摩羯是什么动物-小学德育计划

2021年1月19日发(作者：卓植深)







初
一
数
学
压
轴
题

集团企业公司编码：（
LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-I TT289-

一．解答题（共
19
小题）

1
． （
2013
扬州）如果
10
=n
，那么
b
为
n
的劳格数，记为
b=d
（
n
），由定义可
知：
10
=n
与
b=d
（
n
）所表示的
b
、< br>n
两个量之间的同一关系．

（
1
）根据劳格数的定义，填空 ：
d
（
10
）
=





，
d
（
10
﹣
2
）
=





；

（
2
） 劳格数有如下运算性质：若
m
、
n
为正数，则
d
（
mn
）
=d
（
m
）
+d
（
n
），
d
（
）
=d
（
m
）﹣
d
（
n
）．

根据运算性质，填空：
=





（
a
为正数），若
d
（
2
）
=
，则
d
b
b
（
4
）
=





，
d
（
5
）
=





，
d
（）
=





；

（
3
）如表中与数
x
对应的劳格数
d
（
x
）有且只有两个是错误的，请找出错误
的劳格数，说明理由并 改正．


x

3

5

d
（
x
）

3a
﹣
b+c

2a
﹣
b

a+c

6

8

9

12

27

1+a
﹣
b
﹣
c

3
﹣
3a
﹣
3c

4
a
﹣
2b

3
﹣
b
﹣
2c

6
a
﹣
3b

2
．（
2012
安庆一模）先阅读下列材料，再解答后面的问题．

一般地，若
a
n
=b
（
a
＞
0
且
a≠1，
b
＞
0
），则
n
叫做以
a
为底
b
的对数，记为
log
a
b
（即
loga
b=n
）．如
3
4
=81
，则
4
叫 做以
3
为底
81
的对数，记为
log
3
81
（即
log
3
81=4
）．

（
1
）计算以下各对数的值：
log
2
4=





，
log
2
16=





，
log
2
64=





．

（
2
）观察（1
）中三数
4
、
16
、
64
之间满足怎样的关 系式，
log
2
4
、
log
2
16
、log
2
64
之间又满足怎样的关系式；

（
3
）猜想一般性的结论：
log
a
M+log
a
N=





（
a
＞
0
且
a ≠1，
M
＞
0
，
N
＞
0
），并根据幂的运 算法则：
a
m
a
n
=a
m+n
以及对数的含义证明 你的猜想．



3
．（
2012
沈阳模拟）认真阅读材料，然后回答问题：

我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开
式，如：（
a+b
）
=a+b
，（
a+b
）
=a
+2ab+b
，（
a+b
）
=
（
a+b
）
（
a+b< br>）
=a
3
+3a
2
b+3ab
2
+b
3
，…

下面我们依次对（
a+b
）
n
展开式的 各项系数进一步研究发现，当
n
取正整数时
可以单独列成表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用
你发现的规律回答下列 问题：

（
1
）多项式（
a+b
）
n
的展 开式是一个几次几项式并预测第三项的系数；

（
2
）请你预测一下多项式（
a+b
）
n
展开式的各项系数之和．

（
3
）结合上述材料，推断出多项式（
a+b
）
n
（
n
取正整 数）的展开式的各项系
数之和为
S
，（结果用含字母
n
的代数式表示 ）．

4
．（
2009
佛山）阅读材料：把形如
ax
2
+bx+c
的二次三项式（或其一部分）配
成完全平方式的方法叫做配方法．配方 法的基本形式是完全平方公式的逆写，
即
a
2
±2
ab+b
2
=
（a±b）
2
．

例如：（
x
﹣1
）
2
+3
、（
x
﹣
2
）
2
+2x
、（
x
﹣
2
）
2
+
x2
是
x
2
﹣
2x+4
的三种不同形
式的配方（ 即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部
分）．

请根据阅读材料 解决下列问题：（
1
）比照上面的例子，写出
x
2
﹣
4x+ 2
三种不
同形式的配方；（
2
）将
a
2
+ab+b
2
配方（至少两种形式）；（
3
）已知
a
2
+b< br>2
+c
2
﹣
ab
﹣
3b
﹣
2c+4 =0
，求
a+b+c
的值．

5
．（
2007东营）根据以下
10
个乘积，回答问题：

1
2
2
2
3
2


11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；

16×24；17×23；18×22；
19×21；20×20．

（1
）试将以上各乘积分别写成一个“□
2
﹣
2
”（两数平方差） 的形式，并写出
其中一个的思考过程；

（
2
）将以上
10
个乘积按照从小到大的顺序排列起来；

（
3
）若用
a1b1
，
a2b2
，…，
a nbn
表示
n
个乘积，其中
a1
，
a2
，
a
3
，…，
a
n
，
b
1
，
b2
，
b
3
，…，
b
n
为正数．试由（
1
）、（
2
）猜测一个一般性的结论．（不要
求证明）

6
．（
2006
浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这
个正整数为“神秘数”．如：
4=2
2
﹣
0
2
，
12=4
2
﹣
2
2
，
20=6
2
﹣
4
2
，因此
4
，
12
，
20
都是“神秘 数”

（
1
）
28
和
2012
这两个数是 “神秘数”吗为什么

（
2
）设两个连续偶数为
2k+2
和
2k
（其中
k
取非负整数），由这两个连续偶数
构造的神秘数是4
的倍数吗为什么

（
3
）两个连续奇数的平方差（
k
取正数）是神秘数吗为什么

8
．（
2015
于洪区一模） 如图
1
，在△ABC
中，∠ACB
为锐角，点
D
为射线BC
上
一点，连接
AD
，以
AD
为一边且在
A D
的右侧作正方形
ADEF
．

（
1
）如果
AB=AC
，∠BAC=90°，

① 当点
D
在线段
BC
上时（与点
B
不重合），如图
2
，线段
CF
、
BD
所在直线的
位置关系为






，线段
CF
、
BD
的数量关系为






；

②当点
D
在线段
BC
的延长线上时，如图
3
，①中的结论是否仍然成立，并说明
理由；



（
2
）如果
AB≠AC，∠BAC
是锐角，点
D
在线段
BC
上，当∠ACB
满足什么条件
时，CF⊥BC （点
C
、
F
不重合），并说明理由．

9
．（2015
菏泽）如图，已知∠ABC=90°，
D
是直线
AB
上 的点，
AD=BC
．

（
1
）如图
1
，过 点
A
作
AF⊥AB，并截取
AF=BD
，连接
DC
、
DF
、
CF
，判断△CDF
的形状并证明；

（
2
）如图
2
，
E
是直线
BC
上一点，且< br>CE=BD
，直线
AE
、
CD
相交于点
P
， ∠APD
的度数是一个固定的值吗若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．

1 0
．（
2015
铁岭一模）已知：△ABC
中，
BD
、CE
分别是
AC
、
AB
边上的高，
BQ=AC
，点
F
在
CE
的延长线上，
CF=AB
，求证：AF⊥AQ ．

11
．（
2013
庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三 角形△ABD、△ACE
拼
在一起（图
1
）．△ABD
不动，

（
1
）若将△ACE
绕点
A
逆时针旋转，连接
DE
，
M
是
DE
的中点，连接
MB
、
MC
（图
2
），证明：
MB=MC
．

（
2< br>）若将图
1
中的
CE
向上平移，∠CAE
不变，连接
DE
，
M
是
DE
的中点，连接
MB
、
MC
（图
3
），判断并直接写出
MB
、
MC
的数量关系 ．

（
3
）在（
2
）中，若∠CAE
的大小改变（ 图
4
），其他条件不变，则（
2
）中的
MB
、
MC
的数量关系还成立吗说明理由．

12
．（
2012
昌平区 模拟）（
1
）如图，在四边形
ABCD
中，
AB=AD
，< br>∠B=∠D=90°，
E
、
F
分别是边
BC
、
CD
上的点，且∠EAF=
∠BAD．

求证：
EF=BE+FD
；

（
2
）如图，在四边 形
ABCD
中，
AB=AD
，∠B+∠D=180°，
E
、
F
分别是边
BC
、
CD
上的点，且∠EAF=
∠B AD，（
1
）中的结论是否仍然成立



（
3< br>）如图，在四边形
ABCD
中，
AB=AD
，∠B+∠ADC=180 °，
E
、
F
分别是边
BC
、
CD
延长线上 的点，且∠EAF=
∠BAD，（
1
）中的结论是否仍然成立若成立，请
证明 ；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

13
．（
2011泰安）已知：在△ABC
中，
AC=BC
，∠ACB=90°，点
D是
AB
的中
点，点
E
是
AB
边上一点．

（
1
）直线
BF
垂直于直线
CE
于点
F
，交
CD
于点
G
（如图
1
），求证：
A E=CG
；

（
2
）直线
AH
垂直于直线
CE
，垂足为点
H
，交
CD
的延长线于点
M
（如图
2
），
找出图中与
BE
相等的线段，并证明．

1 4
．（
2005
扬州）（本题有
3
小题，第（
1
） 小题为必答题，满分
5
分；第
（
2
）、（
3
）小题 为选答题，其中，第（
2
）小题满分
3
分，第（
3
）小题满 分
6
分，请从中任选
1
小题作答，如两题都答，以第（
2
） 小题评分．）

在△ABC
中，∠ACB=90°，
AC=BC
，直 线
MN
经过点
C
，且
AD⊥MN
于
D
，B E⊥MN
于
E
．

（
1
）当直线
MN绕点
C
旋转到图
1
的位置时，求证：

①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（
2
）当直线MN
绕点
C
旋转到图
2
的位置时，求证：
DE=AD< br>﹣
BE
；

（
3
）当直线
MN
绕点
C
旋转到图
3
的位置时，试问
DE
、
AD
、
BE
具有怎样的等量
关系请写出这个等量关系，并加以证明．

注 意：第（
2
）、（
3
）小题你选答的是第
2
小题．

15
．（
2012
淮安）阅读理解

如图
1
，△ABC
中，沿∠BAC
的平分线
AB
1
折叠，剪掉重复部分； 将余下部分沿
∠B
1
A
1
C
的平分线
A
1
B
2
折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B
n
A
n< br>C
的平分线


A
n
B
n+1
折叠 ，点
B
n
与点
C
重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，< br>∠BAC
是△ABC
的好角．

小丽展示了确定∠BAC
是△ ABC
的好角的两种情形．情形一：如图
2
，沿等腰三
角形
ABC< br>顶角∠BAC
的平分线
AB
1
折叠，点
B
与点
C
重合；情形二：如图
3
，沿
∠BAC
的平分线
AB1
折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B
1
A
1
C
的 平分线
A
1
B
2
折
叠，此时点
B
1
与点
C
重合．

探究发现

（
1
）△A BC
中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC
是不是△ABC
的好角






（填“是”或“不是”）．

（
2
）小丽经过三次折叠发现了∠BAC
是△ABC
的好角，请探究∠B与∠C（不妨
设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过
n
次折 叠∠BAC
是
△ABC
的好角，则∠B
与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等 量关系
为






．

应用提升

（
3
）小丽找到一个三角形，三个角分别为
15 °、60°、105°，发现
60°和
105°的两个角都是此三角形的好角．
请你完成，如果一个三角形的最小角是
4°，试求出三角形另外两个角的度
数，使该三角形 的三个角均是此三角形的好角．

16
．（
2011
房山区一模）已知：等边三角形
ABC
（
1
）如图
1
，
P
为等边△ABC
外一点，且∠B PC=120°．试猜想线段
BP
、
PC
、
AP
之间的数量 关系，并证明你的猜想；

（
2
）如图
2
，
P为等边△ABC
内一点，且∠APD=120°．求证：
PA+PD+PC
＞BD
．



17
．（
2010
丹东 ）如图，已知等边三角形
ABC
中，点
D
，
E
，
F
分别为边
AB
，
AC
，
BC
的中点，
M< br>为直线
BC
上一动点，△DMN
为等边三角形（点
M
的位置改 变
时，△DMN
也随之整体移动）．

（
1
）如图
1
，当点
M
在点
B
左侧时，请你判断
EN
与
MF
有怎样的数量关系点
F
是否在直线
NE
上都请直接写出结论， 不必证明或说明理由；

（
2
）如图
2
，当点
M< br>在
BC
上时，其它条件不变，（
1
）的结论中
EN
与
MF
的数
量关系是否仍然成立若成立，请利用图
2
证明；若不成立， 请说明理由；

（
3
）若点
M
在点
C
右侧 时，请你在图
3
中画出相应的图形，并判断（
1
）的结
论中
EN
与
MF
的数量关系是否仍然成立若成立，请直接写出结论，不必证明或
说 明理由．

18
．（
2006
西岗区）如图，以△ABC
的 边
AB
、
AC
为直角边向外作等腰直角
△ABE
和△ACD ，
M
是
BC
的中点，请你探究线段
DE
与
AM之间的关系．

说明：（
1
）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的 方法，请你把探索过程
中的某种思路写出来（要求至少写
3
步）；

（
2
）在你经历说明（
1
）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或 更
换已知条件，完成你的证明．

①画出将△ACM
绕某一点顺时针旋转
180°后的图形；

②∠BAC=90°（如图）

附加题：如图，若以△ABC
的边
A B
、
AC
为直角边，向内作等腰直角△ABE
和
△ACD，其它条件 不变，试探究线段
DE
与
AM
之间的关系．



19
．（
2006
大连）如图
1
，Rt△ABC
中
AB=AC
，点
D
、
E
是线段
AC
上两动 点，且
AD=EC
，
AM
垂直
BD
，垂足为
M，
AM
的延长线交
BC
于点
N
，直线
BD与直线
NE
相
交于点
F
．试判断△DEF
的形状，并加 以证明．

说明：（
1
）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请 你把探索过程
中的某种思路写出来（要求至少写
3
步）；（
2
）在你 经历说明（
1
）的过程之
后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完 成你的证明．

1
、画出将△BAD
沿
BA
方向平移
BA
长，然后顺时针旋转
90°后图形；

2
、点
K在线段
BD
上，且四边形
AKNC
为等腰梯形（AC∥KN，如图
2
）．

附加题：如图
3
，若点
D
、
E
是直线
AC
上两动点，其他条件不变，试判断△DEF
的形状，并说明理由．

参考答案与试题解析

一．解答题（共
19
小题）

1
．（
2013扬州）如果
10
b
=n
，那么
b
为
n
的劳格数，记为
b=d
（
n
），由定义可
知：
10
b
=n
与
b=d
（
n
）所表示的
b
、n
两个量之间的同一关系．

（
1
）根据劳格数的定义，填空：
d
（
10
）
=
1
，
d
（
10
﹣
2
）
=
﹣
2
；

（
2
）劳格数有如下运算性质：

若
m
、
n
为正数，则
d
（
mn
）
=d
（
m
）
+d
（
n
），
d
（
）
=d
（
m
）﹣
d
（
n
）．

根据运算性质，填空：

=
3
（
a
为正数）， 若
d
（
2
）
=
，则
d
（
4
）
=

，
d
（
5
）
=

，
d
（）
=
﹣

；

（
3
）如表中与数
x
对应的劳格数
d
（
x
）有且只 有两个是错误的，请找出错误
的劳格数，说明理由并改正．




x

3

5

d
（
x
）

3a
﹣
b+c

2a
﹣
b

a+c

6

8

9

12

27

1+a
﹣
b
﹣
c

3
﹣
3a
﹣
3c

4
a
﹣
2b

3
﹣
b
﹣
2c

6
a
﹣
3b

【考点】
整式的混合运算；反证法．

【专题】
压轴题．

【分析】
（
1
）根据定义可知，
d
（
10
）和
d
（
10
﹣
2
）就是指
10
的指数， 据此即
可求解；

（
2
）根据
d
（
a3
）
=d
（
aaa
）
=d
（
a
）
+d
（
a
）
+d
（
a
）即可求得的值；

（
3
）通过
9=3
2
，
27 =3
3
，可以判断
d
（
3
）是否正确，同理以依据
5=10÷2，假
设
d
（
5
）正确，可以求得
d
（
2
）的值，即可通过
d
（
8
），
d
（12
）作出判断．

【解答】
解：（
1
）
d< br>（
10
）
=1
，
d
（
10
﹣
2
）
=
﹣
2
；

故答案为：
1
，﹣
2
；

（
2
）
=
=3
；

因为
d
（
2
）
=
故
d
（
4
）
=d
（
2
）
+d
（
2
）< br>=
，

d
（
5
）
=d
（
1 0
）﹣
d
（
2
）
=1
﹣
=
，
d
（）
=d
（8×10
﹣
2
）
=3 d
（
2
）
+d
（
10
﹣
2
）=
﹣；

（
3
）若
d
（
3
） ≠2a﹣
b
，则
d
（
9
）
=2d
（
3
）≠4a﹣
2b
，

d
（
27
）=3d
（
3
）≠6a﹣
3b
，

从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，

∴d（
3
）
=2a
﹣
b
，

若< br>d
（
5
）≠a+c，则
d
（
2
）
= 1
﹣
d
（
5
）≠1﹣
a
﹣
c
，< br>
∴d（
8
）
=3d
（
2
）≠3﹣
3a
﹣
3c
，



d
（
6）
=d
（
3
）
+d
（
2
）≠1+a﹣
b
﹣
c
，

表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．

∴d（
5
）
=a+c
．

∴表中只有
d< br>（）和
d
（
12
）的值是错误的，应纠正为：

d< br>（）
=d
（
3
）
+d
（
5
）﹣1=3a
﹣
b+c
﹣
1
，

d
（12
）
=d
（
3
）
+2d
（
2
）
=2
﹣
b
﹣
2c
．

【点评】
本题考查整式的运算，正确理解规定的新的运算法则是关键．

2
．（
2012
安庆一模）先阅读下列材料，再解答后面的问题．

一般地，若
a
n
=b
（
a
＞
0
且
a≠1，
b
＞
0
），则
n
叫做以
a
为底
b
的对数，记为
log
a
b
（即
loga
b=n
）．如
3
4
=81
，则
4
叫 做以
3
为底
81
的对数，记为
log
3
81
（即
log
3
81=4
）．

（
1
）计算以下各对数的值：
log
2
4=
2
，
log
2
16=
4
，
log
2
64=
6
．

（
2
）观察（
1
）中三数
4
、
16
、
64< br>之间满足怎样的关系式，
log
2
4
、
log
216
、
log
2
64
之间又满足怎样的关系式；
（
3
）猜想一般性的结论：
log
a
M+log
aN=
log
a
（
MN
）

（
a＞
0
且
a≠1，
M
＞
0
，
N
＞
0
），并根据幂的运算法则：
a
m
a
n
=am+n
以及对数的含义证明你的猜想．

【考点】
同底数幂的乘法．

【专题】
压轴题；新定义．

【分析】
（
1
）根据材料叙述，结合
2
2
=4，
2
4
=16
，
2
6
=64
即可得出 答案；

（
2
）根据（
1
）的答案可得出
log< br>2
4
、
log
2
16
、
log
2< br>64
之间满足的关系式；

（
3
）设
log
a
M=b
1
，
log
a
N=b
2
，则a
b1
=M
，
a
b2
=N
，分别表示出
MN
及
b
1
+b
2
的值，即
可得出猜想．



【解答】
解：（
1
）
log
2< br>4=2
，
log
2
16=4
，
log
264=6
；

（
2
）
log
2
4+l og
2
16=log
2
64
；

（
3）猜想
log
a
M+log
a
N=log
a
（
MN
）．

证明：设
log
a
M=b
1< br>，
log
a
N=b
2
，则
a
b1
= M
，
a
b2
=N
，

故可得
MN=ab1
a
b2
=a
b1+b2
，
b
1
+ b
2
=log
a
（
MN
），

即
log
a
M+log
a
N=log
a
（
MN
）．

【点评】
本题考查了同底数幂的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材
料的形式给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息．

3
．（
2012
沈阳模拟）认真阅读材料，然后回答问题：

我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开
式，如：（
a+b
）
1
=a+b
，（
a+b
）
2
=a
2
+2ab+b
2
，（
a+b
）
3
=
（
a+b
）
2
（
a+b
）
=a
3
+ 3a
2
b+3ab
2
+b
3
，…

下面我 们依次对（
a+b
）
n
展开式的各项系数进一步研究发现，当
n取正整数时
可以单独列成表中的形式：

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角 形”；仔细观察“杨辉三角形”，用
你发现的规律回答下列问题：

（
1）多项式（
a+b
）
n
的展开式是一个几次几项式并预测第三项的系数；

（
2
）请你预测一下多项式（
a+b
）
n
展开式的各项系数之和．

（
3
）结合上述材料，推断出多项式（
a+b
）
n
（
n
取正整数）的展开式的各项系
数之和为S
，（结果用含字母
n
的代数式表示）．

【考点】
完全平方公式．

【专题】
压轴题；阅读型；规律型．



【分析】
（
1
）由题意可求得当
n=1
，
2
，
3
，
4
，…时，多项式（
a+b
）
的展开式
是一个几次几项式 ，第三项的系数是多少，然后找规律，即可求得答案；

（
2
）首先求得当< br>n=1
，
2
，
3
，4…时，多项式（
a+b
）
展开式的各项系数之和，
即可求得答案；

（
3
）结合（
2
），即可推断出多项式（
a+b
）
n
（
n
取正整数）的展开式的各项系
数之和．

【解答】
解：（
1
）∵当
n=1
时，多项式（
a+b
）
1
的展开式是一次二 项式，此时
第三项的系数为：
0=
，

n
n
当n=2
时，多项式（
a+b
）
2
的展开式是二次三项式，此时第 三项的系数为：
1=
，

当
n=3
时，多项式（
a +b
）
3
的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：
3=
，
当
n=4
时，多项式（
a+b
）
4
的展开式 是四次五项式，此时第三项的系数为：
6=
…

∴多项式（
a+b< br>）
n
的展开式是一个
n
次
n+1
项式，第三项的系数 为：
；

（
2
）预测一下多项式（
a+b
）
n
展开式的各项系数之和为：
2
n
；

（
3）∵当
n=1
时，多项式（
a+b
）
1
展开式的各项系 数之和为：
1+1=2=2
1
，

当
n=2
时，多 项式（
a+b
）
2
展开式的各项系数之和为：
1+2+1=4=2< br>2
，

当
n=3
时，多项式（
a+b
）3
展开式的各项系数之和为：
1+3+3+1=8=2
3
，
< br>当
n=4
时，多项式（
a+b
）
4
展开式的各项系数 之和为：
1+4+6+4+1=16=2
4
，

，



…

∴多项式（
a+b
）
展开式的各 项系数之和：
S=2
．

【点评】
此题属于规律性、阅读性题目．此 题难度较大，由特殊到一般的归纳
方法的应用是解此题的关键．

4
．（2009
佛山）阅读材料：把形如
ax
2
+bx+c
的二次三项 式（或其一部分）配
成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，
即
a
2
±2ab+b
2
=
（a±b）
2
．

例如：（
x
﹣
1
）
2
+3
、 （
x
﹣
2
）
2
+2x
、（
x
﹣< br>2
）
2
+
x
2
是
x
2
﹣< br>2x+4
的三种不同形
式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线 上的部
分）．

请根据阅读材料解决下列问题：

（
1）比照上面的例子，写出
x
2
﹣
4x+2
三种不同形式的配方；

（
2
）将
a
2
+ab+b
2
配 方（至少两种形式）；

（
3
）已知
a
2
+b2
+c
2
﹣
ab
﹣
3b
﹣
2c+4= 0
，求
a+b+c
的值．

【考点】
完全平方公式．

【专题】
压轴题；阅读型．
< br>【分析】
（
1
）（
2
）本题考查对完全平方公式的灵活应用能 力，由题中所给的
已知材料可得
x
2
﹣
4x+2
和
a
2
+ab+b
2
的配方也可分别常数项、一次项、二次项三
种不同 形式；

（
3
）通过配方后，求得
a
，
b
，
c
的值，再代入代数式求值．

【解答】
解：（
1
）
x
2
﹣
4x+2
的三种配方分别为：

x2
﹣
4x+2=
（
x
﹣
2
）
2
﹣
2
，

n
n


x
﹣
4x+2=
（
x+
x
﹣
4x+2=
（
2
2
2
2
）
﹣（
2
x
﹣
2
2
2
+4
）
x
，

）
﹣
x
；

2
（
2
）
a
+ab+b
=
（
a+b
）
﹣
ab
，

a
2
+ab+b
2
=
（
a+
b
）
2
+
b
2
；

（
3
）
a
2
+b
2
+c
2
﹣
ab
﹣
3 b
﹣
2c+4
，

=
（
a
2
﹣< br>ab+
b
2
）
+
（
b
2
﹣
3b+3
）
+
（
c
2
﹣
2c+1
），
=
（
a
2
﹣
ab+
b
2
）
+
（
b
2
﹣
4b+4
）
+
（c
2
﹣
2c+1
），

=
（
a
﹣
b
）
2
+
（
b
﹣
2
）
2
+
（
c
﹣
1
）
2
=0
，
从而有
a
﹣
b=0
，
b
﹣
2=0< br>，
c
﹣
1=0
，

即
a=1
，
b=2
，
c=1
，

∴a+b+c=4．

【点评】
本题考查了根据完全平方公式：
a< br>2
±2ab+b
2
=
（a±b）
2
进行配方的能力．

5
．（
2007
东营）根据以下
10
个 乘积，回答问题：

11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；

16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．

（
1< br>）试将以上各乘积分别写成一个“□
2
﹣
2
”（两数平方差）的形式， 并写出
其中一个的思考过程；

（
2
）将以上
10
个乘积按照从小到大的顺序排列起来；

（
3
）若用
a
1
b
1
，
a
2
b
2
，…，
a
n
b
n
表示
n
个乘积，其中
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，
a
n
，
b
1
，
b
2
，
b
3
，…，
b
n
为正数．试由（
1
） 、（
2
）猜测一个一般性的结论．（不要求证
明）



【考点】
平方差公式．

【专题】
压轴题．

【分 析】
利用两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差．如
11×29；可
想几加几 等于
29
，几减几等于
11
，可得
20+9
和
20
﹣
9
，可得
11×29=20
2
﹣
9
2< br>，
同理思考其它的．

【解答】
解：（
1
）11×2 9=20
2
﹣
9
2
；12×28=20
2
﹣
8
2
；13×27=20
2
﹣
7
2
；

14×26=20
2
﹣
6
2
；15×25=20
2
﹣
5
2
；16×24=20
2
﹣
4
2；

17×23=20
2
﹣
3
2
；18×22 =20
2
﹣
2
2
；19×21=20
2
﹣
1
2
；

20×20=20
2
﹣
0
2．（
4
分）

例如，11×29；假设
11×29=□
2
﹣○
2
，

因为□
2
﹣○
2
=
（□+○）（□﹣○）；

所以，可以令□﹣○=11，□+○=29．

解得，□=20，○=9．故
11×29=20
2
﹣
9
2
．（
5
分）

（或
11×29=（
20
﹣
9
）（
20+9
）
=20
2
﹣
9
2
．
5
分）

（
2
）这
10
个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12 ×28＜13×27＜
14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜ 20×20．（
7
分）

（
3
）①若
a+b=40
，
a
、
b
是自然数，则
ab≤20
2
=4 00
．（
8
分）

②若
a+b=40
，则
ab≤20
2
=400
．（
8
分）

③若
a+b=m
，
a
、
b
是自然数，则
ab≤
④若a+b=m
，则
ab≤
．（
9
分）

．（
9
分）

⑤若
a
1
+b
1< br>=a
2
+b
2
=a
3
+b
3
=a< br>n
+b
n
=40
．且

|a
1
﹣< br>b
1
|≥|a
2
﹣
b
2
|≥|a
3
﹣
b
3
|≥≥|a
n
﹣
b
n
|< br>，



则
a
1
b
1
≤a
2
b
2
≤a
3
b
3
≤≤a
nb
n
．（
10
分）

⑥若
a
1
+b
1
=a
2
+b
2
=a
3
+b
3
=a
n
+b
n
=m
．且

|a
1
﹣
b
1
|≥|a
2
﹣
b
2
| ≥|a
3
﹣
b
3
|≥…≥|a
n
﹣
bn
|
，

则
a
1
b
1
≤a< br>2
b
2
≤a
3
b
3
≤…≤a
nb
n
．（
10
分）

说明：给出结论①或②之一的得（
1
分）；给出结论③或④之一的得（
2
分）；

给出结论⑤或⑥之一的得（
3
分）．

【点评】
此题主要考 查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的
积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法 的平方差公式．

6
．（
2006
浙江）如果一个正整数能表示为两 个连续偶数的平方差，那么称这
个正整数为“神秘数”．如：
4=2
2
﹣0
2
，
12=4
2
﹣
2
2
，
20=6
2
﹣
4
2
，因此
4
，
12
，
20
都是“神秘数”

（
1
）
28
和
2012
这两个数是“神秘数”吗为什么

（
2
）设两个连 续偶数为
2k+2
和
2k
（其中
k
取非负整数），由这两个 连续偶数
构造的神秘数是
4
的倍数吗为什么

（
3
）两个连续奇数的平方差（
k
取正数）是神秘数吗为什么

【考点】
平方差公式．

【专题】
压轴题；新定义．
【分析】
（
1
）试着把
28
、
2012
写成平 方差的形式，解方程即可判断是否是神
秘数；

（
2
）化简两个连续 偶数为
2k+2
和
2k
的差，再判断；

（
3）设两个连续奇数为
2k+1
和
2k
﹣
1
，则（
2k+1
）
2
﹣（
2k
﹣
1
）
2
=8k=4×2k，
即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．


< br>【解答】
解：（
1
）设
28
和
2012
都是 “神秘数”，设
28
是
x
和
x
﹣
2
两数的 平
方差得到，

则
x
﹣（
x
﹣
2
）
=28
，

解得：
x=8
，∴x﹣
2=6
，

即
28=8
2
﹣
6
2
，

设2012
是
y
和
y
﹣
2
两数的平方差得到，< br>
则
y
2
﹣（
y
﹣
2
）
2
=2012
，

解得：
y=504
，

y
﹣
2=502
，

即
2012=504
2
﹣
502
2
，

所以
28
，
2012
都是神秘数．

（
2
）（
2k+2
）
2
﹣（
2k
）
2
=
（
2k+2
﹣
2k
）（
2k+2+2k
）
=4
（
2k+1
），

∴由
2k+2
和
2k
构造的神秘数是
4
的倍数，且是奇数倍．

（
3
）设两个连续奇数为
2k+1
和
2k
﹣
1
，
< br>则（
2k+1
）
2
﹣（
2k
﹣
1
）
2
=8k=4×2k，

即：两个连续奇数的平方差是
4
的 倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数
为
4
的奇数倍这一条件．

∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．

【点评】
此题首先考查了阅读能力、 探究推理能力．对知识点的考查，主要是
平方差公式的灵活应用．

7
．（< br>2007
淄博）根据以下
10
个乘积，回答问题：

11×29；

12×28；

13×27；

14×26；

15×25；

2
2


16×24；

17×23；

18×22；

19×21；

20×20．
< br>（
1
）试将以上各乘积分别写成一个“□
﹣○
”（两数平方差）的形式 ，并写
出其中一个的思考过程；

（
2
）将以上
10
个乘积按照从小到大的顺序排列起来；

（
3
）试由（
1
）、（
2
）猜测一个一般性的结论 ．（不要求证明）

【考点】
整式的混合运算；绝对值．

【专题】
压轴题；规律型．

【分析】
（
1
）根据 要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可．

（
2
）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可．

（
3
）根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小．

【解答】< br>解：（
1
）11×29=20
2
﹣
9
2
；1 2×28=20
2
﹣
8
2
；13×27=20
2
﹣
7
2
；

14×26=20
2
﹣
6
2
；
1
5×25=20
2
﹣
5
2
；16 ×24=20
2
﹣
4
2
；

17×23=202
﹣
3
2
；18×22=20
2
﹣
2
2
；19×21=20
2
﹣
1
2
；

20×20=20
2
﹣
0
2

…（
4
分）

例如，11×29；假设
11×29=□2
﹣○
2
，

因为□
2
﹣○
2
=
（□+○）（□﹣○）；

所以，可以令□﹣○=11，□+○=29．

解得，□=20，○=9．故
11×29=20
2
﹣
9
2
．

（或
11 ×29=（
20
﹣
9
）（
20+9
）
=20
2
﹣
9
2

（
2
）这
10
个乘 积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜
14×26＜15×25＜16 ×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20

（
3
）①若< br>a+b=40
，
a
，
b
是自然数，则
ab≤202
=400
．

2
2


②若
a+b=40
，则
ab≤20
=400
．

…（
8
分）

③若
a+b=m
，
a
，
b
是自然数，则
ab≤
④若
a+b=m
，则
a b≤
．

．

．

2
⑤若
a，
b
的和为定值，则
ab
的最大值为
⑥若
a
1
+b
1
=a
2
+b
2
=a
3
+b
3
=…=a
n
+b
n
=40
．且

|a
1
﹣
b
1
|≥|a
2
﹣
b
2
|≥|a
3
﹣
b
3
|≥…≥|a
n
﹣< br>b
n
|
，

则
a
1
b
1
≤a
2
b
2
≤a
3
b
3
≤…≤a
n
b
n
．

…（
10
分）

⑦若
a
1
+b
1
=a
2
+b
2
=a
3
+b
3
=… =a
n
+b
n
=m
．且

|a
1
﹣
b
1
|≥|a
2
﹣
b
2
|≥|a
3
﹣
b
3
|≥…≥|a
n
﹣
b
n
|
，

则
a
1
b
1
≤a
2b
2
≤a
3
b
3
≤…≤a
n
b
n
．

⑧若
a+b=m
，

a
，
b
差的绝对值越大，则它们的积就越小．

说明：给出 结论①或②之一的得（
1
分）；给出结论③、④或⑤之一的得（
2
分）；
给出结论⑥、⑦或⑧之一的得（
3
分）．

【点评】
本题主要考查整式的混合运算，找出规律是解答本题的关键．

8< br>．（
2015
于洪区一模）如图
1
，在△ABC
中，∠ACB
为锐角，点
D
为射线
BC
上
一点，连接
AD
，以
AD
为一边且在
AD
的右侧作正方形
ADEF
．
（
1
）如果
AB=AC
，∠BAC=90°，
①当点
D
在线段
BC
上时（与点
B
不重合），如图2
，线段
CF
、
BD
所在直线的
位置关系为

垂直

，线段
CF
、
BD
的数量关系为

相等

；



②当点
D
在线段
BC
的延长线上时，如图
3
，①中的结论是否仍然成立，并说明
理由 ；

（
2
）如果
AB≠AC，∠BAC
是锐角，点
D
在线段
BC
上，当∠AC
B
满足什么条件
时，CF⊥BC （点
C
、
F
不重合），并说明理由．

【考点】
全等三角形的判定与性质．

【专题】
压轴题；开放型．

【分析】
（
1
）当点
D
在
BC
的延长线上时①的结论仍成立．由正方形
ADEF
的性
质可推出△DAB≌△FAC，所以
CF=BD
，∠ACF=∠ABD．结合∠B AC=90°，
AB=AC
，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即
CF⊥ BD．

（
2
）当∠ACB=45°时，过点
A
作
AG⊥AC
交
CB
的延长线于点
G
，则
∠GAC=90°， 可推出∠ACB=∠AGC，所以
AC=AG
，由（
1
）①可知
CF ⊥BD．

【解答】
证明：（
1
）①正方形
ADEF
中，
AD=AF
，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即
CF⊥BD．

②当点
D
在
BC
的延长线上时①的结论仍成立．

由正方形
ADEF
得
AD=AF
，∠DAF=90
度．

∵∠BAC=90°，

∴∠DAF=∠BAC，



∴∠DAB=∠FAC，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90°，
AB=AC
，

∴∠ABC=45°，

∴∠ACF=45°，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90
度．

即
CF⊥BD．

（
2
）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．

理由：过点
A
作
AG⊥AC
交
CB
的延长线于点
G
，

则∠GAC=90°，

∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，

∴∠AGC=90°﹣45°=45°，

∴∠ACB=∠AGC=45°，

∴AC=AG，

∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），
AD=AF
，

∴△GAD≌△CAF，

∴∠ACF=∠AGC=45°，

∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即
CF⊥BC．

【点评】
本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全
等的一般方法有 ：
SSS
、
SAS
、
ASA
、
AAS
、< br>HL
．判定两个三角形全等，先根据已


知条件或求证的结论确定三 角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什
么条件，再去证什么条件．

9．（
2015
菏泽）如图，已知∠ABC=90°，
D
是直线
A B
上的点，
AD=BC
．

（
1
）如图
1
，过点
A
作
AF⊥AB，并截取
AF=BD
，连接
DC
、
DF
、
CF
，判断△CDF
的形状并证明；

（
2
）如图
2
，
E
是直线
BC
上 一点，且
CE=BD
，直线
AE
、
CD
相交于点
P
，∠APD
的度数是一个固定的值吗若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．

【考点】
全等三角形的判定与性质．

【专题】
压轴题．

【分析】
（
1
）利用
SAS
证明△AFD
和△BD C
全等，再利用全等三角形的性质得
出
FD=DC
，即可判断三角形的形状；

（
2
）作
AF⊥AB
于
A
，使
AF=BD
，连结
DF
，
CF
，利用
SAS
证明△ AFD
和△BDC
全
等，再利用全等三角形的性质得出
FD=DC
， ∠FDC=90°，即可得出
∠FCD=∠APD=45°．

【解答】
解： （
1
）△CDF
是等腰直角三角形，理由如下：

∵AF⊥AD，∠ABC=90°，

∴∠FAD=∠DBC，

在△FAD
与△DBC
中，

，

∴△FAD≌△DBC（
SAS
），

∴FD=DC，

∴△CDF
是等腰三角形，

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