行程问题(一)
别妄想泡我
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2021年01月18日 19:41
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行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，
不论在奥数竞赛 中还是在
“小升初”
的升
学考试中，都占有非常重要的地位。行程问题包括：相遇问题 、追及问题、流水问题、火车
过桥、环形行程、复杂行程等。每一类问题都有自己的特点，解决方法也各 有不同，但是，
行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量、三个关系”
：
三个量是：路程（
s
）
、速度（
v
）
、时间（
t< br>）
三个关系：
1.
简单行程：
路程
＝
速度×时间
2.
相遇问题：路程和
＝
速度和×时间
3.
追及问题：路程差
＝
速度差×时间
牢牢把握住这三个量以及它们之间的这三种关系，
就会发现解决行程问题 还是有很多方
法可循的。
要正确的解答有关“行程问题”
的应用题，必须弄 清物体运动的具体情况。
如运动的方
向（相向，相背，同向）
，出发的时间（同时，不 同时）
，出发的地点（同地，不同地）
，运
动的路线（封闭，不封闭）
，运动 的结果（相遇、相距多少、交错而过、追及）
。两个物体运
动时，
运动的方向与运动的 速度有着很大关系，
当两个物体
“相向运动”
或
“相背运动”
时，< br>它们的运动速度都是
“两个物体运动速度的和”
（简称速度和）
，
当两 个物体
“同向运动”
时，
它们的追及速度就变为“两个物体运动速度的差”
（ 简称速度差）
。
例如：甲从
A
地到
B
地，乙从< br>B
地到
A
地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一
起走了
A
，
B
之间这段路程，如果两人同时出发，那么
AB
之间的路程
＝甲走的路程＋乙走的路程
＝甲的速度×相遇时间＋乙的速度×相遇时间
＝（甲的速度＋乙的速度）×相遇时间
＝速度和×相遇时间
“相遇问题”的核心是速度和问题。
例
1
小陈和小许二人分别从两地同时骑车相向而行。小陈每小时行
16
千米，小许每
小时行
13
千米，两人相遇时距中点
3
千米。求全程长多少千米？
分析与解：
要求全程长多少千米，必须知道“速度和”与“相遇时间”
。题目中已经给
出了小陈和小许的速度，因此关键是求出相遇时间。
从线段图中可以看出 ，当小陈到达
A
点时，与相遇时小许所行的路程相同，因此二人
第
7
页
相遇时，小陈比小许多行 了
3
×
2
＝
6
（千米）
。
相遇 时间：
6
÷（
16
－
13
）＝
2
（小时）
。
全程：
2
×（
16
＋
13
） ＝
58
（千米）
。
答：全程长
58
千米。
例
2
兄妹二人同时从家里出发去上学，哥哥骑车每分钟行
400
米，妹妹步行每 分钟行
100
米。哥哥到校门时，发现忘了带课本，立即沿原路返回，途中与妹妹相遇。已知家 与学
校相距
1000
米，求兄妹二人从出发到相遇共用了多少分钟？
分析与解：
妹二人开始时是同向行走，
哥哥的速度快，
因此先到达学校。
当 哥哥返回时，
兄妹二人就变成了相向而行。
从线段图中可以看出，兄妹二人所行的路程之和是家到学校距离的
2
倍。
根据“相遇时间＝路程和÷速度和”
，即可求出相遇时间。
所以兄妹二人从 出发到相遇共用了
1000
×
2
÷（
400
＋
10 0
）＝
4
（分钟）
。
答：
兄妹二人从出发到相遇共用了
4
分钟。
例
3
甲乙两车分别从
A
、
B
两地同时 出发相向而行，
甲每小时行
88
千米，
乙每小时行
1
5全程的
10%
，当乙行到全程的
时，
甲再行全程的
可到达
B
地。求
A
、
B
两地相距多少千
8
6
米 ？
5
5
50
分析与解：
乙行到全程的
时，所用的 时间是
÷
10%
＝
（小时）
。
8
88
50
此时，甲共走了
88
×
＝
550
（千米 ）
，
8
1
所以
A
、
B
两地相距
550
÷（
1
－
）＝
660
（千米）
。< br>
6
答：
A
、
B
两地相距
660
千 米。
例
4
甲乙两车 同时从
A
、
B
两地出发相向而行，两车在离
B
地
5 0
千米处第一次相遇。
相遇后两车仍以原速继续行驶，
并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，
途中两车在距
A
地
40
千米处第二次相遇。问 ：两次相遇点相距多少千米？
分析与解：
从线段图中可以看出：甲、乙两车第一次相 遇时，行驶的路程之和即为
AB
之间的距离。第二次相遇时，又行驶了
AB
间 路程的
2
倍，即两车从出发到第二次相遇共行
了
3
个
AB< br>的距离。
第
7
页
第一次相遇时，乙车行了
50
千米，所以，乙车从出发到第二次相遇共行了
50×
3
＝
150
（千米）
。可知
A
、
B
两地间的距离为
1 50
－
40
＝
110
（千米）
。
所以两 次相遇点相距
110
－
40
－
50
＝
20
（千米）
。
答：
两次相遇点相距
20
千米。
例
5
甲、乙、丙
3
辆车 ，甲车每小时行
100
千米，乙车每小时行
70
千米，丙车每小
时行
80
千米。甲、乙两车从
A
地、丙车从
B
地相对而行，丙车 遇到甲车半小时后又遇到乙
车。问：
A
、
B
两地相距多少千米？
分析与解：
从线段图中可看出：当甲、丙两车在
C
点相遇时 ，乙车行至
D
点，
CD
这段
路程由乙、丙两车共行半小时走完，因此 这段路程长（
70
＋
80
）×
0.5
＝
75
（千米）
，也就是
说，当甲、丙两车在
C
点相遇时，甲车比乙车多走了75
千米。甲车
1
小时比乙车多走
100
－
70
＝
30
（千米）
，要使甲车比乙车多走
75
千米，需要的时间是< br>75
÷
30
＝
2.5
（小时）
，这一
时间正 是甲车与丙车相遇所用的时间。
因此，
A
、
B
两地相距（
100
＋
80
）×
2.5
＝
450
（千米 ）
。
答：
A
、
B
两地相距
450
千米。
例
6
甲乙两地相距
1100千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，经
10
小时后相遇已
知甲、乙两车的速度 比是
5
︰
6
，问：甲、乙两车每小时各行多少千米？
分析 与解：
甲、乙两车每小时共行
1100
÷
10
＝
110（千米）
。
甲车每小时行
110
÷（
5
＋< br>6
）×
5
＝
50
（千米）
。
乙车 每小时行
110
÷（
5
＋
6
）×
6
＝60
（千米）
。
答：
甲、乙两车每小时各行
50
千米、
60
千米。
例
7
父子二人同时离家去商店购物，儿子 每分钟走
80
米，父亲每分钟走
50
米，儿
子到商店时，
发 现父亲还未到达，
立即沿原路返回，
行至离商店
150
米处与父亲相遇。问：
第
7
页