勾股定理经典培优题及答案
温柔似野鬼°
714次浏览
2021年01月19日 03:50
最佳经验
本文由作者推荐
超脑-个人简历的表格
勾股定理经典培优题
类型之一
勾股定理的验证
1< br>．
小明利用如图
17
－
X
－
1
①所示的图形
(
三个正方形和一个直角三角形
)
验证勾股定理
，
他的方法 如下：过点
D
作直线
FG
∥
AC
，
过点
E
作直线
GH
∥
BC
，
直线
FG
与直线GH
交于点
G
，
与直线
BC
交于点
F
，
直线
GH
与直线
AC
交于点
H
，
如图② 所示．请你回答：
(1)
△
ABC
与△
BDF
，
△
DEG
，
△
EAH
有什么关系？为什么？
(2)
用含
a
，
b
的代数式表示正方形
CFGH
的面积；
(3)
你能否根据图形面积之间的关系找到
a
，
b
，
c
之间的数量关系？
(4)
你能得到什么结论？
图
17
－
X
－
1
2
．
勾股定理神秘而美妙
，
它的证法多样
，其巧妙各有不同
，
其中的“面积法”给了小明灵感
，
他惊喜地发现
，
当四个全等的直角三角形如图
17
－
X
－
2
摆 放时
，
可以用“面积法”来证明
a
2
＋
b
2
＝
c
2
.(
请你写出证明过程
)
图
17
－
X
－
2
类型之二
勾股定理及其应用
3
．
等腰三角形的底边长为
6
，
底边上的中线长为
4
，
则它的腰长为
(
)
A
．
7
B
．
6
C
．
5
D
．
4
4
．
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理
，
创制了一幅“弦图”
，
后人称其为“赵爽弦图”．如图
17
－< br>X
－
3
是由弦图变化得到的
，
它由八个全等的直角三角形拼接 而成．记图中正方形
ABCD
、正方形
EFGH
、正方形
MNKT< br>的面积分别为
S
1
，
S
2
，
S
3< br>.
若正方形
EFGH
的边长为
2
，
则
S1
＋
S
2
＋
S
3
＝
________ .
1
图
17
－
X
－
3
图
17
－
X
－
4
5
．
图
17
－
X
－
4
①是我国古代著名 的“赵爽弦图”的示意图
，
它是由四个全等的直角三角形围成的．若
AC
＝< br>12
，
BC
＝
10
，
将四个直角三角形中边长为12
的直角边分别向外延长一倍
，
得到图②所示的数学“风车”
，
则这个
数学“风车”的外围周长是
________
．
6
．
知识回顾：在学习《二次根式》时
，
我们知道：
2
＋
3
≠
5
；
在学习《勾股定理》时
，
由于
2
，
3
，
5
满足
(
2)
2
＋
(
3)
2
＝
(
5)
2
，
因此以
2
，
3
，
5
为三边长能构成直角
三角形．
探索思考：请通过构造图形来说明：
a
＋
b
≠
a
＋
b
(
a
＞
0
，
b
＞
0)
．(
画出图形并进行解释
)
7
．
在△
ABC
中
，
AB< br>＝
15
，
AC
＝
20
，
D
是直线< br>BC
上的一个动点
，
连接
AD
，
如果线段
A D
的长度最短是
12
，
请你求△
ABC
的面积．
类型之三
勾股定理的逆定理及其应用
8
．
已知 三组数据：①
2
，
3
，
4
；②
3
，
4
，
5
；③
1
，
3
，
2.
分别 以每组数据中的三个数为三角形的三边长
，
能构
成直角三角形的有
(
)
A
．
②
B
．①②
C
．①③
D
．②③
9
．
如果△
ABC
的三边长分 别是
m
2
－
1
，
m
2
＋
1
，
2
m
(
m
>1)
，
那么下列说法中正确的是< br>(
)
A
．
△
ABC
是直角三 角形
，
且斜边长为
m
2
＋
1
B
．
△
ABC
是直角三角形
，
且斜边长为
2
m
C
．
△
ABC
是直角三角形
，
且斜边长为
m< br>2
－
1
D
．
△
ABC
不是直角三角形
10
．< br>若△
ABC
的三边长
a
，
b
，
c
满 足关系式
(
a
＋
2
b
－
60)
2
＋
|
b
－
18|
＋
c
－
30
＝< br>0
，
则△
ABC
是
________
三角形．
2