家纺用品-兰花花叙事曲

2021年1月18日发(作者：席璞)
第三讲

最短路线问题




通常最短 路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原
则引申出来的．人们在生产、生活实践中，常 常遇到带有某种限制条件的
最近路线即最短路线问题。



在本讲 所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一
平面内，那么所求的最短路线是线段；如果 它们位于凸多面体的不同平面
上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；< br>如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上
述哪种情况，它们都有一 个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲
面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一 个平面上，两点
间的最短路线则是连结两点的直线段。



这里还 想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，
在地球
（近似看成圆球）
上
A
、
B
二点之间的最短路线如何求呢？我们用过
A
、< br>B
两点及地球球心
O
的平面截地球，
在地球表面留下的截痕为圆周（称
大圆）
，在这个大圆周上
A
、
B
两点之间不超过半 个圆周的弧线就是所求的
A
、
B
两点间的最短路线，航海上叫短程线．关于这 个问题本讲不做研究，
以后中学会详讲。



在求最短路线时，一 般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短
距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短 路线．像这样将
一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的
重要思 想方法。



例
1
如下图，
侦察员骑马从A
地出发，
去
B
地取情报．
在去
B
地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线
最节省时间，请你在图中标 出来。























解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线。



作点
A
关于河岸的对称点

A
′，即作

AA
′垂直于河岸，与河岸交于
点
C
，且使
AC=A
′C
，连接
A
′
B
交河岸于一点
P
，这时

P
点就是饮马的
最好位置，连接

PA
，此时

PA
＋
PB
就是侦察员应选择的最短路线。



证明：设河岸上还有异于
P
点的另一点
P
′，连接
P
′
A
，
P
′
B
，

P
′
A
′。



∵
P
′
A+P
′
B
＝
P
′
A
′
+P< br>′
B
＞
A
′
B=PA
′
+PB=PA+PB
，
而这里不等
式

P
′
A
′＋
P
′
B
＞
A
′
B
成立的理由是连接两点的折线段大于 直线段，
所
以
PA+PB
是最短路线。


此例利用对称性把折线
APB
化成了易求的另一条最短路线即直线段
A
′
B
，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等．看下面
例题。



例
2
如图一只壁虎要从一面墙壁
α
上
A
点，爬到邻近的另一面墙壁
β
上的
B
点捕蛾，它可以沿许多路径 到达，但哪一条是最近的路线呢？






















解：我们假想把含
B
点的墙< br>β
顺时针旋转
90
°（如下页右图）
，使它
和含
A< br>点的墙
α
处在同一平面上，此时
β
转过来的位置记为
β
′，
B
点的
位置记为
B
′，则
A
、
B< br>′之间最短路线应该是线段
AB
′，设这条线段与
墙棱线交于一点
P< br>，那么，折线
4PB
就是从
A
点沿着两扇墙面走到
B
点的
最短路线。



证明：在墙棱上任取异于
P
点的
P
′点，若沿折线
AP
′
B
走，也就是
沿在墙 转
90
°后的路线
AP
′
B
′走都比直线段
APB
′长，所以折线
APB
是壁虎捕蛾的最短路线。


由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的
最短路线时，可以把不同平面转 成同一平面，此时，把处在同一平面上的
两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线 段所构成
的折线，就是所求的最短路线。



例
3 长方体
ABCD
—
A
′
B
′
C
′D
′中，
AB=4
，
A
′
A=2
′，
AD=1
，
有一只小虫从顶点
D
′出发，沿长方体表面爬到
B
点，问这只小虫怎样爬
距离最短？（见图（
1
）
）












解：
因为小虫是在长方体的表面上爬行的，
所以必需把含
D
′、B
两点
的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上
D
′
B
间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从
D
′点 出发，到
B
点共
有六条路线供选择。



①从< br>D
′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达
B
点，将这两个面
摊开在 一个平面上（上页图（
2
）
）
，这时在这个平面上
D
′、< br>B
间的最短路
线距离就是连接
D
′、
B
两点的直线段 ，它是直角三角形
ABD
′的斜边，
根据勾股定理，



D
′
B
2
=D
′
A
2
+AB2
=
（
1+2
）
2
＋
4
2
= 25
，∴
D
′
B=5
。



② 容易知道，从
D
′出发经过后侧面再进入下底面到达
B
点的最短距
离 也是
5
。



③从
D
′点出发，经过左 侧面，然后进入前侧面到达
B
点．将这两个
面摊开在同一平面上，
同理求得在 这个平面上
D
′、
B
两点间的最短路线
（上
页图（
3
）
）
，有：



D
′
B2
＝
2
2
+
（
1+4
）
2
= 29
．



④容易知道，从
D
′出发经过后侧面 再进入右侧面到达
B
点的最短距
离的平方也是
29
。



⑤从
D
′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达
B
点，将这两个
平面摊开在同一平面上，
同理可求得在这个平面上
D
′ 、
B
两点间的最短路
线（见图）
，


















D
′
B
2
=
（
2+4
）
2
+1
2
=37
。




⑥容易知道，从
D
′出发经过上侧面再进入右侧面到达
B
点的最短距
离的平方也是
37
。



比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从
D
′点出
发，经过上底面然 后进入前侧面到达
B
点（上页图（
2
）
）
，或者经过后侧面
然后进入下底面到达
B
点的路线是最短路线，它的长度是
5
个单位长 度。



利用例
2
、
例
3
中求 相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、
翻折的方
法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱 两个不相邻的侧面上
A
和
B
两点之间的最短路线问题（下左图）
，同 样可以把
A
、
B
两点所在平面及与
这两个平面都相邻的平面展开成同 一个平面（下右图）
，连接
A
、
B
成线段
AP
1< br>P
2
B
，
P
1
、
P
2
是线 段
AB
与两条侧棱线的交点，则折线
AP
1
P
2
B
就是
AB
间的最短路线。






















圆柱表面的最短路线是一 条曲线，
“展开”后也是直线，这条曲线称为
螺旋线．因为它具有最短的性质，所以在生产和生 活中有着很广泛的应
用．如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪
膛 里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题。



例
4
景泰蓝 厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，
如果将金线的起点固定在
A
点 ，绕一周之后终点为
B
点，问沿什么线路嵌
金线才能使金线的用量最少？
























解：
将上左图中圆柱面沿母线
AB
剪开，< br>展开成平面图形如上页右图
（把
图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，
A< br>′、
B
′分别与
A
、
B
重合）
，
连 接
AB
′，再将上页右图还原成上页左图的形状，则
AB
′在圆柱面上形成的曲线就是连接
AB
且绕一周的最短线路。



圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线．请看下面例题。



例
5
有一圆锥如下图，
A
、
B
在同一母线上，< br>B
为
AO
的中点，试求以
A
为起点，以
B
为 终点且绕圆锥侧面一周的最短路线。


























解 ：将圆锥面沿母线
AO
剪开，展开如下图（把右图中的扇形卷成上
图中的圆锥面时，< br>A
′、
B
′分别与
A
、
B
重合）
， 在扇形中连
AB
′，则将
扇形还原成圆锥之后，
AB
′所成的曲线为 所求。






























例
6
如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的
A
点爬到桶内
的
B
点去寻找食物，已知
A
点沿母线到桶口
C
点的距离是
12
厘米，

B
点
沿母线到桶口

D
点的距离是
8
厘米 ，而
C
、
D
两点之间的（桶口）弧长是
15
厘米．如果蚂蚁 爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？

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