2020年中考数学二次函数压轴题专题复习 (含答案)
余年寄山水
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2021年01月18日 12:36
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2020
年中考数学二次函数压轴题专题复习
1.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y=ax
2
+bx+c
交
x轴于
A
、
B
两点，交
y
轴于点
C
（< br>0
，﹣
），
OA=1
，
OB=4
，
直线l
过点
A
，交
y
轴于点
D
，交抛物线于点E
，且满足
tan
∠
OAD=
.
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）动点
P
从点
B
出发，沿
x
轴正方形以每秒
2
个单位长度 的速度向点
A
运动，动点
Q
从点
A
出发，沿射
线< br>AE
以每秒
1
个单位长度的速度向点
E
运动，
当点< br>P
运动到点
A
时，
点
Q
也停止运动，
设运动 时间为
t
秒
.
①在
P
、
Q
的运动过程中 ，
是否存在某一时刻
t
，
使得△
ADC
与△
PQA
相似，
若存在，
求出
t
的值；
若不存在，
请说明理 由
.
②在
P
、
Q
的运动过程中，
是否存在某一时 刻
t
，
使得△
APQ
与△
CAQ
的面积之和最大？ 若存在，
求出
t
的值；
若不存在，请说明理由
.
2.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y=ax
2< br>+bx+c
交
x
轴于
A
、
B
两点（
A
在
B
的左侧），且
OA=3
，
OB=1
，
与
y
轴交于
C
（
0
，
3
），抛物线的顶 点坐标为
D
（﹣
1
，
4
）
.
（
1
）求
A
、
B
两点的坐标；
（
2
）求抛物线的解析式；
（
3
）过点
D
作直线
DE
∥
y
轴，交
x
轴于点
E，点
P
是抛物线上
B
、
D
两点间的一个动点（点
P
不与
B
、
D
两
点重合），
PA
、PB
与直线
DE
分别交于点
F
、
G
，当点P
运动时，
EF+EG
是否为定值？若是，试求出该定值；
若不是，请说 明理由
.
第
1
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页
3.
如图，二次函数
错误！未找到引用源。
的图象与
x< br>轴交于点
A
、
B
，与
y
轴交于点
C
，点
A
的坐标为（﹣
4
，
0
），
P
是抛物 线上一点（点
P
与点
A
、
B
、
C
不重合） ．
（
1
）
b=
，点
B
的坐标是
；
（
2
）
设直线
PB
与直线
AC
相交于点
M
，< br>是否存在这样的点
P
，
使得
PM
：
MB=1
：
2
？若存在求出点
P
的横坐标；
若不存在，请说明理由；
（
3
）连接
AC
、
BC
，判断∠
CAB< br>和∠
CBA
的数量关系，并说明理由．
2
4.
综合与探究：如图1
所示，直线
y=x+c
与
x
轴交于点
A
（﹣
4
，
0
），与
y
轴交于点
C
，抛物线y=
﹣
x
+bx+c
经过点
A
，
C
．
（
1
）求抛物线的解析式
（
2
）点< br>E
在抛物线的对称轴上，求
CE+OE
的最小值；
（
3
）如图
2
所示
,M
是线段
OA
上一个动点,
过点
M
垂直于
x
轴直线与直线
AC
和抛物线 分别交于点
P
、
N.
①若以
C
，
P
，< br>N
为顶点的三角形与△
APM
相似，则△
CPN
的面积为
；
②若点
P
恰好是线段
MN
的中点，点
F
是直线
AC
上一个动点，
在坐标平面内是否存 在点
D
，
使以点
D
，
F
，
P
，< br>M
为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点
D
的坐标；若不存在，请说明 理由．
第
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页
2
5.已知抛物线
y=0.5x
+bx+c
经过点
A
（﹣
2< br>，
0
），
B
（
0
、﹣
4
）与
x
轴交于另一点
C
，连接
BC
．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）如图，
P
是第一象限内抛物线上一点，且
S
△
PBO
=S
△PBC
，求证：
AP
∥
BC
；
（
3
）在抛物线上是否存在点
D
，直线
BD
交
x
轴于点
E
，使△
ABE
与以
A
，
B
，
C
，
E
中的三点为顶点的三角形
相似（不重合）？若存在，请求出点
D
的坐标；若不存在，请说明理由．
2
6.
如图，
在平面直角坐标系中，
抛物线
y= ax
+2ax
﹣
3a
（
a
＜
0
）
与
x
轴相交于
A
，
B
两点，
与
y
轴相交于点
C
，
顶点为
D
，直线
DC
与
x
轴相交于点
E
．
（
1
）当
a=
﹣
1
时，抛物线顶点
D
的坐标为
，
OE=
；
（
2
）
OE
的长是否与
a
值有关，说明你的理由；
（
3
）设 ∠
DEO=
β，
45
°≤β≤
60
°，求
a
的取值范围；
（
4
）以
DE
为斜边，在直线
D E
的左下方作等腰直角三角形
PDE
．设
P
（
m
，
n
），直接写出
n
关于
m
的函数
解析式及自变量< br>m
的取值范围．
第
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页
2
7.
如图，抛物线
y=
﹣
x
+bx+c
和直线
y=x+1
交于
A
，
B
两点，点
A
在
x
轴上，点< br>B
在直线
x=3
上，直线
x=3
与
x
轴交于 点
C
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）点
P
从点
A
出发，以每秒
错误！未找到引用源。
个单位长 度的速度沿线段
AB
向点
B
运动，点
Q
从点
C出发，以每秒
2
个单位长度的速度沿线段
CA
向点
A
运 动，点
P
，
Q
同时出发，当其中一点到达终点时，另
一个点也随之停 止运动，设运动时间为
t
秒（
t
＞
0
）．以
PQ< br>为边作矩形
PQNM
，使点
N
在直线
x=3
上．
①当
t
为何值时，矩形
PQNM
的面积最小？并求出最小面积 ；
②直接写出当
t
为何值时，恰好有矩形
PQNM
的顶点 落在抛物线上．
2
8.
如图，抛物线
y=ax
+4x+c
（
a
≠
0
）经过点
A
（﹣
1
，
0
），点
E
（
4
，
5
），与
y
轴交于点
B
，连接AB
．
（
1
）求该抛物线的解析式；
（< br>2
）将△
ABO
绕点
O
旋转，点
B
的对应点 为点
F
．
第
4
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30
页
①当点
F
落在直线
AE
上时，求点
F
的坐标和△
ABF
的面积；
②当点
F
到直线
AE
的距离为
错误！未找到引用源。
时，过 点
F
作直线
AE
的平行线与抛物线相交，请直接
写出交点坐标．
29.
如图，已知
A
（﹣
2
，
0
），
B
（
4
，
0
），抛物线
y=ax
+bx
﹣< br>1
过
A
、
B
两点，并与过
A
点的直线
y=
﹣
0.5x
﹣
1
交于点
C
．
（
1
）求抛物线解析式及对称轴；
（
2
）在抛物 线的对称轴上是否存在一点
P
，使四边形
ACPO
的周长最小？若存在，求出 点
P
的坐标，若不存
在，请说明理由；
（
3
）点
M
为
y
轴右侧抛物线上一点，过点
M
作直线
AC< br>的垂线，垂足为
N
．
问：是否存在这样的点
N
，使 以点
M
、
N
、
C
为顶点的三角形与△
AOC
相似，若存在，求出点
N
的坐标，若不
存在，请说明理由．
2
10.
如图，
在平 面直角坐标系中，
已知抛物线
y=0.5x
+1.5x
﹣
2
与
x
轴交于
A
，
B
两点
（点
A
在 点
B
的左侧）
，
与
y
轴交于点
C
，直线< br>l
经过
A
，
C
两点，连接
BC
．
（
1
）求直线
l
的解析式；
（
2
）若直线
x=m
（
m
＜
0
）与该抛物线在第三象限内交于 点
E
，与直线
l
交于点
D
，连接
OD
．当
OD
⊥
AC
时，
求线段
DE
的长；
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（
3
）取点
G
（
0
，﹣1
），连接
AG
，在第一象限内的抛物线上，是否存在点
P
，使 ∠
BAP=
∠
BCO
﹣∠
BAG
？若
存在，求出点
P
的坐标；若不存在，请说明理由．
2
11.
如图，抛物线
y=ax
+bx
﹣
5
与坐标轴交于
A
（﹣
1，
0
），
B
（
5
，
0
），
C
（
0
，﹣
5
）三点，顶点为
D
．
（
1
）请直接写出抛物线的解析式及顶点
D
的坐标；
（
2
）连接
BC
与抛物线的对称轴交于点
E
，点
P
为线段
BC
上的一个动点（点
P
不与
B
、C
两点重合），过点
P
作
PF
∥
DE
交抛物线 于点
F
，设点
P
的横坐标为
m
．
①是否 存在点
P
，使四边形
PEDF
为平行四边形？若存在，求出点
P的坐标；若不存在，说明理由．
②过点
F
作
FH
⊥< br>BC
于点
H
，求△
PFH
周长的最大值．
2
12.
如图
1
，已知 抛物线
y=
﹣
x
+bx+c
与
x
轴交于
A
（﹣
1
，
0
），
B
（
3
，
0
）两点，与
y
轴交于
C
点，点
P
是
抛 物线上在第一象限内的一个动点，且点
P
的横坐标为
t
．
（
1
）求抛物线的表达式；
（
2
）设抛物线的对 称轴为
l
，
l
与
x
轴的交点为
D
．在直线
l
上是否存在点
M
，使得四边形
CDPM
是平行四
边形？若存在，求出点
M
的坐标；若不存在，请说明理由．
（
3< br>）如图
2
，连接
BC
，
PB
，
PC
，设△
PBC
的面积为
S
．
第
6
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页
①求
S
关于
t
的函数表达式；
②求
P< br>点到直线
BC
的距离的最大值，并求出此时点
P
的坐标．
2
13.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y=ax
+bx+c
交
x
轴于
A
、
B
两点，交
y
轴于点
C
（
0
，﹣
错误！未找
到引用源。
），
OA=1
，
OB= 4
，直线
l
过点
A
，交
y
轴于点
D
，交抛物线于点
E
，且满足
tan
∠
OAD=
错误！未< br>找到引用源。
．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）动点
P
从点
B
出发，沿
x
轴正 方形以每秒
2
个单位长度的速度向点
A
运动，动点
Q
从点< br>A
出发，沿射
线
AE
以每秒
1
个单位长度的速度向点
E
运动，
当点
P
运动到点
A
时，
点
Q
也停止运动，
设运动时间为
t
秒．
①在
P< br>、
Q
的运动过程中，
是否存在某一时刻
t
，
使得△< br>ADC
与△
PQA
相似，
若存在，
求出
t
的 值；
若不存在，
请说明理由．
②在
P
、
Q
的运动过程中，
是否存在某一时刻
t
，
使得△
APQ
与△
CAQ
的面积之和最大？若存在，
求出
t
的值；
若不存在， 请说明理由．
2
14.如图，对称轴为直线
x=1
的抛物线
y=x
﹣
bx+c
与
x
轴交于
A
（
x
1
，
0
）、< br>B
（
x
2
，
0
）（
x
1
＜
x
2
）两点，与
y
轴交于
C
点，且
错误！ 未找到引用源。
．
（
1
）求抛物线的解析式；
第
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30
页
（
2
）抛物线顶点为
D
，直线
BD< br>交
y
轴于
E
点；
①设点
P
为线段
BD
上一点（点
P
不与
B
、
D
两点重合） ，过点
P
作
x
轴的垂线与抛物线交于点
F
，求△
B DF
面积的最大值；
②在线段
BD
上是否存在点
Q
，使得∠
BDC=
∠
QCE
？若存在，求出点
Q
的坐标； 若不存在，请说明理由．
2
15.如图，已知抛物线
y=ax
+bx+c
与坐标轴分别交于点
A
（
0
，
6
），
B
（
6
，
0
），
C
（﹣
2
，
0
），点
P
是线段
AB
上方抛物线上的一个动点．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）当点
P
运动到什么位置时，△
PAB
的面积有最大值？
（
3< br>）过点
P
作
x
轴的垂线，交线段
AB
于点
D
，再过点
P
做
PE
∥
x
轴交抛物线于点
E
，连结
DE
，请问是否存
在点
P
使△
PDE
为等腰直角三角形？若存在，求出点
P
的坐标；若不存在，说明理由．
2
16.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y=ax
+2x+c< br>与
x
轴交于
A
（﹣
1
，
0
）
B
（
3
，
0
）两点，与
y
轴交于
点C
，点
D
是该抛物线的顶点．
（
1
）求抛物线的解析式和直线
AC
的解析式；
（
2
）请在
y
轴上找一点
M
，使△
BDM
的周长最小，求出点
M
的坐标；
（
3
）试探究：在拋物线 上是否存在点
P
，使以点
A
，
P
，
C
为顶 点，
AC
为直角边的三角形是直角三角形？若
存在，请求出符合条件的点
P< br>的坐标；若不存在，请说明理由．
第
8
页
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页
2
17.
在平面直 角坐标系
xOy
中，抛物线
y=
﹣
0.25x
+bx+c< br>经过点
A
（﹣
2
，
0
），
B
（8
，
0
）．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）点
C
是抛物线与
y
轴的交点，连接
BC
，设点
P
是抛物 线上在第一象限内的点，
PD
⊥
BC
，垂足为点
D
．
①是否存在点
P
，使线段
PD
的长度最大？若存在，请求出点< br>P
的坐标；若不存在，请说明理由；
②当△
PDC
与△COA
相似时，求点
P
的坐标．
2
18.
如图：在平面直角坐标系中，直线
l
：
错误！未找到引用源。
与
x
轴交于点
A
，经过 点
A
的抛物线
y=ax
﹣
3x+c
的对称轴是
x= 1.5
．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）平移直线
l
经过原点
O
，得到直线
m
，点< br>P
是直线
m
上任意一点，
PB
⊥
x
轴于点< br>B
，
PC
⊥
y
轴于点
C
，
若点E
在线段
OB
上，点
F
在线段
OC
的延长线上 ，连接
PE
，
PF
，且
PE=3PF
．求证：
PE
⊥
PF
；
（
3
）若（
2
）中的 点
P
坐标为（
6
，
2
），点
E
是
x
轴上的点，点
F
是
y
轴上的点，当
PE
⊥
PF
时，抛物线上
是否存在点
Q
，使四边形
PEQF
是矩 形？如果存在，请求出点
Q
的坐标，如果不存在，请说明理由．
第
9
页
共
30
页
2
19.
如图，抛物线
y=0.5x
+bx+c
与直线y=0.5x+3
交于
A
，
B
两点，交
x
轴于
C
、
D
两点，连接
AC
、
BC
，已知A
（
0
，
3
），
C
（﹣
3
，
0
）．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）在抛物线对称轴
l
上找一点
M
，使
|MB﹣
MD|
的值最大，并求出这个最大值；
（
3
）点< br>P
为
y
轴右侧抛物线上一动点，连接
PA
，过点
P< br>作
PQ
⊥
PA
交
y
轴于点
Q
，问： 是否存在点
P
使得
以
A
，
P
，
Q
为顶点的三角形与△
ABC
相似？若存在，请求出所有符合条件的点
P
的坐标 ；若不存在，请说明
理由．
2
20.
如图，抛物线
y=x
+bx+c
与
x轴交于
A
、
B
两点，
B
点坐标为（
4
，
0
），与
y
轴交于点
C
（
0
，
4
）．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）点
P
在
x
轴下方的抛物线上，过点
P
的直线< br>y=x+m
与直线
BC
交于点
E
，与
y
轴交 于点
F
，求
PE+EF
的
最大值；
（
3
）点
D
为抛物线对称轴上一点．
第
10
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30
页
①当△
BCD
是以
BC
为直角边的直角三角形 时，直接写出点
D
的坐标；
②若△
BCD
是锐角三角形， 直接写出点
D
的纵坐标
n
的取值范围．
参考答案
1.
解：
第
11
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共
30
页
2.
解：
第
12
页
共
30
页
3.
解：
第
13
页
共
30
页
第
14
页
共
30
页
4.
解：
第
15
页
共
30
页