秋天风景图片-八下英语单词

2021年1月18日发(作者：羊固)

2018
年
04
月
27
日沐木数学
-< br>路径问题



一．选择题（共
23
小题）

1
．
如图，
边长为
2
的正方形
ABCD
的 顶点
A
、
B
在一个半径为
2
的圆上，
顶点
C
、
D
在圆内，将正方形
ABCD
沿圆的内壁作无滑动的滚动．当滚 动一周回到原位置
时，点
C
运动的路径长为（


）


A
．
2
π

B
．
（
+
1
）
π

C
．
（
+
2
）
π

D
．
（
+
1
）
π

2
．
如图，
矩形
ABCD
的边
AB=3cm
，
AD=4 cm
，
点
E
从点
A
出发，
沿射线
AD移动，
以
CE
为直径作⊙
O
，点
F
为⊙
O
与射线
BD
的公共点，连接
EF
，过点
E
作< br>EG
⊥
EF
，交⊙
O
于点
G
，当⊙
O
与射线
BD
相切时，点
E
停止移动，则在运动过程中
点< br>G
移动路程的长为（


）


A
．
4cm B
．
cm
C
．
cm
D
．
cm

，
M
、
N
是半圆上不 与
B
、
C
重合的两点，
上从点
M
运动到点
N
时，
3
．如图，
BC
是⊙
O
的直径，
B C=4
且∠
MON=120°
，△
ABC
的内心为
E
点，当点
A
在
点
E
运动的路径长是（


）


第
1
页（共
38
页）



A
．
B
．
C
．
D
．

4
．如图，菱形
ABCD
放置在直线
l上（
AB
与直线
l
重合）
，
AB=4
，∠DAB=60°
，
将菱形
ABCD
沿直线
l
向右无滑动 地在直线
l
上滚动，从点
A
离开出发点到点
A
第一次落在直 线
l
上为止，点
A
运动经过的路径总长度为（


）


A
．

B
．

C
．

D
．

5
．如图，将矩形
ABCD
绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转
90°
至图①位置，继
续绕右下 角的顶点按顺时针方向旋转
90°
至图②位置，以此类推，这样连续旋转
2017次．
若
AB=4
，
AD=3
，
则顶点
A
在整个旋转过程中所经过的路径总长为
（


）


A
．
2017π

B
．
2034π

C
．
3024π

D
．
3026π
6
．如图，在等腰
Rt
△
ABC
中，斜边
AB=8，点
P
在以
AC
为直径的半圆上，
M
为
PB< br>的中点，当点
P
沿半圆从点
A
运动至点
C
时，点M
运动的路径长是（


）


A
．
2
π

B
．
π
C
．
2π

D
．
2

7
．已知⊙
O
，
AB
是直径，
AB=4
，弦
CD
⊥< br>AB
且过
OB
的中点，
P
是劣弧
BC
上一< br>动点，
DF
垂直
AP
于
F
，则
P
从
C
运动到
B
的过程中，
F
运动的路径长度（


）

第
2
页（共
38
页）




A
．
π

B
．

C
．
π

D
．
2

8
． 如图，矩形
ABCD
中，
AD=a
，
AB=b
（
b
＞
a
）
，点
E
是线段
AD
上一个动点，以
AE
为边作正方形
AGFE
，点
G
在边
AB
上，连接
FC
，点
H
是
FC
的中点，当点
E从
A
运动到
D
的过程中，点
H
经过的路径长为（


）


A
．

B
．

C
．
D
．

9
．如图，正方形
ABCD
的边长是
2
，点
P
从点
D
出发沿
DB
向点
B
运动，至点
B
停止运动，连接< br>AP
，过点
B
作
BH
垂直于直线
AP
于点< br>H
，在点
P
运动过程中，
点
H
所走过的路径长是（< br>

）


A
．
2
B
．

C
．
π

D
．
2π

10
．如图，半径为
2cm
， 圆心角为
90°
的扇形
OAB
的弧
AB
上有一运动的点P
，
从点
P
向半径
OA
引垂线
PH
交
OA
于点
H
．
设△
OPH
的内心为
I，
当点
P
在弧
AB
上从点
A
运动到点
B
时，内心
I
所经过的路径长为（


）

第
3
页（共
38
页）




A
．
π
B
．
π

C
．
π

D
．
π

，点
E
为
AB
中点，点
F
为
AD
边上
11．如图，在矩形
ABCD
中，
AB=2
，
AD=
从A
到
D
运动的一个动点，连结
EF
，将△
AEF
沿
EF
折叠，点
A
落在点
G
处，在
运动的过程中 ，点
G
运动的路径长为（


）


A
．
B
．

C
．

D
．
1

12
．
如图，
在直角坐标系中，
点
A
，
B
分别在
x
轴和
y
轴上，
点
A
的坐标为
（﹣
2
，
0
）
，∠
ABO=30°
，线段
PQ
的端点
P
从点
O
出发，沿△
OBA
的边按
O→B→A→O
运动一周，同时另一端点
Q
随之在
x
轴的非负半轴上运动，如果
PQ=2
当
P
点运动一周时，点
Q
运动的总路程是（


）

，那么

A
．
4
B
．
6
C
．
6
D
．
8

13
．如图， 等边△
OPQ
的边长为
2
，以
O
为圆心，
AB为直径的半圆经过点
P
，
点
Q
．连接
AQ
，< br>BP
相交于点
C
，将等边△
OPQ
从
OA
与
OP
重合的位置开始，绕
着点
O
顺时针旋转
120°
，则交点
C
运动的路径是（


）

第
4
页（共
38
页）




A
．长度为
的线段．

B
．半径为
2
C
．半径为
的一段圆弧

的一段圆弧

D
．无法确定

14
．如图，四边形
ABCD
是正方形，动点
E
、
F
分别从
D
、
C
两点同时出发，以相
同的速度分别在边
DC
、
CB上移动，当点
E
运动到点
C
时都停止运动，
DF
与AE
相交于点
P
，若
AD=8
，则点
P
运动的 路径长为（


）


A
．
8
B
．
4
C
．
4π

D
．
2π

．若点
P
在优弧
BAC
上由点
B
移
15
．如图，弓形
ABC
中，∠
BA C=60°
，
BC=2
动到点
C
，记△
PBC
的内 心为
I
，点
I
随点
P
的移动所经过的路径长为（


）


A
．
π

B
．
π

C
．
π

D
．
4π

16
．如图，已知△
ABC
， ∠
C=90°
，∠
A=30°
，
BC=2
，动点
D
在边
AC
上，以
BD
为
边作等边△
BDE
（点
E
、
A
在
BD
的同侧）
，在点
D从点
A
移动至点
C
的过程中，
点
E
移动的路线 为（


）


第
5
页（共
38
页）



A
．

B
．
2
C
．

D
．

17
．如图，在
Rt
△
ABC中，∠
ACB=90°
，
tan
∠
CAB=
，
AB=3
，点
D
在以斜边
AB
为直径的半圆上，
点
M
是
CD
的三等分点，
当点
D
沿着半圆，
从点A
运动到点
B
时，点
M
运动的路径长为（


）


A
．
π
或

B
．
或

C
．
或
π

D
．
或

18
．一块等边三角形的木板，边长为
1
，现将木板沿水平线翻滚（如图）
，那么
点
B
经过的路径长度为（< br>

）


A
．
B
．

C
．
2
D
．

19
．如图，将一个含< br>30°
角的三角尺绕点
C
顺时针方向旋转到△
A'B'C'
的 位置．若
BC=15cm
，那么顶点
A
从开始到结束所经过的路径长为（

）


A
．
10πcm

B
．
30πcm

C
．
20
πcm

D
．
15πcm

20
．如图，水平地面上有一面积为30πcm
2
的灰色扇形
OAB
，其中
OA=6cm
， 且
OA
垂直于地面，将这个扇形向右滚动（无滑动）至点
B
刚好接触地面为止 ，则
在这个滚动过程中，点
O
移动的距离是（


）

第
6
页（共
38
页）




A
．
10πcm

B
．
20πcm

C
．
24πcm

D
．
30πcm

21
．如图，☉
O
的半 径为
2
，
AB
，
CD
是互相垂直的两条直径，点
P
是☉
O
上任
意一点（点
P
与点
A
，
B
，
C
，
D
不重合）
，过点
P
作
PM
⊥
AB
于点
M
，
PN
⊥
CD
于
点
N
，
点
Q
是
MN
的中点，
当点
P
沿着圆周转过
90
时，
点
Q
走过的路径长为
（


）


A
．

B
．

C
．

D
．

22
．如图，在
R t
△
ABC
中，
BC=3
，∠
BAC=30°
，斜 边
AB
的两个端点分别在相互
垂直的射线
OM
，
ON
上滑动．
下列结论：
①若
C
、
O
两点关于
AB< br>对称，
则
OA=3
；
②若
AB
平分
CO，则
AB
⊥
CO
；③
C
，
O
两点间的 最大距离是
6
；④斜边
AB
的中
点
D
运动的路径长 是
π
，其中正确的有（


）


A
．①②

B
．③④

C
．②③④

D
．①③④

23
．如图， ⊙
O
的半径为
2
，
AB
，
CD
是两条互相 垂直的直径，点
P
是⊙
O
上任
意一点（点
P
与点< br>A
，
B
，
C
，
D
均不重合）
，过点
P
作
PM
⊥
AB
于点
M
．
PN< br>⊥
CD
于点
N
，点
Q
是线段
MN
的 中点．若点
P
以点
O
为旋转中心．沿着圆周顺时针
旋转
45 °
．则点
Q
经过的路径长为（


）

第
7
页（共
38
页）




A
．



B
．

C
．

D
．

二．填空题（共
2
小题）

24
．如图，在边长为
2
的菱形
ABCD
中，∠
A=60°
，
M
是边AD
的中点，
N
是
AB
上一动点（不与
A
、< br>B
重合）
，将△
AMN
沿
MN
所在直线翻折得到△< br>A
1
MN
，连接
A
1
C
，画出点
N
从
A
到
B
的过程中
A
1
的运动轨迹，A
1
C
的最小值为





．


25
．一副含
30°
和
45°角的三角板
ABC
和
DEF
叠合在一起，边
BC
与EF
重合，
BC=EF=12cm
（如图
1
）
，点G
为边
BC
（
EF
）的中点，边
FD
与
AB
相交于点
H
，此
时线段
BH
的长是





．
现将三角板
DEF
绕点
G
按顺时针方向旋转
（如图
2
）
，
在∠
CGF< br>从
0°
到
60°
的变化过程中，点
H
相应移动的路径 长共为





．
（结果
保留根号）




第
8
页（共
38
页）




2018
年
04
月
27
日沐木的初中数学组卷

参考答案与试题解析



一．选择题（共
23
小题）

1
．
如图，
边长为
2
的正方形
ABCD
的顶点
A
、
B
在一个半径为
2
的圆上，
顶点
C
、
D
在圆内，将正 方形
ABCD
沿圆的内壁作无滑动的滚动．当滚动一周回到原位置
时，点
C< br>运动的路径长为（


）


A
．
2
π

B
．
（
+
1
）
π

C
．
（
+
2
）
π

D
．
（
+
1
）
π

【分析】作辅助线，首先求出∠
D′AB
的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长
公式问题 即可解决．

【解答】
解：如图，分别连接
OA
、
OB、
OD′
、
OC
、
OC′
；

∵
OA=OB=AB
，

∴△
OAB
是等边三角形，

∴∠
OAB=60°
；

同理可证：∠
OAD′=60°
，

∴∠
D′AB=120°
；

∵∠
D′AB′=90°
，

∴∠
BAB′=120°
﹣
90°
=30°
，

由旋转变换的性质可知∠
C′AC=
∠
B′AB=30°
；

∵四边形
ABCD
为正方形，且边长为
2
，

∴∠
ABC=90°
，
AC=
=2
，

=
．

∴当点
D
第一次落在圆上时，点
C
运动的路线长为：
第
9
页（共
38
页）



以
D
或
B
为圆心滚动时，每次
C
点运动
，

×
2
+
×
以
A
做圆心滚动两 次，以
B
和
D
做圆心滚动三次，所以总路径
=
3=
（
+
1
）
π
．

故选：
D
．


【点评】
本题考查了正方形的性质 、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾
股定理的运用以及弧长公式的运用，
题目的综合性 较强，
解题的关键是正确的求
出旋转角的度数．



2< br>．
如图，
矩形
ABCD
的边
AB=3cm
，
AD=4cm
，
点
E
从点
A
出发，
沿射线
AD
移动，
以
CE
为直径作⊙
O
，点
F
为 ⊙
O
与射线
BD
的公共点，连接
EF
，过点
E作
EG
⊥
EF
，交⊙
O
于点
G
，当⊙
O
与射线
BD
相切时，点
E
停止移动，则在运动过程中点
G
移动路程的长为（


）


A
．
4cm B
．
cm
C
．
cm
D
．
cm

【分析】
利用图
1
，证明点< br>G
的在射线
BG
上，∠
CBG
是定值，∠
DBG=9 0°
，如
图
2
中，当⊙
O
与
BD
相切时，
F
与
B
重合，由△
BCG
∽△
BAD
时， 可得
列出方程即可解决问题．

【解答】
解：如图
1
中，连 接
CF
、
CG
、
FG
．

易知四边形
EFCG
是矩形，

∴
EF=CG
，

∴

=
，
=
，

第
10
页（共
38
页）


∴∠
CBG=
∠
ABD
，

∴点
G
的在射线
BG
上，∠
CBG
是定值，∠
DBG=90°

如图
2
中，当⊙
O
与
BD
相切时，
F与
B
重合，

由△
BCG
∽△
BAD
时，可得
∴
=
，

cm
，

cm
，

=
，

∴
BG=
∴点< br>G
的运动路径的长为
故选：
B
．


【点评 】
本题考查轨迹、矩形的性质和判定、切线的性质．相似三角形的判定和
性质等知识，解题的关 键是灵活运用所学知识解决问题，探究运动轨迹是关键，
属于中考选择题中的压轴题．



3
．如图，
BC
是⊙
O
的直径，BC=4
，
M
、
N
是半圆上不与
B
、
C
重合的两点，
上从点
M
运动到点
N
时，
且∠MON=120°
，△
ABC
的内心为
E
点，当点
A< br>在
点
E
运动的路径长是（


）



第
11
页（共
38
页）


A
．
B
．
C
．
D
．
【分析】
如图，连接
BE
、
CE
，由∠
BAC=90°
，
E
是内心，推出∠
BEC=135°
，推出
点
E
在以
P
为圆心的
PC
为半径的圆上运动（轨迹是
解决问题．

【解答】
解：如图，连接
BE
、
CE
，

∵∠
BAC=90°
，
E
是内心，

∴∠
BEC=135°
，

∴点
E
在以
P
为圆心的
PC
为半径的圆上运动（轨迹是
）
，在⊙
P
上取一点
M′
，
）
，求出
PG
，∠
GPH
即可
连接
BM′
、
CM′
，则∠
M′=180°
﹣
135°
=45°
，∠
BPC=2
∠
M′=90°
，

∴△
BCP
是等腰直角三角形，

∵
BC=4
，

∴
PB=PC=4
，
< br>∵∠
HPC=2
∠
HBC=
∠
NBC=
∠
N OC
，同理∠
GPB=
∠
MOB
，

∴∠
HPC
+
∠
GPB=
（∠
NOC
+
∠
MO B
）
=30°
，

∴∠
GPH=60°
，

∴点
E
运动的路径长是
故选：
B
．

=
π
，


【点评】
本题考查三角形的内心、三角形的外接圆与外心等知识，
解题的关键是
正确寻找点
E
的运动轨迹，
学会添加辅助圆解决问题，
属于中考选择题中的压轴
第
12
页（共< br>38
页）



题．



4
．如图，菱形
ABCD
放置在直线
l
上（
AB
与直线
l
重合）
，
AB=4
，∠
DAB=60°
，
将菱形
ABCD
沿直线
l
向右无滑动地在直线
l
上 滚动，从点
A
离开出发点到点
A
第一次落在直线
l
上为止， 点
A
运动经过的路径总长度为（


）


A
．

B
．

C
．

D
．

【分析】
画出图形即可知道，
从点
A
离开出发点到点
A
第一次落在直线
l
上为止，
点
A
运动经过的路径的长度为图中的弧线长，由此即可解决问题．

【解答】
解：如图， 从点
A
离开出发点到点
A
第一次落在直线
l
上为止，点A
运
动经过的路径的长度为图中弧线长．


由题意可知
=
，∠
DOA
2
=120°
，
DO=4
，

+
=
π
+
π
，

所以点
A< br>运动经过的路径的长度
=2
×
故选：
D
．

【点评】
本题考查菱形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是正确画出图象，
探究点
A
的运动轨迹，解题时注意正确运用弧长公式：
l=
角度数为
n
，圆 的半径为
R
）
．



5
．如图，将矩形
ABCD
绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转
90°
至图①位置，继
续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转
90°
至图②位置，以此类推，这样连续旋转
20 17
次．
若
AB=4
，
AD=3
，
则顶点
A
在整个旋转过程中所经过的路径总长为
（


）

第
13
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38
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（弧长为
l
，圆心


A
．
2017π

B
．
2034π

C
．
3024π

D
．
30
26π

【分析】
首先求得每一次转动的 路线的长，
发现每
4
次循环，
找到规律然后计算
即可．

【解答】
解：∵
AB=4
，
BC=3
，

∴
AC=BD=5
，

转动一次
A
的路线长是：< br>转动第二次的路线长是：
转动第三次的路线长是：
转动第四次的路线长是：
0< br>，

以此类推，每四次循环，

故顶点
A
转动四次经 过的路线长为：
π
+
π
+
2π=6π
，

∵
2017
÷
4=504…1
，

∴顶点
A
在整个旋转过程中所经过的路径总长为：
6π
×
504
+
2π=3026π
，

故选：
D
．

【点评】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，
掌握旋转变换的性质、
灵活运用弧长的计 算公式、发现规律是解决问题的关键．



6
．如图，在等腰Rt
△
ABC
中，斜边
AB=8
，点
P
在以< br>AC
为直径的半圆上，
M
为
PB
的中点，当点
P沿半圆从点
A
运动至点
C
时，点
M
运动的路径长是（< br>

）

=2π
，

=
π
，

=
π
，


A
．
2
π

B
．
π
C
．
2π

D
．
2

【分析】
如 图，连接
PA
、
PC
，取
AB
、
BC
的中 点
E
、
F
，连接
EF
、
EM
、
F M
．首先
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证明∠
EMF=90°
，推出点
M
的轨迹是
由此 即可解决问题．

，即
EF
为直径的半圆，图中红线部分，
【解答】
解：如图，连接
PA
、
PC
，取
AB
、
B C
的中点
E
、
F
，连接
EF
、
EM
、
FM
．


∵
AC
是直径，

∴∠
APC=90°
，

∵
BE=EA
，
BM=MP
，

∴
EM< br>∥
PA
，同理
FM
∥
PC
，

∴∠
BME=
∠
BPA
，∠
BMF=
∠
BPC
，

∴∠
BME
+
∠
BMF=
∠
BPA< br>+
∠
BPC=90°
，

∴∠
EMF=90°
，

∴点
M
的轨迹是
，
（
EF
为直径的半圆，图中红线部分）

∵
BC=AC< br>，∠
ACB=90°
，
AB=8
，

∴
AC =4
∴
，
EF=
AC=2
=
π
．

，

的长
=π•
故选：
B
．

【 点评】
本题考查轨迹、等腰直角三角形的性质、圆的有关知识、弧长公式等知
识，解题的关键是 正确寻找点
M
的运动轨迹，属于中考常考题型．



7< br>．已知⊙
O
，
AB
是直径，
AB=4
，弦
C D
⊥
AB
且过
OB
的中点，
P
是劣弧
BC
上一
动点，
DF
垂直
AP
于
F
，则
P
从
C
运动到
B
的过程中，
F
运动的路径长度（


）

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A
．
π

B
．

C
．
π

D
．
2

【分析】作
DQ
⊥
AC
于
Q
，如图，当
P
点在
C
点时，
F
点与
Q
重合；当
P
点在
B
点时，
F
点与
E
点重合，利用圆周角定理的推论判断点
F
在以
AD
为直径的圆上，
则点
F
运动的路径为
， 再计算
MQ
的长度和∠
QME
的度数，然后根据弧长公
式计算
F
运动的路径长度．

【解答】
解：作
DQ
⊥
A C
于
Q
，如图，

当
P
点在
C
点 时，
F
点与
Q
重合；当
P
点在
B
点时，< br>F
点与
E
点重合，

∵∠
AFD=90°
，

∴点
F
在以
AD
为直径的圆上，

∴点
F
运动的路径为
，

∵弦
CD
⊥
AB
且过
OB
的中点，
∴
OE=
OD
，
CE=DE=
∴∠
DOE=60°，

∴∠
DAC=60°
，

∴△
ACD
为等边三角形，

∴
MQ
和
ME
为中位线，

∴
MQ=
，∠
QME=60°
，

=
．

，
AC=AC=2
，

∴
F
运动的路径长度
=
故选：
A
．

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【点评】
本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形叫这个点运动的轨
迹．也考 查了垂径定理和圆周角定理．



8
．如图，矩形
ABC D
中，
AD=a
，
AB=b
（
b
＞
a）
，点
E
是线段
AD
上一个动点，以
AE
为边 作正方形
AGFE
，点
G
在边
AB
上，连接
FC< br>，点
H
是
FC
的中点，当点
E
从
A
运动到
D
的过程中，点
H
经过的路径长为（


）


A
．

B
．

C
．
D
．

【分析】
如图，当点
E与
D
重合时，设
CF
的中点为
H′
，连接
AC
，
AC
的中点为
H
，连接
HH′
，线段
H H′
的长为点
H
的运动轨迹的长，

【解答】
解：如图，


当点
E
与
D重合时，设
CF
的中点为
H′
，连接
AC
，
A C
的中点为
H
，连接
HH′
，线
段
HH′
的长为点
H
的运动轨迹的长，

∵四边形
ADFG
是正方形，
AD=a
，

∴
AF=
a
，

∵
AH=HC
，
FH′=H′C
，

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∴
HH′=
AF=
故选：
A
．

a
，

【点评】
本题考查轨迹、正方形的性质、矩形的性质、三角形 的中位线定理、勾
股定理等知识，解题的关键是正确寻找点
H
的运动轨迹，属于中考常 考题型．



9
．如图，正方形
ABCD
的边长 是
2
，点
P
从点
D
出发沿
DB
向点
B
运动，至点
B
停止运动，连接
AP
，过点
B
作
BH
垂直于直线
AP
于点
H
，在点
P
运动 过程中，
点
H
所走过的路径长是（


）


A
．
2
B
．

C
．
π

D
．
2π

【分析】< br>由题意点
H
在以
AB
为直径的半圆上运动，根据圆的周长公式即可解决
问题．

【解答】
解：如图，


∵
BH
⊥
AP
，

∴∠
AHB=90°
，

∴点
H
在以
AB
为直径的半圆上运动，由题意

∵
OA=OB=1
，

∴点
H
所走过的路径长=
×
2π•1=π
，

故选：
C
．

【点评】
本题考查轨迹、正方形的性质，圆的周长公式等知识，解题的关键是学
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会条件点
H
的运动轨迹．



10
．如 图，半径为
2cm
，圆心角为
90°
的扇形
OAB
的弧AB
上有一运动的点
P
，
从点
P
向半径
OA< br>引垂线
PH
交
OA
于点
H
．
设△
O PH
的内心为
I
，
当点
P
在弧
AB
上从点
A
运动到点
B
时，内心
I
所经过的路径长为（


）


A
．
π
B
．
π

C
．
π

D
．
π

【分析】
如图，连
OI
，
PI
，
AI
，由△
OPH
的内心为
I
，可得到∠
PIO=180°
﹣∠
IPO
﹣∠
IOP=180°
﹣（∠
HOP
+
∠
OPH
）
=135°
，并且易 证△
OPI
≌△
OAI
，得到∠
AIO=
∠
PIO =135°
，所以点
I
在以
OA
为弦，并且所对的圆周角为
135°
的一段劣弧上；
过
A
、
I
、
O
三 点作⊙
O′
，如图，连
O′A
，
O′O
，在优弧
A O
取点
P
，连
PA
，
PO
，可
得∠
APO=180°
﹣
135°
=45°
，得∠
AOO=90°，
O′O=
长公式计算弧
OA
的长．

【解答】
解：如图，连
OI
，
PI
，
AI
，

∵△
OPH
的内心为
I
，

∴∠
IOP=
∠
IOA
，∠
IPO=
∠
IPH
，
∴∠
PIO=180°
﹣∠
IPO
﹣∠
IOP=180°
﹣
（∠
HOP
+
∠
OPH
）
，

而
PH
⊥
OA
，即∠
PHO=90°
，

∴∠
PIO=180°
﹣
（∠
HOP
+
∠
OPH
）
=180°
﹣
（
180°
﹣
90°
）
=135°
，

又∵
OP=OA
，
OI
公共，

而∠
IOP=
∠
IOA
，

∴△
OPI
≌△
OAI
，

∴∠
AIO=
∠
PIO=135°
，

所以点I
在以
OA
为弦，并且所对的圆周角为
135°
的一段劣弧上；

过
A
、
I
、
O
三点作⊙
O′< br>，如图，连
O′A
，
O′O
，

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OA=
×
2=
，然后利用弧

秋天风景图片-八下英语单词

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