微信公开课-婚宴父母致辞

2021年1月19日发(作者：白寿彝)
例析平面直角坐标系中面积的求法

我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积 的问题
.
解题时我
们要注意其中的解题方法和解题技巧
.
现举例说明 如下
.

一、有一边在坐标轴上

例
1

如图
1
，平面直角坐标系中，

△
ABC
的顶点坐 标分别为（－
3
，
0
），

（
0
，
3
），（
0
，－
1
），

你能求出三角形
ABC
的面积吗



分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，
△
ABC
的边
BC
在
y
轴上，
由图形可得
BC
＝
4
，点
A
到
BC
边的距离就是
A
点到
y
轴的距离，也就是
A< br>点横坐标的绝对值
3
，然后根据三角形的面积公式求解
.

解 ：
因为
B(0,3),C(0,-1),
所以
BC=3-
（
-1
）
=4.
因为
A(-3,0),

所以
A点到
y
轴的距离，即
BC
边上的高为
3
，


二、有一边与坐标轴平行

例
2

如图
2
，三角形
ABC
三个顶点的坐标

分别为< br>A
（
4
，
1
），
B
（
4
，
5
），
C
（
-1
，
2
），

求三角形
ABC
的面积
.

分析：
由
A< br>（
4
，
1
），
B
（
4
，
5
）两点的横坐标相同，可知边
AB
与
y
轴
平行，因而
AB
的长度易求
.
作
AB
边上的高
CD
，则D
点的横坐标与
A
点
的横坐标相同，也是
4
，这样就可 求得线段
CD
的长，进而可求得三角形
ABC
的面积
.
< br>解：
因为
A
，
B
两点的横坐标相同，
所以边
AB
∥
y
轴，
所以
AB=5-1=4.
作
AB< br>边上的高
CD
，则
D
点的横坐标为
4
，所以
CD=4-
（
-1
）
=5
，

所以
=
.

三、三边均不与坐标轴平行

例
3

如图
2,
平面直角坐标系中，已知点
A
（
-3
，
-1
），
B
（
1
，
3
），
C
（
2
，
-3
），

你能求出三角形
ABC
的面积吗


分析：
由于三 边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也
无法求高，因此得另想办法
.
根据 平面直角坐标系的特点，可以将三角形
围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与 其中
一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行
.
这样，梯形（长方形）的面
积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面
积，即可求得原三角形的面积.

解
：如图，过点
A
、
C
分别作平行于y
轴的直线，与过点
B
平行于
x
轴的直线交于点
D、
E
，则四边形
ADEC
为梯形
.
因为
A（
-3
，
-1
），
B
（
1
，
3
）
，
C
（
2
，
-3
）
，
所以
AD
＝
4
，
CE=6
，
DB=4
，
BE=1
，
DE
＝
5.
所以
=
4
、在平面直角坐标系中，△
ABC
的顶点坐标分别为
A
（
1
，
-1
）
，
B
（
AD+CE
）
×
DE-
AD
×
DB-
CE
×
BE=
×
（< br>4+6
）
×
5
－
×
4
×
4
－×
（
-1
，
4
）
，
C
（
-3< br>，
1
）
，
（
1
）求△
ABC
的面积 ；

6
×
1
＝
14.

（
2）将△
ABC
先向下平移
2
个单位长度，再向右平移
3
个单位长度，
平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）

求线段
AB
扫过的面积。


“割补法”的应用


一、已知点的坐标，求图形的面积
。


1
、在 平面直角坐标系中，△
ABC
的顶点坐标分别为
A
（
-2
，
-2
）
，
B

（
0
，
-1
）
，
C
（
1
，
1
）
，求△
AB C
的面积。















二、已知面积（可以求面积）
，求点的坐标


5
、在平面 直角坐标系中，
A
（
-5
，
0
）
，
B（
3
，
0
）
，点
C
在
y
轴上 ，且△
2
、在平面直角坐标系中，四边形
ABCD
的各个顶点的坐标分别为< br>A
ABC
的面积为
12
，求点
C
的坐标。

（
-4
，
-2
）
B
（
4
，
-2
）
C
（
2
，
2
）
D
（-2
，
3
）
。求这个四边形的面积。















6
、如图，在平面直角坐标系中，
A
（－
4
，
< br>0
）
，
B
（
6
，
0
）
，< br>C
（
2
，
4
）
，
D
（－
3
，
2
）
。


（
1
）求四边形
ABCD
的面积；


（
2
）
若点
P
是
y
轴上一点，
且三角形ABP
3
、在平面直角坐标系中，四边形
ABCD
的四个点
A
、
B
、
C
、
D
的坐
的面积等于四边形ABCD
面积的一半，求
标分别为（
0
，
2
）
、
（
1
，
0
）
、
（
6
，
2
）
、
（
2
，
4
）
，求四边形
A BCD
的面积。

P
点坐标。

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