必胜策略,围棋之道
巡山小妖精
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2021年01月18日 14:47
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必胜策略，围棋之道
在职业围棋圈，一部分棋手自称“求道派”。“道”者，
终极真理是也。与“棋道” 如影随形，“围棋上帝”、“围棋之神”
也是棋手和棋迷常挂在嘴边的两个概念。在上一章节我们讲到，围棋之多变如恒河沙数，非人力所能及。思及此，棋迷
朋友可能会诘问，围棋的终极真理是否存 在，“围棋上帝”到
底会怎样下棋。笔者将在本文解答这两个问题。
（本文部分
内容参 考了笔者的其它回答）
1
、小学生的游戏
围棋，终究 还是个游戏。欲知围棋之
道，我们可以先从研究一个简单的游戏入手。抢三十，一个
酒桌上的小 游戏，
也是一道小学奥数题。
它的规则是这样的：
甲和乙从1
开始轮流报数，每次可以报
1
、
2
或
3
个数 。比
如甲报
1,2
；乙报
3,4,5
，甲报
6
，乙 报
7,8.
报出“30”这个数
字的玩家获胜。
抢三 十的诀窍，说来也不难，只需用到
一点逆向思维。如果甲想抢到
30
，一定不能以29
收尾，否
则乙下回合可以直接抢到
30
。同理，甲也不能以
28
或
27
收尾，不然乙也能直接抢到
30.
不过，若是甲以
26
收尾，
则乙在下一回合必然抢不到
30. 不仅如此，
乙下一回合必然
以
27,28,29
三者之一收尾。
这样一来，
轮到甲的时候，
甲必
然能抢到
30.
因此，甲抢到26
就可以保证获胜。同理，想
要抢到
26
，甲必须抢到
22< br>、
18
、
14
、
10
、
6
、
2.
我们以下
图示意：
以红色的
30
为最 终目标，
橙色的
26
、
22
等数
是兵家必争之地，而白色的
27
、
28
、
29
等数，只能过站，
不可以停留。
甲玩家只需一路占领
2
、
6
、
10
、
14
、
18
、
22
、
26
这一串等差数列，即可将胜利 收入囊中。
小结一下。抢
三十这个游戏，先手方（即先报数的甲玩家）有必胜策略，
而且可以用数学语言精确地描述：先手方先报
1,2
；之后，
若后手方报n
个数（
n=1,2
或
3
）
，则先手方立即回以
4-n
个
数。
最终，
先手方总能抢到
30.
在博弈论
（
Game Theory
）
中，
数学家把像22
、
26
这些游戏中的“兵家必争之地”，
称作
必胜局面（< br>Winning Position
）
。换句话说，抢到必胜局面的
一方，即可 稳操胜券。相应的，像
27,28,29
这样的节点，在
此停留就会失败，被称为必败 局面
（
Losing Position
）
.
这个策略说来容易，
却隐藏着许多变化。
举个例子。
甲报
1,2
，
乙报
3,4
；这是一个回合。每一个回合，甲都会占领一个新
的必胜节点。七个回合结束以后，甲才能抢到
30.
每一个回
合中，乙可以报一个 、两个或三个数，各有三种选择。根据
乘法原理，六个回合中，乙共有
3*3*3*3*3*3 *3=3^7=2187
种策略的组合。只不过，乙的变化再多，也逃不出甲的手掌
心。
那么，如果甲和乙抢的不是三十，而是每次可以报
1-299
个数字， 报出
1,000,000
者为胜呢？依样画葫芦，我
们仍可以为先手方找到必胜策略： 先手方只需先报
100
。然
后，若后手方报
n
个数（
n=1 ,2,...,299
）
，先手方立即回以
300-n
个数。先手方总能抢到
100,400,700,1000,...999700,1000000
这一串数，
即“必胜节
点”，从而获胜。
我们来看这一套必胜策略包含的变化。< br>后手方每次有
299
种选择，先手方每次也只有一种回应。
3330
个 回合之后，先手方就能获胜。因此，总变化数是
299^3330
。数字虽大，终究有限。因此 ，这个无聊的游戏，
就算是上帝来和笔者玩，只要笔者拿到先手，就输不出去。
这就是抢三十这 类游戏的“终极真理”了。
2
、完全信息游戏与策梅洛定理
< br>抢三十这一类游戏，我
们能够运筹帷幄、立于不败之地的关键是，我们知道对手所
有可能 的选择，
我们了解游戏中所有的信息。
像这样的游戏，
我们称之为完全信息游戏
(Perfect Information Game)
【反
例：斗地主不是 完全信息游戏，因为看不到对手的牌】
。另
一方面，抢三十也是一个有限游戏（
Fin ite Game
）
，即它总
是在有限个回合内完成。对于所有的完全信息有限游戏， 我
们都可以画出它们的游戏树
（
Game Tree
）
。 就像图论中的
树一样，一个完整的游戏树包含有一个起始节点，代表游戏
中某一个局面，接着下 一层的子节点是原来父节点局面下一
步的各种可能性，以此类推。游戏树逐层扩展，直到游戏结
束。
上图是抢三十游戏树的一部分。
19
这个节点只与
20
、
21
、
22
这三个节点连接，意味着若甲报出
19< br>，则乙只
能报到
20
、
21
或
22.
其它节点间的连接关系同理。
抢
三十游戏相对简单，在于它只有 一个终局局面，或者说游戏
树的末端节点，
也就是
30
。
我们很容易 从这唯一的最终节点
逆推出必胜策略。但是对于拥有不止一个终局局面的游戏，
推理最优策略就 不那么容易。这时，就轮到游戏树出场亮相
了。接下来，我们再介绍一个游戏为例。
井字棋
(Tic-Tac-Toe)
，又称
XO
棋，是一 种简单的棋。对局双方轮
流在
3x3
的棋盘上落子，在横、竖或对角线方向上连成三个
的一方获胜。
如下图，
是从空枰开始的井字棋游戏树。
如
果能完整地画出一个游戏的游戏树，那么我们就像掌握了抢
三十的秘笈一样，只需按图索骥。 比如说，对于井字棋游戏
的一个残局，下图的游戏树给出了双方所有的应对可能性。
此残局的初始局面，由画“X”一方先行。
X
方有三种选择，而
每一种选择下 ，
O
方也有两种应对。标有蓝色分数的棋局是
终局节点，
+1
表示< br>X
方获胜，
-1
表示
O
方获胜，
0
表示平< br>局。很明显，
X
方不能选择棋盘右边的两个点，否则
O
方可
以 一击绝杀。因此，
X
方只能走在棋盘左边。这样一来，即
使
O
方选择 正确，
X
方也能保证平局。
游戏树第二层和第三
层的部分节点标有黑色数字。 这些节点并非终局，但我们可
以简单推理出双方都走对情况下的棋局结果，
标上
+1< br>，
-1
或
0
。同理，我们可以逐层往上标记，直到残局的初始局面，< br>也就是游戏树的起始节点。图中，起始节点的值是
0
，因此
我们得到结论，此残 局若双方应对无误，结果是平局；
X
方
应走在棋盘左中的一点。
井字棋完整游 戏树，
来自
Wikipedia
更进一步，如果我们画出井字棋的完整游戏树（如上 图）
，
我们就可以用同样的方法，逆推出游戏树中每一个节点最终
会走向何种结果，最 终推出双方的最优策略，以及在最优策
略下谁胜谁负。事实上，如果从空枰开局，双方不犯错的情
况下，井字棋会以平局收场。
所有的二人完全信息有限游
戏，如果没有运气成分（ 例如飞行棋掷骰子）
，在理论上我
们都可以用同样的方法，画出游戏树，从结果逆推到开局。< br>数学家恩斯特·策梅洛（
Ernst Zermelo
）将这个结果总结为
策梅洛定理（
Zermelo's Theorem
）
，表述如下：
若二人
完全信息有限游 戏不涉及随机成分，则要么先行方有必胜策
略，
要么后行方有必胜策略，
要么双方均拥 有必不败策略
（即
若双方都不犯错，游戏将会是平局）
。
策梅洛定理的严
格证明，其实和前文井字棋部分所述类似。在确定游戏树之
后，
从所 有终局局面出发，
可以推断出任意局面的胜负性
（即
此局面何方有必胜策略，或者双方 均有不败策略）
，直至初
始局面。在数学上，这种推理的方法，被称为反向数学归纳
法
（
Backward Induction
）
。
策梅洛定理适用于大部分为
人熟知的棋类游戏，比如国际象棋、五子棋、黑白棋、西洋
跳棋等 ，但不适用于涉及运气成分的飞行棋，也不适用于多
方混战的中国跳棋。
3
、围棋，有 限游戏？
读到这里，
性急的读者可能已经脱口而出，
“那么，
围棋当然也适用策梅
洛定理，
一定存在某一方的必胜策略嘛”。
且慢 。
围棋确实符
合“二人”、“完全信息”、“无随机因素”这三个特点，但“有限”
这 个性质，我们暂时还得打个问号。
有记载的职业棋局，
最长手数记录是
41 4
手（林修平
VS
陈禧一）
，超过了围棋
盘交叉点的总数
3 61
个。但这并不是一局围棋长度的上限。
能够无限进行下去的棋局，其实在职业比赛中已经出 现过多
次。
比如下图，
古力和李世乭在
2012
年三星杯
3 2
强双败淘
汰赛首轮的一局。
由于棋盘右方罕见的四劫循环，本局被
判“无胜负”，双方重赛。注意，本局的结果是“无胜负”，而不
是和棋（平局）
。“无胜负 ”隐含的意思是，这盘棋可以无限进
行下去。在规则没有禁止的情况下，黑白双方将反复提四个
劫，循环往复。
对应到围棋的游戏树中，多劫循环是一种
循环
(loop)
结构。
比如，
在上图中，
节点
1-2-5
和节点
2-3-4-5< br>分别构成循环。
循环使得策梅洛定理中的反向归纳法失效，不适用于有循环
的游戏。好在 ，现行中国围棋规则在原则上禁止多劫循环，
也包括长生等其他特殊的循环棋型。中国围棋竞赛规则（
2002
年版）第一章
总则第
6
条
禁止全局同形着子后不
得使对方重复面临曾出现过的局面。
本条规则有时简称“禁全
同（
SuperKo
）”或“禁同形”。在部分比赛中，禁全同规则并
未得到严格执 行。本章节剩余的部分，我们仍基于严格的禁
全同规则来讨论。在严格禁同的情况下，循环不复存在。即