社区个人述职报告-先定一个小目标

2021年1月18日发(作者：和成忠)
运算定律



第
2
节

乘法运算定律

【知识梳理】

1.
运算定律的发现及验证

在实际的计算中，
当我们对一个算式进 行变形的时候，
如交换算式中某两个数字的位置或者
给算式添上或去掉括号，
这时不影 响算式的结果我们就可以提炼出一个通用的运算规律，
从
而使计算更加简便。我们称这样的规律 为运算定律。

2.
用字母表示运算定律

在数学中通常用字母表示 运算定律，
通常用小写字母
a
，
b
，
c
等代表代表 算式中的数字，用
字母表示运算定律能够达到更直观的效果。

3.
乘法交换律

两个因数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示乘法 交换律：如果用
a
、
b
分别代表
一个因数，那么乘法交换律就可以表 示为：
a
×
b=b
×
a
。

4.
乘法结合律

三个数相乘，
如果后两个数相乘能使计算简便一些 ，
就先把后两个数相乘，
再与第一个数相
乘积不变。用字母表示为（
a
×
b
）×
c=a
×（
b
×
c
）

5.
乘法分配律

两个数的和与一个数相乘，可以先把他们与这个数分别相乘再相加。用字母表示为：

（
a+b
）×
c=a
×
c+b
×
c 当我们遇到求两个积的和，
而这两个积中正好有相同的因数时，
我们就可以运用乘法分配律 ，
用相同的因数乘其他两个数的和。








1
【诊断自测】

一、乘法交换律和乘法结合律

1.
填空

（
1< br>）
4
×
25=25
×
4
，也就是说交换两个因数的位 置后，积（

）
，这叫（

）
，可以用字
母表示为（

）

（
2
）（
25
×
5
）×
2=
（
）
、
25
×（
5
×
2
）
=
（

）
，所以（
25
×
5
）×
2=2 5
×（
5
×
2
）
，
像这样三个数连乘时先把前两个 数相乘，或者先乘后两个数积不变这叫乘法
( )
，用字
母表示为（

）
。

（
3
）交换两个因数的位置（

）不变，这叫乘法（

）
，用字母表示为（

）
。

（
4
）三个数相乘时，
先把前两个数相乘，
或者先把后两个数相乘，
积不变，
这叫做乘法
（

）
，
用字母表示为（

）
。


2.
根据乘法运算定律在，

里填入适当的数。

（
1
）
15
×
16=16
×

（
2
）
25
×
7
×
4=
×

×
7
（
3
）

（
60
×
25
）×
=60
×（

×
8
）

（
4
）
125
×（
8
×

）
=
（
125
×

）×
14
（
5
）
3
×
4
×
8
×
5=
（
3
×
4
）×（

×

）


3.
应用题

学校有教学楼
4层，每层有
7
间教室，每间教室要配
25
套双人桌椅，学校一共需要购进 多
少套双人桌椅？


二、乘法分配率

1.
用竖式计算

105
×
24





2



28
×
35




108
×
15
2.
观察算式并填空

（
4+2
）×
25
=6
×
25

=150












4
×
25+2
×
25
=100+50
=50
计算后发现：
（
4+2
）×
25
和
4
×
2 5+2
×
25
的结果是（

）
，也就是说两个数的和 与一
个数相乘，可以先把他们与这个数分别相乘，再把结果相（

）
，这叫乘法分配律，用字
母可以表示为（

）
。


3.
判断正误，正确画“
√
”
，错误画“×”

56
×（
19+28
）
=56
×
19+28
（

）

32
×（
7
×
3
）
=32
×
7+32
×
3
（

）

64
×
64+36
×
64=
（
64+36
）×
64
（

）


4.
用乘法分配律计算



16
×
27
＋
73
×
16 47
×
15
＋
33
×
15



【考点突破】

类型一
:
加法交换律


例
1.
同学们参加植树活动，参加植树的一共
25
个小组 ，每个小组中
4
人负责挖坑种树，负
责挖坑种树的一共多少人？


答案
:
25
×
4=100(
人
)
或
4
×
25=100
（人）

解析：

根据已知条件有
25
个小组，每个小组里有
4
人挖坑种树，求负责挖 坑种树的一共多少
人，也就是求
25
个
4
是多少，用乘法计算，列式 可发现
25
×
4=4
×
25
，交换因数的位置乘
积 不变，这是乘法交换律。




3
例
2.
计算

4
×
123
×
25
答案：

4
×
123
×
25
=4
×
25
×
123
=100
×
123
=12300
解析：

如果我们按照四则混合运算的运算顺序去计算这道题 ，
是比较麻烦的，
不妨认真观察一
下这道题中的数字的特点，会发现
4和
25
相乘是
100
，这样就会使我们的计算变得简便许
多，所 以我们可以利用乘法交换律交换
123
和
25
的位置，先计算
4×
25
再乘
123.

类型二：乘法结合律

例
3.
同学们参加植树活动，参加植树的一共有
25
个小组，每组要种5
棵树，每棵树要浇
2
桶水。一共要浇多少桶水？

答案：

解法一：
25
×
5
×
2=125
×
2=250
（桶）

答：一共要浇
250
桶水。

解法二：
25
×（< br>5
×
2
）
=25
×
10=250
（桶）
答：一共要浇
250
桶水。

解析：

如果 是先求一共植多少棵树在求一共浇多少桶水，
则选用方法一，
25
×
5=12 5
（棵）
，
125
×
2=250
（桶）
；如果是先 求每组要浇多少桶水，再求一共要浇多少桶水，则选用方法二，

5
×
2=1 0
（桶）
，
25
×
10=250
（桶）
。

相比之下，方法二比方法一计算要简便一些。


例
4.
计算

4
×
6
×
25
×
7
=4
×
25
×
6
×
7
=
（4
×
25
）×（
6
×
7
）



4
=100
×
42
=4200

类型三：乘法分配律

例
5.
同学们参加植树活动，一共
2 5
个小组，每组里
4
个人负责挖坑种树，
2
个人负责抬水
浇 树，一共有多少名同学参加了这次植树活动？

答案：

解法一：
（
4+2
）×
25=6
×
25=150
（人）


答：一共
150
人参加了此次植树活动。

解法二：< br>4
×
25+2
×
25=100+50=150
（人）


答：一共有
150
人参加了此次植树活动。

解析：

如果先求出每组多少人再求出植树活动的总人数，可选用第一种方法，
4+2=6
（人）
，
6
×
25=150
（人）
。

如果先求出挖坑种树的有多少人，
再求出抬水浇树的有多少人，
最后求出总 人数，
则选
用第二种方法，
4
×
25=100
（人）
，
2
×
25=50
（人）
，
100+50=150
（人）
。

相比之下，第二种方法的计算比较简便。


例
6.
计算

36
×
68+68
×
64

答案：

36
×
68+68
×
64

=
（
36+64
）×
68

=100
×
68
=6800

解析：

在计算之前首先要观察题目的特点，然后运用运算律达到简便运算的目的。第一题中，
68
是 相同的因数，
36
和
64
相加能凑整百，所用乘法分配律将原式写为“
（
36+64
）×
68
”

在第二题中，
40< br>×
25
和
4
×
25
都能凑出整百整千，所以利用乘法 分配律将原式改写为

5



25
×（
4+40
）













25
×（
4+40
）

=25
×
4+25
×
40
=100=1000
=1100




“
25
×
4+25
×
40
”




类型四：运算律的综合运用及知识延伸


例
7.
计算

86
×
18+12
×
21
答案：


86
×
18+12
×
21
=86
×
18+6
×
2
×
3
×
7
=86
×
18+
（
6
×
3
）×（
2
×
7
）

=86
×
18+18
×
14
=18
×（
86+14
）

=18
×
100
=1800
解析：

把
12
分解成
2
×
6
，把
21
分解成
3< br>×
7
，利用结合律得到
14
×
18
，这样就出现了相 同因
数，再利用分配律求解。


例
8.
计算

56
×
54

答案：

56
×
54=
（
5+1
）×
5
×
100+6
×
4 =3024
36
×
76=
（
7
×
3+6
）×
100+6
×
6=2736
解析：

观察算式“56
×
54
”不难发现，在这个两位数乘以两位数的算式中，
56
和
54
的十位上
的数字都是
5
，
个位上的数字虽然不同< br>,
但是相加得
10
，
我们把这种情况叫做
“头同尾合十”< br>，
通常情况下，这样的算式的计算技巧是，用十位数字乘以它加一的和，如
5
× （
5+1
）
=30
，
让“
30
”站千位和百位；用 个位上的数字相乘，如“
6
×
4=24
”
，让“
24
”占十位和个位，这
样得数就是“
3024
”
。

观察算 式“
36
×
76
”不难发现，在这个算式中，
36
和
76
两个数个位数字相同，十位数
字相加得十，
这就是
“尾同头合十”的情况，
这种情况下，
用十位数字相乘再加上各位数字，


6


36
×
76
得数占千位和百位，如“
7×
3+6=27
”
，
“
27
”占得数的千位和百位；用 个位数的平方占得数
的个位和十位，如“
6
×
6=36
”
，
“
36
”占得数的个位和十位，所以得数为“
2736
”
。


例
9.
老师让同学们做游戏，四个同学每人一个数字卡，四个数 字的乘积是
100000
，你知道
赵冬拿的数字卡片是多少吗？



25



125


张兵





赵冬



8

杨兰


李华

答案：

25
×
4=100
答：赵冬拿的数字卡片上的数字是
4.
解析：

在已知的三个数中 ，
125
×
8=1000
，则剩下的
25
应该和一个数相乘 得
100
，这样才能够
得到
1000
×
100=10000 0
。


例
10.
在

里填上适当的数

167
×
2+167
×
3+16 7
×
5=167
×

28
×
225-2
×
225-6
×
225=
×
225
39
×
8+6
×
39-39
×
4=
×

答案：

167
×
2+167
×3+167
×
5=167
×
10
28
×
225-2
×
225-6
×
225= 20
×
225
39
×
8+6
×
39-39
×
4= 39
×
10
解析：
乘法分配律不仅可以表示两个数之和与一个数相乘，
还可以表示多个数的和或差与一
个数相乘，其字母表示可以拓展为：
a
×b
±
a
×
c
±
a
×
d=a
× （
b
±
c
±
d
）
，题中左边的式子
可以转 化为
167
×（
2+3+5
）
、
（
28-2-6< br>）×
225
、
39
×（
8+6-4
）
。
【易错精选】

1
．填空

125
×
18
×
8
＝（

）×（

）×（

）



7
40
×
15
×
25
×
6
＝（

）×（

）×（

）×（

）

58
×
14
＋
42
×
14< br>＝（
（

）＋（

）
）×
14
133
×
99
＋
133
＝（
（

）＋（

）
）×（

）

2 8
×
52
－
28
×
2
＝（
（

）－（

）
）×（

）

4 5
×
20
－
45
×
4
＝
45
×（
（

）－（

）
）

73
×
201
－
73
＝（
（

）－（

）
）×（

）


2.
用简便方法计算

(180
＋
80)
×
25
25
×
32 36
×
99 265
×
99
＋
265
125
×
25
×
32 101
×
87 72
×
125

3.
应用题
（
1
）修一段公路，甲队每天修
240
米，乙队每天修的比甲队少
60
米，两队合修
25
天，共
修多少米？



（
2
）一捆电线长
800
米，第一次用去
120
米 ，第二次用去的是第一次的
3
倍，还剩下多少
米
?

< br>（
3
）师徒二人共同加工一批机器零件，师傅每小时加工
52
个，徒弟 每小时加工

50
个，
两人同时开始工作，
8
小时后共加工 多少个零件？（两种方法解答）

【精华提炼】

知识点一
：
乘法交换律

（
1
）计算时要观察算式 中有没有相乘等于整十整百的数，运用交换律，先计算这些相乘能


8
等于整十整百的数，会使计算变得更简便

（
2
）“头同尾合十”与“尾同头合十”

例如：
56×
54
，为头同尾合十的情况，计算时可以写为：

56
×< br>54=
（
5+1
）×
100+
（
6
×
4
）
=3024
65
×
45
，为尾同头合十的情况，计算时可写为：

6 5
×
45=
（
6
×
4+5
）×
100+5
×
5=2925
知识点二：乘法结合律

（
1
） 乘法结合律的字母表示为：
（
a
×
b
）×
c=a
× （
b
×
c
）

（
2
）乘法交换律和乘法结 合律不限于两个或三个因数相乘，只要是连乘的形式，三个以上
的因数也可以用乘法交换律和乘法结合律 。


知识点三：常用的特殊值

（
1
）
像
125
×
8=1000
和
25
×
4=100,5 0
×
2=100
，
25
×
8=200
这样的运算在 简便运算中经常用
到，需要熟记。

知识点四：乘法分配律

（1
）巧解简便运算的关键在于活用运算律，需要注意的是乘法分配律中只强调了两数之和
乘 以一个数的情况，
其实两数之差乘以一个数的时候也会发生类似的情况，
如
（
40-4
）
×
25=40
×
25-4
×
25=10 00-100=900
，用字母表示为：
（
a-b
）×
c=a
×
c-b
×
c
（
2
）因为乘法具有交换律，所以两数之 和乘以一个数和一个数乘以两数之和的结果是一样
的，所以有：
（
a+b
）×
c=c
×（
a+b
）
=a
×
c+b
×c
，两数之差的情况也类似。







【本节训练】

1
．判断正误正确画“
√
”
，错误画“×”

1
）
35
×
16
＝
35
×
2
×
8
（

）

2
）
102
×
49
＝
100
×
49
＋
2
（

）



9

社区个人述职报告-先定一个小目标

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