专题17 路线问题
余年寄山水
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2021年01月18日 19:24
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专题
17
路线问题
[
读一读
]
回家的路线不只一条
国外有句名言，叫“条条大路通罗马”
，用我们的话来 “翻译”
，可以说成：
“条条大路
通北京”
。
这句话告诉 我们，
只要我们坚持不懈地走下去，
通向成功的路不止一条，
就象骑车去北
京 也是一种走法一样。
不是吗？好好想想，你从家走到学校的路肯定不只有一条。
数学中研究的路线问题，关键在不遗漏不重复地找到所有情形。
[
想一想
]
例
1
从学校到车站有
2
条路可走，从车站到家里有
1
条路可走，从学校到车站乘车回
家，有几种不同 的走法？
起点相同，终点相同，但经过的地方不同，就是不同的路线。
[
剖析
]
可以把题中表述的方法用图表示出来：
由图可看出，
从学校出发可以走①号线到车站再走③号线到家；
也可以走② 号线到车站
再走③号线回家。
[
解
]
从学校回家，有两种不同的走法：①→③，或②→③。
[
练一练
]
1
、小红从家到敬老院有
2
条路可走 ，从敬老院到公园也有
2
条路可走，小红从家到公
园有几种走法？
2
、小英从家到书店有
2
条路可走，从书店到电影院有
3
条路可走， 从家到书店再到电
影院，有几种不同的走法？
[
解
]1
、
有
4
种走法①→③，②→③，①→④，②→④
2
、有6
种不同的走法：①→③，①→④，①→⑤，②→③，②→④，②→⑤。
例
2
从小华家到学校有三条路可走，从学校到红领巾公园有
2< br>条路可走，从小华家经
过学校到红领巾公园，有几种不同的走法？
走的过程中，
有不同的路径就是不同的走法，
本题不能认为不同的走法为
3+2
＝
5
（种）
。
[
剖析
]
示意图如下，分别给不同的路径标号。
由图可知，
从小华家出发，如果先走①号线到学校，到校后可走④号线，或走⑤号线到
公园， 这样就有两种走法。如果先走②号线到学校后，仍有④号、⑤号线这两种走法。如果
先走③号线到学校后 ，还是有两种走法。这样一共有
2+2+2
＝
6
（种）不同的走法。
不同的走法有：
[
解
]
①→④，②→④，③→④，①→⑤ ，②→⑤，③→⑤共
6
种。
[
练一练
]
1、从公园到城堡有
2
条路，从城堡到森林动物园有
4
条路，从公园到森林 动物园有几
种走法？
2
、从甲地到乙地有
3
条 路，从乙地到丙地有
4
条路，从甲地到乙地再到丙地有几种走
法？
[
解
]1
、共有
8
种线路：
①→⑥，①→⑤，①→④，①→③，②→⑥，②→⑤，②→④，②→③
2
、
有
12
种不同的走法：①→④，①→⑤，①→⑥，① →⑦，②→④，②→⑤，②→⑥，
②→⑦，③→④，③→⑤，③→⑥，③→⑦。
[< br>列
3]
一只蚂蚁从“
1
”处爬到“
4
”处（只能向上 或向右行走）
，有几种不同走法？
这表明走的时候不能往回走，而由图知，
“
1
”处出来有两条线，表明从“
1
”出发有两
种走法。
[
剖析
]
根据只能向上、向右行走，可以这样想：蚂蚁从“
1
”处出发如果先爬到“
2
”处，
再从“
2
”处可以经过 “
3
”处到“
4
”处，也可以经过“
5
”处到“
4
”处，这样有两种走法；
如果蚂蚁从“
1
”处出发先爬到“
6
”处，那么只能经过“
5
”处到达“
4
”处，有一种走法。
这样一 共有
2+1
＝
3
（种）不同走法。
[
解
]1
→
2
→
3
→
4
，
1
→
2
→
5
→
4
，
1
→
6
→
5
→
4
共
3
种
[
练一练
]
1
、小蜗牛从“
1
”处爬到“
6
”处（只能向上、向右爬行 ）
，有几种不同走法？
2
、
公园前门到后门只有这样几 条汽车行驶路线
（如图所示）
，
一汽车从前门到后门共有
几种不同的走法？< br>
[
解
]1
、小蜗牛从“
1
”处爬到“< br>6
”处，共有
3
种不同路线。
①→③→⑤→⑥，①→③→④→⑥，①→②→④→⑥
2
、汽车从前门到后门共有
6
种走法。
[
例4]
班上举行羽毛球对手赛，每一组推选一名代表共四名队员，每个人都和另外三人
赛一场 ，这样一共要打几场比赛？
按这个规则，甲、乙两人进行羽毛球比赛只赛
1
场，而如果是甲、乙两人互赠贺卡
则不同，此时共赠送
2
张贺卡
[
剖析
]
不妨用①、②、③、④来表示四个同学，先考虑①号同学，由于每个人都要和另
外三个人赛一 场，
那么①号同学就要和②号、
③号、
④号同学各赛一场，
这样要打
3
场比赛，
再考虑②号同学，他已经与①号赛过，只要再和③号、④号各赛一场，这样要打2
场比赛，
同样，③号同学还要和④号同学赛一场。
[
解
]
①→②
①→③
①→④
②→③
②→④
③→④
这样一共要打
3+2+1
＝
6
（场）乒乓球赛。
[
点拨
]
在类似的规则下，球类比赛（如乒乓球等）
，握手等的总数与相互寄 信、赠书等
的总数并不相同。
[
练一练
]
1
、 北京举行校园杯大学生足球友谊比赛，共有五个队参赛，每队都要和另外四个队赛
一场，这样一共要踢几 场足球赛？
2
、四个小伙伴在新年来临之前互相赠送贺年卡，这样一共要送出多少张贺年卡？
< br>[
解
]1
、用①②③④⑤表示五个队，一共要踢
10
场足球赛 ，即：
①→②
①→③
①→④
①→⑤
②→③
②→④
②→⑤
③→④
③→⑤
④→⑤
2
、一共要送出
12
张贺年卡。
例
5
一辆客车往返于南京、上海、杭州三地，请问，车站要为这辆客车准备多少种不
同的车票供旅客 选择？
车票不仅要考虑旅程的长短，
还要考虑起点与终点，
从南京→上海与上海→南
京，票价相同，但起点不同，车票就不同。
[
剖析
]< br>先考虑从南京出发的旅客需要几种不同的车票：①南京→上海，②南京→杭州。
再考虑从上海出发 的旅客，只需要上海→杭州的车票。
但因为条件中说这辆客车是往返于南京、
上海、
杭州三地，
也就是说不但要从南京→上
海→杭州，而且还要从杭州→上海→南京。
因此还要考虑从杭州出发的旅客需要①杭州→上海
②杭州→南京两种车票。
从上海出
发的旅客需要→南京一种车票。
[
解
]
汽车站要为这辆客车准备
6
种不同的车票供旅客选择。