
y
随
x
的增大而增大．< br>
∵二次函数
y=x
2
﹣
2x
﹣
k
是闭区间
[
2
，
t
]
上的
“
闭函数
”
，
∴当
x=2
时，
y=k
﹣
4，
x=t
时，
y=t
2
﹣
4t
+
k< br>．
，
解得
k=6
，
t=3
，< br>t=
﹣
2
，
因为
t
＞
2
，
∴
t=2
舍去，
∴
t=3
．
（
3
）由二次函数的图象交
y
轴于
C
点，
A
为此二次函数图象的顶点，得
A
（
2
，
2），
C
（
0
，
6
）设
B
（
1
，
t
），
由勾股定理，得
AC
2
=2< br>2
+
（
2
﹣
6
）
2
，
AB
2
=
（
2
﹣
1
）
2
+
（
2
﹣
t
）
2
，
BC
2
=1
2
+
（
t
﹣
6
）
2
，
①当∠
ABC=90°
时，
AB
2
+
BC
2=AC
2
，即
（
2
﹣
1
）
2
+
（
2
﹣
t
）
2
+
（
t
﹣
6
）
2
+
1=2
2
+
（2
﹣
6
）
2
，
化简，得
t
2
﹣
8t
+
11=0
，解得
t=4
+
B< br>（
1
，
4
+
），（
1
，
4
﹣
）；
或
t=4
﹣
，
②当∠
BAC=90°
是，
AB
2
+
AC
2
=BC
2
，
即（
2
﹣
1
）
2
+（
2
﹣
t
）
2
+
2
2
+（
2
﹣
6
）
2
=1
2
+
（< br>t
﹣
6
）
2
，
化简，得
8t=12
，
解得
t=
，
B
（
1
，
），
③当∠
ACB=90°< br>时，
AC
2
+
CB
2
=AB
2
，< br>
即
2
2
+
（
2
﹣
6
）< br>2
+
1
2
+
（
t
﹣
6
）< br>2
=
（
2
﹣
1
）
2
+
（< br>2
﹣
t
）
2
，
化简，得
2t=13
，
解得
t=
B
（
1
，
，
），
），（
1
，
4
﹣
），（
1
，
），（
1
，
综上所述：当△
ABC
为直角三角形 时，点
B
的坐标（
1
，
4
+
）．
【点评】
本题考察了二次函数综合题，解（
1
）的关键是利用闭函数的定义，解（< br>2
）的关键是利用闭
函数的定义得出方程组，解（
3
）的关 键是利用勾股定理的逆定理得出方程，要分类讨论，以防遗漏．
5
．若抛 物线
L
：
y=ax
2
+
bx
+
c
（
a
，
b
，
c
是常数，
abc
≠
0
）与直线
l
都经过
y
轴上的同一点，且抛物线
L
的顶点在直线
l
上，则称次抛物线
L
与直线
l
具有
“
一带一路
”
关系，并且将直线
l
叫做抛物线
L
的
“
路
线
”
，抛物线
L
叫做直线
l
的
“
带线
”
．
（
1
）若
“路线
”l
的表达式为
y=2x
﹣
4
，它的
“< br>带线
”L
的顶点的横坐标为﹣
1
，求
“
带线
”L
的表达式；
（
2
）如果抛物线
y=mx
2< br>﹣
2mx
+
m
﹣
1
与直线
y=nx
+
1
具有
“
一带一路
”
关系，求
m
，n
的值；
（
3
）设（
2
）中的
“< br>带线
”L
与它的
“
路线
”l
在
y
轴 上的交点为
A
．已知点
P
为
“
带线
”L
上 的点，当以点
P
为圆心的圆与
“
路线
”l
相切于点
A
时，求出点
P
的坐标．