磅礴的意思-七年级英语试题

2021年1月19日发(作者：谭升)
1
．如图
1
，在△
ABC
中，∠
B=90°
，分别作其内角∠
ACB
与外角∠
DAC
得平分线，
且两条角平分 线所在得直线交于点
E
．

（
1
）∠
E=





°
；

（
2
） 分别作∠
EAB
与∠
ECB
得平分线，且两条角平分线交于点
F．

①依题意在图
1
中补全图形；

②求∠
AFC
得度数；

（
3
）在（
2< br>）得条件下，射线
FM
在∠
AFC
得内部且∠
AFM=
∠
AFC
，设
EC
与
AB
得交点为
H
， 射线
HN
在∠
AHC
得内部且∠
AHN=
∠
AHC
，射线
HN
与
FM
交
于点
P
，若∠
FAH
，∠
FPH
与∠
FCH
满足得数量关系为∠
FCH =m
∠
FAH
+
n
∠
FPH
，
请直接写出
m
，
n
得值．


2
．直线
MN
与直线
PQ
垂直相交于
O
，点
A
在射线
O P
上运动，点
B
在射线
OM
上运动．

（
1
）如图
1
，已知
AE
、
BE
分别就是∠
BAO
与∠
ABO
角得平分线，点
A
、
B
在运动得过程中，∠
AEB
得大小就是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不
发生变化，试求出其值；

（
2
）如图
2
，延长
B A
至
G
，已知∠
BAO
、∠
OAG
得角平分线与∠
BOQ
得角平分
线及其延长线相交于
E
、
F
，则∠
EAF=





°
；在△
A EF
中，如果有一个角就是
另一个角得
3
倍，试求∠
ABO
得度数．


3
．已知，在△
ABC
中，∠
A=< br>∠
C
，点
F
与
E
分别为射线
CA
与 射线
BC
上一点，
连接
BF
与
FE
，且∠
BFE=
∠
FEB
．

（
1
）如图
1，当点
F
在线段
AC
上时，若∠
FBE=2
∠
ABF
，则∠
EFC
与∠
FBE
得数
量关系为





．

（
2
）如图
2
，当点
F
在
CA
延长线上时，探究∠
EFC
与 ∠
FBA
得数量关系，并说
明理由．

（
3
）如图
3
在（
2
）得条件下，过
C
作
CH
⊥AB
于点
H
，
CN
平分∠
BCH
，
C N
交
AB
于
N
，由
N
作
NM
⊥< br>NC
交
CF
于
M
，若∠
BFE=5
∠
FBA
，
MN
∥
FB
时，求∠
ABC
得度数．< br>

4
．
（
Ⅰ
）
（
1
）问题引入
< br>如图①，在△
ABC
中，点
O
就是∠
ABC
与∠ACB
平分线得交点，若∠
A=α
，则∠
BOC=





（用
α
表示）
；

（
2
）拓展研究

如图②，
∠
CBO=
∠
ABC
，
∠
BCO=
∠
ACB
，
∠
A=α
，
试求∠
BOC
得度数





（用
α
表示）

（
3
）归纳猜想

若
BO
、
CO
分别就是△
ABC
得∠
ABC
、
∠
ACB
得
n
等分线，
它们交于点
O
，
∠
CBO=
∠
ABC
，∠
BCO=
∠
ACB
，∠
A=α
，则∠
BOC=





（用
α
表示）
．

（
Ⅱ
）类比探索

（
1
）特例思考
如图③，
∠
CBO=
∠
DBC
，
∠
BCO=< br>∠
ECB
，
∠
A=α
，
求∠
BOC
得度数
（用
α
表示）
．

（
2
）一般猜想

若
BO
、
CO
分别就是△
ABC
得外角∠
DBC
、∠
ECB
得
n
等分线，它们交于点
O
，
∠
CBO=
∠
DBC，∠
BCO=
∠
ECB
，∠
A=α
，请猜想∠
BOC=





（用
α
表示）
．


5
．
（1
）如图①，把△
ABC
纸片沿
DE
折叠，使点
A落在四边形
BCED
内部点
A′
得位置．试写出∠
A
与 ∠
1
+
∠
2
之间得关系，并说明理由；

（
2
）如果把△
ABC
纸片沿
DE
折叠，使点
A
落 在四边形
BCED
外部点
A′
得位置，
如图②所示．此时∠
A
与∠
1
、∠
2
之间存在什么样得关系？直接写出





．

（
3
）
如 果把四边形
ABCD
沿
EF
折叠，
使点
A
、
D
分别落在四边形
BCFE
内部点
A′
、
D′
得 位置，如图③所示．直接写出∠
A′
、∠
D′
、∠
1
与∠< br>2
之间得关系





．


6
．已知
BM
、
CN
分别就是△
A1
BC
得两个外角得角平分线，
BA
2
、
CA
2
分别就是∠
A
1
BC
与∠
A
1
CB得角平分线，
如图①；
BA
3
、
CA
3
分别就 是∠
A
1
BC
与∠
A
1
CB
得三等
分线（即∠
A
3
BC=
∠
A
1
BC
，∠
A
3
CB=
∠
A
1
CB
）
，如图 ②；依此画图，
BA
n
、
CA
n
分别就是∠
A1
BC
与∠
A
1
CB
得
n
等分线（即∠
A
n
BC=
∠
A
1
BC
，∠
A
n
CB=
∠
A
1
CB
）
，
n
≥
2
，且
n
为整数．

（
1
）若∠
A
1
=70°
，求∠
A
2
得度数；

（
2
）设∠
A
1
=α
，请用
α
与
n
得代数式表示∠
A
n
得大小，并写出表示得过程；
（
3
）当
n
≥
3
时，请直接写出∠
MBA
n
+
∠
NCA
n
与∠
A
n
得数量关系．


7
．如图，在△
ABC
中，
AD
⊥
BC
，垂足为
D
，
AE
平分∠
BAC< br>，且∠
ABC
＞∠
C
．

求证：∠
DAE=
（∠
ABC
﹣∠
C
）
．


8< br>．
如
图
，
在
△
ABC
中
，
AD
，
BD
分
别
平
分
∠
CAB
与
∠
CBA
，
相
交
于
点
D
．

（
1
）如图
1
，过点
D
作
DE
∥
AC
，
DF
∥
BC
分别交
AB
于点< br>E
、
F
．

①若∠
EDF=80°
，则∠
C=





；

②若∠
EDF=x°
，证明：∠
ADB=< br>（
90
+
）
°
．

（
2
） 如图
2
，若
DE
，
BE
分别平分∠
ADB
与∠
ABD
，且
EF
，
BF
分别平分∠
BED与
∠
EBD
，若∠
BFE
得度数就是整数，求∠
BFE
至少就是多少度？

9
．已知如图①，
BP
、
CP
分别就是△
ABC
得外角∠
CBD
、∠
BCE
得角 平分线，
BQ
、
CQ
分别就是∠
PBC
、∠
PCB
得角平分线，
BM
、
CN
分别就是∠
PBD
、∠< br>PCE
得角
平分线，∠
BAC=α
．

（
1
）当
α=40°
时，∠
BPC=





°
，∠
BQC=





°
；

（
2
）当
α=





°
时，
BM
∥
CN
；

（
3）如图②，当
α=120°
时，
BM
、
CN
所在直线交 于点
O
，求∠
BOC
得度数；

（
4
）在
α
＞
60°
得条件下，直接写出∠
BPC
、∠
BQ C
、∠
BOC
三角之间得数量关
系：





．


10
．
Rt
△
ABC
中，∠
C=90°
，点
D
、
E
分别就是△
ABC
边
AC
、
BC
上得点，点
P
就是一动点．令∠
PDA=
∠
1
，∠
PEB=
∠
2
，∠
DPE=
∠
α
．

（
1
） 若点
P
在线段
AB
上，如图（
1
）所示，且∠
α= 50°
，则∠
1
+
∠
2=





°
；

（
2
）
若点
P
在边
AB
上运动，
如图
（
2
）
所示，则∠
α
、
∠
1
、
∠
2
之间有何关系？

（
3
）若点
P
在
Rt
△
ABC
斜边BA
得延长线上运动（
CE
＜
CD
）
，则∠
α
、∠
1
、∠
2
之间有何关系？猜想并说明理由．


11
．
（
1
）如图①，∠
BAD
得平分线
AE
与∠
BCD
得平分线
CE
交于点
E
，
AB
∥
CD
，
∠
ADC=40°
，∠
ABC=30 °
，求∠
AEC
得大小；

（
2
）如图②，∠BAD
得平分线
AE
与∠
BCD
得平分线
CE
交于点
E
，∠
ADC=m°
，
∠
ABC=n°
，求 ∠
AEC
得大小；

（
3
）
如图③，
∠< br>BAD
得平分线
AE
与∠
BCD
得平分线
CE
交于点
E
，
则∠
AEC
与∠
ADC
、∠
ABC
之间就是否仍存在某种等量关系？若存在，请写出您得结论，并给
出证明；若不存在，请 说明理由．


12
．
（
1
）如图
1，在平面直角坐标系
xOy
中，点
A
、
B
分别为
x
轴正半轴与
y
轴
正半轴上得两个定点，点
C
为
x
轴上得一个动点（与点
O
，
A
不重合）
，分别作
∠
OBC
与∠
ACB
得角平分线，两角平分线所在直线交于点
E，直接问答∠
BEC
得
度数及点
C
所在得相应位置．

（
2
）如图
2
，在平面直角坐标系
xOy
中，△< br>FGH
得一个顶点
F
在
y
轴得负半轴
上，
射 线
FO
平分∠
GFH
，
过点
H
得直线
MN
交
x
轴于点
M
，
满足∠
MHF=
∠
GHN
，
过点
H
作
HP
⊥
MN
交
x
轴于点
P
，
请探究∠
MPH
与∠
G
得 数量关系，
并写出简要
证明思路．


13
．在△
ABC
中，点
D
为△
ABC
得三条内角平分线得交点，
BE
⊥
AD
于点
E
，


（
1
）当∠
BAC=80°
，∠
ACB=60°
时，∠
BDC=





．∠
DBE=





．

（
2
）当∠
BAC=α
，∠
ACB=β
时，用含有
α
得代数式表示∠
BDC
得度数 ，用含有
β
得代数式表示∠
DBE
得度数．

（
3
）
如图
2
，
若
AD
平分∠
BAC
，
CD
与
BD
分别平分△
ABC
得外角∠
CBM< br>与∠
BCN
，
BE
⊥
AD
于点
E
，
（
2
）中得两个结论就是否发生变化？

14
．如图①，< br>AD
平分∠
BAC
，
AE
⊥
BC
，∠
B=40°
，∠
C=60°

（
1
）求∠
DAE
得度数；

（
2
）如图②，若把
“AE
⊥
BC”
变成
“
点
F在
DA
得延长线上，
FE
⊥
BC”
，其她条件不
变，求∠
DFE
得度数；

（
3
）如图③，若把
“AE
⊥
BC”
变成
“AE
平分∠
BEC”
，其她 条件不变，∠
DAE
得大小
就是否变化，并请说明理由．


15
．如图，
AF
平分∠
BAC
，
DF
平分∠< br>BDC
，求证：∠
AFD=
（∠
H
+
∠
BG C
）
．


16
．
如图，
已知
C D
就是△
ABC
得角平分线，
E
就是
BC
上得点，
∠
B=60°
，
∠
ACE=
∠
CAE=20°．求∠
CDE
得度数．


17
．如图，△
A BC
中，
BD
平分∠
ABC
交
AC
于
D< br>，
CE
平分∠
ACB
交
AB
于
E
，
CE
与
BD
交于
F
，连接
AF
并延长交< br>BC
于
H
，过
F
作
FG
⊥
BC于
G
．

（
1
）若∠
ABC=45°
，∠
ACB=65°
，求∠
HFG
得度数；

（
2
）根据（
1
）中得规律探索∠
ABC
、∠
ACB
与 ∠
HFG
之间得关系；

（
3
）试探究∠
BFH< br>与∠
CFG
得大小关系，并说明理由．


18
．如 图
1
，在△
ABC
中，∠
A=60°
，
∠
CBM
，
∠
BCN
就是△
ABC
得外角，∠
CBM
，
∠
BCN
得平分线
BD
，
CD
交于点< br>D
．

（
1
）求∠
BDC
得度数；

（
2
）在图
1
中，过点
D
作
DE
⊥
BD
，垂足为点
D
，过点
B
作
BF
∥< br>DE
交
DC
得延
长线于点
F
（如图
2
）
，求证：
BF
就是∠
ABC
得平分线．


19
．老师给了小胖同学这样一个问题：

如图
1
，△ABC
中，
BE
就是∠
ABC
得平分线，点
D
就是
BC
延长线上一点，
2
∠
D=
∠
ACB
，若∠
BAC=60°
，求∠
BED

小胖通过探究发现，过点< br>C
作
CM
∥
AD
（如图
2
）
，交< br>BE
于点
M
，将∠
BED
转移
至∠
BMC< br>处，
结合题目已知条件进而得到
CM
为∠
ACB
得平分线，< br>在△
ABC
中求
出∠
BMC
，从而得出∠
BED．

（
1
）请按照小胖得分析，完成此题得解答：

（
2
）参考小胖同学思考问题得方法，解决下面问题：

如图
3
，在△
ABC
中，点
D
就是
AC
延长线上得一 点，过点
D
作
DE
∥
BC
，
DG
平
分∠
ADE
，
BG
平分∠
ABC
，
DG
与
BG
交于点
G
，若∠
A=m°
，求∠
G
得度数（用含
m
得式子表示）
20
．△
ABC
得三条角平分 线相交于点
I
，过点
I
作
DI
⊥
IC
，交
AC
于点
D
．

（
1
）如图
1< br>，求证：∠
AIB=
∠
ADI
；

（
2）如图
2
，延长
BI
，交外角∠
ACE
得平分线于点< br>F
．

①判断
DI
与
CF
得位置关系，并说明理由；

②若∠
BAC=70°
，求∠
F
得度数．



21
．如图
1
，已知△
ABC
，射线
C M
∥
AB
，点
D
就是射线
CM
上得动点，连接AD
．

（
1
）如图
2
，若∠
ACB =
∠
ABC
，∠
CAD
得平分线与
BC
得延长线交 于点
E
．

①若∠
BAC=40°
，
AD
∥
BC
，则∠
AEC
得度数为





；

②在点
D
运动得过程中，探索∠
AEC与∠
ADC
之间得数量关系；

（
2
）
若∠< br>ACB=n
∠
ABC
，
∠
CAD
内部得射线
AE
与
BC
得延长线交于点
E
，
∠
CAE=n∠
EAD
，那么∠
AEC
与∠
ADC
之间得数量关系为





．


22
．如图，在△
ABC
中，点
D
为∠
ABC
得平分线
BD
上一点，连接
AD
，过点
D
作
EF
∥
BC
交
AB
于点
E
，交
AC
于点
F
．


（
1
）如图
1
，若
AD
⊥
BD
于点
D
，∠
BEF=130°
，求∠
BAD
得度数；

（
2
）如图
2
，若∠
ABC= α
，∠
BDA=β
，求∠
FAD
+
∠
C
得 度数（用含
α
与
β
得代数
式表示）
．

2 3
．如图，直线
m
与直线
n
互相垂直，垂足为
O
，
A
、
B
两点同时从点
O
出发，
点
A
沿直线
m
向左运动，点
B
沿直线
n
向上运动．

（
1
）若∠
BAO
与∠
ABO
得平分线相交于点< br>P
，在点
A
、
B
得运动过程中，∠
APB
得 大小就是否会发生变化？若不发生变化，
请求出其值；
若发生变化，
请说明理
由；

（
2
）若△
ABO
得两个外角得平分线
AQ
、
BQ
相交于点
Q
，
AP
得延长线交
QB
得
延长线于点
C
，
在点
A
、
B
得 运动过程中，
∠
Q
与∠
C
得大小就是否会发生变化？
若不发 生变化，请求出∠
Q
与∠
C
得度数；若发生变化，请说明理由．


24
．如图
1
，在△
ABC
中，∠
AB C
得平分线与∠
ACB
得平分线交于点
D
．我们可
以得到一 个一般性得结论∠
BDC=90°
+
∠
A
．
请应用这一结论 ，
解决下面得问题．

（
1
）
如图
2
，< br>过点
D
任意作直线
MN
，
分别交
AB
与AC
于点
M
与
N
，
求∠
MDB
+∠
NDC
得度数（用含∠
A
得代数式表示）
．

（
2
）如图
3
，当过点
D
直线
MN
与< br>AB
得交点仍在线段
AB
上，而与
AC
得交点
在AC
得延长线上时，∠
MDB
、∠
NDC
、∠
A
三者之间存在怎样得数量关系？说
明您得理由．

（
3
）如图4
，当过点
D
直线
MN
与
AB
得交点在线段< br>AB
得延长线上，而与
AC
得交点在线段
AC
上时，
（
2
）问中∠
MDB
、∠
NDC
、∠
A
三 者之间得数量关系就
是否仍然成立？若成立，请说明您得理由；若不成立，请给出∠
MDB、∠
NDC
、
∠
A
三者之间得数量关系，并说明您得理由．

25
．
△
ABC
中，
三个内角得平分线交 于点
O
，
过点
O
作
OD
⊥
OB
，
交边
BC
于点
D
．

（
1
）如图
1
，猜想∠
AOC
与∠
ODC
得关系，并说明您得理由；< br>
（
2
）如图
2
，作∠
ABC
外角∠
ABE
得平分线交
CO
得延长线于点
F
．

①求证：
BF
∥
OD
；

②若∠
F=35°
，求∠
BAC
得度数．


一．解答题（共
25
小题）

1
．如图
1
，在△
ABC
中，∠
B=90°
，分别作其内角∠
ACB
与 外角∠
DAC
得平分线，
且两条角平分线所在得直线交于点
E
．
（
1
）∠
E=

45

°
；

（
2
）分别作∠
EAB
与∠
ECB
得平分线，且两条角平分线交于点
F
．

①依题意在图
1
中补全图形；

②求∠
AFC
得度数；

（
3
）在（
2< br>）得条件下，射线
FM
在∠
AFC
得内部且∠
AFM=
∠
AFC
，设
EC
与
AB
得交点为
H
， 射线
HN
在∠
AHC
得内部且∠
AHN=
∠
AHC
，射线
HN
与
FM
交
于点
P
，若∠
FAH
，∠
FPH
与∠
FCH
满足得数量关系为∠
FCH =m
∠
FAH
+
n
∠
FPH
，
请直接写出
m
，
n
得值．


【解答】
解：
（
1
）如图
1
，∵
EA
平分∠
DAC
，< br>EC
平分∠
ACB
，

∴∠
CAF=
∠DAC
，∠
ACE=
∠
ACB
，

设∠
CAF=x
，∠
ACE=y
，

∵∠
B=90°
，

∴∠
ACB
+
∠
BAC=90°
，

∴
2y
+
180
﹣
2x=90
，

x
﹣
y=45
，

∵∠
CAF=
∠
E
+
∠
ACE
，

∴∠
E=
∠
CAF
﹣∠
ACE=x
﹣
y= 45°
，

故答案为：
45
；

（
2
）①如图
2
所示，

②如图
2
，∵
CF
平分∠
ECB
，

∴∠
ECF=
y
，

∵∠
E
+
∠
EAF=
∠
F
+
∠
ECF
，

∴
45°
+
∠
EAF=
∠
F
+
y



①，

同理可得：∠
E
+
∠
EAB=
∠
B
+
∠
ECB
，

∴
45°
+
2
∠
EAF=90°
+
y
，< br>
∴∠
EAF=
②，

=
∠
F
+
y
，

把②代入①得：
45°
+
∴∠
F=67
、
5°
，

即∠
AFC=67
、
5°
；

（
3
）如图
3
，设∠
FAH=α
，

∵
AF
平分∠
EAB
，

∴∠
FAH=
∠
EAF=α
，

∵∠
AF M=
∠
AFC=
×
67
、
5°
=22
、< br>5°
，

∵∠
E
+
∠
EAF=
∠< br>AFC
+
∠
FCH
，

∴
45
+< br>α=67
、
4
+
∠
FCH
，

∴∠
FCH=α
﹣
22
、
5
①，

∵∠
AHN=
∠
AHC=
（∠
B
+
∠
B CH
）
=
（
90
+
2
∠
FCH
）
=30
+
∠
FCH
，

∵∠
FAH
+
∠
AFM=
∠
AHN
+
∠
FPH
，< br>
∴
α
+
22
、
5=30
+
∠FCH
+
∠
FPH
，②

把①代入②得：∠
F PH=
∵∠
FCH=m
∠
FAH
+
n
∠
F PH
，

α
﹣
22
、
5=mα
+
n
解得：
m=2
，
n=
﹣
3
．

，

，




2
．直线
MN
与直线
PQ
垂直相交于
O
，点
A
在射线OP
上运动，点
B
在射线
OM
上运动．

（< br>1
）如图
1
，已知
AE
、
BE
分别就是∠< br>BAO
与∠
ABO
角得平分线，点
A
、
B
在 运
动得过程中，∠
AEB
得大小就是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不< br>发生变化，试求出其值；

（
2
）如图
2
，延长BA
至
G
，已知∠
BAO
、∠
OAG
得角平分 线与∠
BOQ
得角平分
线及其延长线相交于
E
、
F
，则∠
EAF=

90

°
；在△
AEF
中，如果有一个角就是
另一个角得
3
倍，试求∠
ABO
得度数．

【解答】
解：
（
1
）∠
AEB
得 大小不变，

∵直线
MN
与直线
PQ
垂直相交于
O
，

∴∠
AOB=90°
，

∴∠
OAB
+
∠
OBA=90°
，

∵< br>AE
、
BE
分别就是∠
BAO
与∠
ABO
角 得平分线，

∴∠
BAE=
∠
OAB
，∠
ABE=
∠
ABO
，

∴∠
BAE
+
∠
A BE=
（∠
OAB
+
∠
ABO
）
=
×90°
=45°
，

∴∠
AEB=135°
；

（
2
）∵
AE
、
AF
分别就是∠
BAO< br>与∠
OAG
得角平分线，

∴∠
EAO=
∠
BAO
，∠
FAO=
∠
GAO
，

∴∠
E AF=
（∠
BAO
+
∠
GAO
）
=
×180°
=90°
．

故答案为：
90
；
< br>∵∠
BAO
与∠
BOQ
得角平分线相交于
E
，

∴∠
EAO=
∠
BAO
，∠
EOQ=
∠
BOQ
，

∴∠
E=
∠
EOQ
﹣∠
EA O=
（∠
BOQ
﹣∠
BAO
）
=
∠
ABO
，

即∠
ABO=2
∠
E
，

在 △
AEF
中，∵有一个角就是另一个角得
3
倍，故分四种情况讨论：

①∠
EAF=3
∠
E
，∠
E=30°
，则∠
ABO=60°
；

②∠
EAF=3
∠
F
，∠< br>E=60°
，∠
ABO=120°
（舍去）
；

③∠
F=3
∠
E
，∠
E=22
、
5°
，∠ABO=45°
；

④∠
E=3
∠
F
，∠E=67
、
5°
，∠
ABO=135°
（舍去）
．
∴∠
ABO
为
60°
或
45°
．


3
．已知，在△
ABC
中，∠
A=
∠
C
，点
F
与
E
分别为射线
CA
与射线
BC< br>上一点，
连接
BF
与
FE
，且∠
BFE=
∠
FEB
．

（
1
）如图
1
，当点
F
在线段
AC
上时，若∠
FBE=2
∠
ABF
，则 ∠
EFC
与∠
FBE
得数
量关系为

∠
ABF=2
∠
EFC

．

（
2
）如图
2
，当点
F
在
CA
延长线上时，探究∠< br>EFC
与∠
FBA
得数量关系，并说
明理由．

（< br>3
）如图
3
在（
2
）得条件下，过
C
作CH
⊥
AB
于点
H
，
CN
平分∠
BC H
，
CN
交
AB
于
N
，由
N
作< br>NM
⊥
NC
交
CF
于
M
，若∠
BF E=5
∠
FBA
，
MN
∥
FB
时，求∠
A BC
得度数．


【解答】
解：
（
1
）如 图
1
中，设∠
EFC=z
，∠
ABF=x
，∠
A=
∠
C=y
，


∵
BE=BF
，

∵∠
BEF=
∠
BFE
，∠
BEF=y
+
z
，

∴∠
BFE=y
+
z
，

∵∠
BFC=
∠
A
+
∠
ABF
，

∴
y
+
z
+
z=x
+
y
，

∴
x=2z
，

∴∠
ABF=2
∠
EFC
．

故答案为∠
ABF=2
∠
EFC
．

（
2
）结论：∠
ABF=2
∠
EFC
．

理由；如图
2
中，


设∠
EFC=z
， ∠
ABF=x
，∠
BAC=
∠
BCA=y
，
∵∠
BAC=
∠
ABF
+
∠
BFA
，∠
ACB=
∠
EFC
+
∠
E
，

∴∠BFA=y
﹣
x
，∠
E=y
﹣
z
，

∵∠
E=
∠
BFE
，

∴
y
﹣< br>x
+
z=y
﹣
z
，

∴
x=2z
，

∴∠
ABF=2
∠
EFC
．

（
3
）如图
3
中，


设∠
EFC=x
，则∠
ABF=2x
，

∵∠
BFE=5
∠
ABF
，

∴∠
E=
∠
BFE=10x
，

∵
MN
∥
BF
，

∴∠
MNA=
∠
ABF=2x
，

∵∠
A NM
+
∠
ANC=90°
，∠
ANC
+
∠
NCH=90°
，

∴∠
HCN=
∠
ANM=
∠< br>BCN=2x
，

∴∠
BCH=4x
，∠
CBH=9 0°
﹣
4x
，

在△
BEF
中，∵∠
EB F
+
∠
E
+
∠
BFE=180°
，
∴
2x
+
90°
﹣
4x
+
10x
+< br>10x=180°
，

∴
x=5
，

∴∠
ABC=90°
﹣
4x=70°
．

4
．
（
Ⅰ
）
（
1
）问题引入
< br>如图①，在△
ABC
中，点
O
就是∠
ABC
与∠ACB
平分线得交点，若∠
A=α
，则∠
BOC=

90°
+
∠
α

（用
α
表示）
；

（
2
）拓展研究

如图②，
∠
CBO=
∠
ABC
，
∠
BCO=
∠
ACB
，
∠
A=α
，
试求∠
BOC
得度数

120°
+
∠
α

（用
α
表示）

（
3
）归纳猜想

若
BO
、
CO
分别就是△
ABC
得∠
ABC
、
∠
ACB
得
n
等分线，
它们交于点
O
，
∠
CBO=
∠
ABC
，
∠
BCO=
∠
ACB
，
∠
A= α
，
则∠
BOC=

（
Ⅱ
）类比探索

（
1
）特例思考

如图③，
∠
CBO=
∠
DBC
，
∠
BCO=
∠
ECB
，
∠
A=α
，
求∠
BOC
得度数
（用
α
表示）
．

（
2
）一般猜想

若
BO
、
CO
分别就是△
ABC
得外角∠
DBC
、∠
ECB
得
n
等分线，它们交于点
O
，
∠
CBO=
∠DBC
，∠
BCO=
∠
ECB
，∠
A=α
，请 猜想∠
BOC=

（用
α
表示）
．



（用
α
表示）
．


【解答】
解：
（
Ⅰ
）
（
1
）如图①，∵点
O
就是∠
ABC
与∠
ACB
平分线得交点，

∴∠
CBO=
∠
ABC
，∠
BCO=
∠
ACB
，而∠
A =α
，

∴∠
BOC=180°
﹣
（∠
ABC+
∠
ACB
）

=180°
﹣
（
180°
﹣∠
A
）

=180°
﹣
（
180°
﹣∠
α
）

=180°
﹣
90°
+
∠
α

=90°
+
∠
α
，

故答案为：
90°
+
∠
α
；

（
2
）如图②，∵∠
CBO=
∠
ABC
，∠
BCO=
∠
ACB
，∠
A=α
，

∴∠
BOC=180°< br>﹣
（∠
ABC
+
∠
ACB
）

=180°
﹣
（
180°
﹣∠
A
）

=180°
﹣
（
180°
﹣∠
α
）

=180°
﹣
60°
+
∠
α

=120°
+
∠
α
，

故答案为：
120°
+
∠
α
；

（
3
）∵∠
CBO=
∠
ABC
，∠
BCO=
∠ACB
，∠
A=α
，

∴∠
BOC=180°
﹣
（∠
ABC
+
∠
ACB
）

=180°
﹣
（
180°
﹣∠
A
）

=180°
﹣
（
180°
﹣∠
α
）

=180°
﹣
×
180°
+
∠
α

=
，

故答案为：
；

（
Ⅱ
）< br>（
1
）如图③，∵∠
CBO=
∠
DBC
，∠
BCO=
∠
ECB
，∠
∴∠
BOC=180°
﹣
（ ∠
DBC
+
∠
ECB
）

=180°
﹣< br>[
360°
﹣（∠
ABC
+
∠
ACB
）]

=180°
﹣
[
360°
﹣（
180°< br>﹣∠
A
）
]

=180°
﹣
（
18 0°
+
∠
α
）

=180°
﹣
60°
﹣
∠
α

=120°
﹣
∠
α
；

（
2
）∵ ∠
CBO=
∠
DBC
，∠
BCO=
∠
ECB
，∠
A=α
，

∴∠
BOC=180°
﹣
（∠< br>DBC
+
∠
ECB
）

A=α
，

=180°
﹣
[
360°
﹣（∠
ABC
+
∠
ACB
）
]

=180°
﹣
[
360°
﹣（
180°
﹣∠
A
）
]

=180°< br>﹣
（
180°
+
∠
α
）

=
故答案为：
，

．


5
．< br>（
1
）如图①，把△
ABC
纸片沿
DE
折叠，使点< br>A
落在四边形
BCED
内部点
A′
得位置．试写出∠
A
与∠
1
+
∠
2
之间得关系，并说明理由；
（
2
）如果把△
ABC
纸片沿
DE
折叠，使点
A
落在四边形
BCED
外部点
A′
得位置，
如图②所示．此 时∠
A
与∠
1
、∠
2
之间存在什么样得关系？直接写出
2
∠
A=
∠
1
﹣∠
2

．

（
3
）
如果把四边形
ABCD
沿EF
折叠，
使点
A
、
D
分别落在四边形
BCF E
内部点
A′
、
D′
得位置，如图③所示．直接写出∠
A′
、∠
D′
、∠
1
与∠
2
之间得关系
2
（∠
A'
+
∠
D'
）
=
∠
1
+
∠
2
+
360°

．

< br>【解答】
解：
（
1
）如图，根据翻折得性质，∠
3=
（
180
﹣∠
1
）
，∠
4=
（
180﹣
∠
2
）
，

∵∠
A
+
∠< br>3
+
∠
4=180°
，

∴∠
A
+
（
180
﹣∠
1
）
+
（
180
﹣ ∠
2
）
=180°
，

整理得，
2
∠A=
∠
1
+
∠
2
；


（< br>2
）根据翻折得性质，∠
3=
（
180
﹣∠
1
）
，∠
4=
（
180
+
∠
2
）
，

∵∠
A
+
∠
3
+
∠
4=18 0°
，

∴∠
A
+
（
180
﹣∠
1
）
+
（
180
+
∠
2
）
=18 0°
，

整理得，
2
∠
A=
∠
1
﹣∠
2
；

（
3
）根据翻折得性质，∠
3=
（
180
﹣∠
1
）
，∠
4=
（
180< br>﹣∠
2
）
，

∵∠
A
+
∠
D
+
∠
3
+
∠
4=360°
，

∴∠
A
+
∠
D
+
（
180
﹣∠
1
）
+
（
180
﹣∠
2
）
=360°
，

整理得，
2
（∠
A
+
∠
D
）
=
∠
1
+
∠
2
+
360°
，< br>
即
2
（∠
A'
+
∠
D'
）
=
∠
1
+
∠
2
+
360°
．

6
．已知
BM
、
CN
分别就是△
A
1BC
得两个外角得角平分线，
BA
2
、
CA
2
分别就是∠
A
1
BC
与∠
A
1
CB
得角平 分线，
如图①；
BA
3
、
CA
3
分别就是∠
A
1
BC
与∠
A
1
CB
得三等
分线（即 ∠
A
3
BC=
∠
A
1
BC
，∠
A
3
CB=
∠
A
1
CB
）
，如图②；依此画 图，
BA
n
、
CA
n
分别就是∠
A
1BC
与∠
A
1
CB
得
n
等分线
（即∠
A
n
BC=
∠
A
1
BC
，
∠A
n
CB=
∠
A
1
CB
）
，
n
≥
2
，且
n
为整数．

（
1
） 若∠
A
1
=70°
，求∠
A
2
得度数；

（
2
）设∠
A
1
=α
，请用
α
与
n
得代数式表示∠
A
n
得大小，并写出表示得过程；
（
3
）当
n
≥
3
时，请直接写出∠
MBAn
+
∠
NCA
n
与∠
A
n
得数量关系 ．


【解答】
解：
（
1
）∵∠
A
1
=70°
，

∴∠
A
1
BC
+
∠
A
1
CB=180°
﹣
70°
=110°
，< br>
∵
BA
2
、
CA
2
分别就是∠
A
1
BC
与∠
A
1
CB
得角平分线，
∴∠
A
2
BC
+
∠
A
2
CB=
×
110°
=55°
，

∴∠
A
2
=1 80°
﹣
55°
=125°
．

（
2
）在 △
A
1
BC
中，∠
A
1
BC
+
∠
A
1
CB=180°
﹣
α
，

∵∠
A
n
BC=
∠
A
1
BC
，∠
A
n
CB=
∠
A
1
CB
，

∴∠
A
n
BC
+
∠
A
n
CB=
（∠
A< br>1
BC
+
∠
A
1
CB
）
=
（
180°
﹣
α
）
，

∴∠
A
n
=180°
﹣（∠
A
n
BC
+
∠
A
n
CB
）
=180°
﹣
（
180°
﹣
α
）
；

（
3
）
2
（∠
MBAn
+
∠
NCA
n
）
+
（
n
﹣
2
）∠
A
n
=180°
n
．

理 由：如图②，∵
BM
、
CN
分别就是△
A
1
BC< br>得两个外角得角平分线，

∴∠
MBE=
∠
A
1BE=
（
180°
﹣∠
A
1
BC
）
，

∠
NCF=
∠
A
1
CF=
（
1 80°
﹣∠
A
1
CB
）
，

∴∠
MBA
n
+
∠
NCA
n
=360°
﹣（∠
MBE
+
∠
NCF
）﹣（∠
A
n
BC
+< br>∠
A
n
CB
）

=360°
﹣
（< br>180°
﹣∠
A
1
BC
）﹣
（
180°﹣∠
A
1
CB
）﹣（
180°
﹣∠
A
n
）

=
（∠
A
1
BC
+
∠A
1
CB
）
+
∠
A
n

=< br>（
180°
﹣∠
A
1
）
+
∠
An

由（
2
）可得，∠
A
n
=180°
﹣
（
180°
﹣∠
A
1
）
，

∴∠
A
1
=n
∠
A
n
﹣
180°
n
+
180°
，

∴∠
MBA
n
+
∠
NCA
n
=
（
180°
﹣
n
∠
A
n
+
180°
n
﹣
180°
）
+∠
A
n

=90°
n
﹣
∠
A
n

∴
2（∠
MBA
n
+
∠
NCA
n
）
+（
n
﹣
2
）∠
A
n
=180°
n．


7
．如图，在△
ABC
中，
AD
⊥
BC
，垂足为
D
，
AE
平分∠
BAC
，且∠
ABC
＞∠
C
．

求证：∠
DAE=
（∠
ABC
﹣∠
C
）
．


【解答】
证明：∵
AD
⊥
BC
，

∴∠
D=90°
，

∵∠
ABC
就是△
ABD
得外角，

∴∠
DAB=
∠
ABC
﹣∠
D=
∠
ABC
﹣
9 0°
，

∵
AE
平分∠
BAC
，

∴∠
BAE=
∠
BAC
，

在△
ABC< br>中，∠
BAC=180°
﹣∠
ABC
﹣∠
C
，

∴∠
BAE=90°
﹣
∠
ABC
﹣
∠
C
，

∵∠
DAE=
∠
DAB
+
∠
BAE
，

∴∠
DAE=
∠
ABC
﹣
9 0°
+
90°
﹣
∠
ABC
﹣
∠
C=
∠
ABC
﹣
∠
C
，

即：∠
DAE=< br>（∠
ABC
﹣∠
C
）
．

8
．如
图
，
在
△
ABC
中
，
AD
，
BD
分
别
平
分
∠
CAB
与
∠< br>CBA
，
相
交
于
点
D
．

（
1
）如图
1
，过点
D
作
DE
∥
AC
，
DF
∥
BC
分别交
AB
于点
E、
F
．

①若∠
EDF=80°
，则∠
C=

80°

；

②若∠
EDF=x°
，证明：∠
ADB=
（< br>90
+
）
°
．

（
2
）如图
2
，若
DE
，
BE
分别平分∠
ADB
与∠
ABD
，且
EF
，
BF
分别平分∠
BED
与∠
EBD
，若∠
BFE
得度数就是整数，求∠
BFE
至 少就是多少度？

磅礴的意思-七年级英语试题

磅礴的意思-七年级英语试题

磅礴的意思-七年级英语试题

磅礴的意思-七年级英语试题

磅礴的意思-七年级英语试题

磅礴的意思-七年级英语试题

磅礴的意思-七年级英语试题

磅礴的意思-七年级英语试题