勾股定理论文
巡山小妖精
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2021年01月19日 04:02
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勾股定理论文
一．勾股定理的简介
勾股定律是初等几何的著名定 理之一。
直角三角形两直角边上正
方形面积的和等于斜边上正方形的面积，
即如果直角 三角形两直
角边长度为
a
和
b
，斜边长度为
c
，那 么
a^2+b^2=c^2
。此定理
很早已被发现。古埃及人在
4500年前建造金字塔和测量尼罗河
泛滥后的土地时，就广泛地使用勾股定理。古巴比伦（公元前
1800
到
1600
年）的数学家也提出许多勾股数组。数学史上普
遍认为最 先证明这个定理的是毕达哥拉斯，
所以很多数学书上把
此定理称为毕达哥拉斯定理。
中 国古代称直角三角形的直角边为
勾和股，斜边为弦，故此定理称为勾股定理
.
二．勾股定理在求角问题中的应用
在初中数学当中，
有些求角问题使用常规方法难以解决，
而使用
勾股定理则能够很快地解决。
因此，将在求角问题中充分应用勾
股定理便有着实质性的作用。例题
2
：在等边△
ABC
中，有一点
P
，已知
PA
、
PB
、
PC
分别等于
3
、
4
、
5
，试问∠
AP B
等于多少
度？解：把△
APC
绕着点
A
旋转，旋转至△< br>ABQ
，让
AB
和
AC
能够重合；此时，
AP
＝
AQ
＝
3
，
BQ
＝
PC
＝
5
，
，∠
PAQ
＝∠
BAC
＝
60
°；所以 ，△
PAQ
是等边三角形；所以，
PQ
＝
3
；在三角形PBQ
当中，
PB
、
BQ
分别等于
4
、
5
，所以，三角形
PBQ
是直
角三角形，其中∠
BPQ
＝
90
°；所以，∠
APB
＝∠
BPQ
＋∠
APQ< br>＝
90
°
+60
°＝
150
°。
三．勾股定理在实际问题中的应用
对于勾股定理，
还能够解决实 际问题，
并且这些实际问题都是在
日常生活中可以看到的。例题
4
：一棵小树 高为
4
米，现有小鸟
A
停留在树梢上，此时小鸟
B
停留在高
20
米的一棵大树树梢上
发出友好的叫声，已知大树与小树的距离为
12米，如果小鸟
A
以
4m/s
的速度飞往大树树梢，试问：小鸟
A
至少需要多长时间
才能够与小鸟
B
在一起？解：
如图
4，
根据题干的已知条件可知，
AC
＝
16m
，
BC＝
12m
，
由勾股定理得：
AB2
＝
AC2
＋
BC2
＝
162
＋
122
，求得
AB
＝< br>20m
；所以，小鸟
A
所需时间为
20/4
＝
5秒。
笔者认为，利用勾股定理解决实际问题，需要弄清题意，进而对
题目中所涉及的直角三 角形找出来，然后结合勾股定理进行求
解。在例题
4
中，最主要的步骤便是依照题意， 结合勾股定理，
然后画出大树与小树之间的直角三角形，
在充分利用已知条件的
基础上 ，便能够使问题有效解决。
四．勾股定理的别名
勾股定理，是几何学中一 颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的
基石”
，
而且在高等数学和其他学科中也有着极 为广泛的应用。
正
因为这样，
世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。
我国是发现和研究勾股定理最 古老的国家。
我国古代数学家称直
角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股 ，
斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前
1000
多年，据记载，商 高
(
约公元前
1120
年
)
答周公曰“勾广三，股修
四，经隅五”
，
其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”
．
因
此，勾股定理在我国又称“商高定理”
．
在公元前
7
至
6
世纪一中
国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下
为勾，日高为股，勾、 股各乘并开方除之得邪至日。
在法国和比利时， 勾股定理又叫“驴桥定理”
。
还有的国家称勾股
定理为“平方定理”
。
在陈子后一二百年，
希腊的著名数学家毕达哥 拉斯发现了这个定
理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理．为
了庆祝这一 定理的发现，
毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉
神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理 ”
．
前任美国第二十届总统伽菲尔德证 明了勾股定理（
1876
年
4
月
1
日）
。
五．勾股定理的证明
【证法
1
】
（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为
a
、
b< br>（
b>a
）
，斜边长为
c.
再做一个边长为
c
的正方形
.
把它们拼
成如图所示的多边 形，
使
E
、
A
、
C
三点在一条直线上
.< br>过点
Q
作
QP
∥
BC
，
交
AC于点
P.
过点
B
作
BM
⊥
PQ
，垂足为
M
；
再过点
F
作
FN
⊥
PQ< br>，垂足为
N.
∵
∠
BCA = 90
°，
QP
∥
BC
，