用类比思想推导圆的面积计算公式
巡山小妖精
774次浏览
2021年01月19日 05:25
最佳经验
本文由作者推荐
安利沐浴露-弟子规动画视频
用类比思想推导圆的面积计算公式
中小学数学
?
小学版
2011
年第
6
期
用类比思想推导
圆的面积计算公式
浙江省杭州市萧山区教研室
(311201)
邵汉民
一
般地
,
我们把圆面积公式的推导过程定义为转
化的过程
,
即把圆通过切拼转化为近似的长方形
,
这种
转化思想的范型来自于平行四边形面积公式的推导
.
但当全面回顾了长方形
,
平行四边形和三角形的面积
公式的推导之后发现
,
要把曲线图形圆转化为直线图
形是一件不可能完成的操作
.
成书于汉代的《九章算术》第一章方田章
,
主要的
内容是讲述各种面积的计算
.
其中第
32
题就是求圆
田面积
:
有圆田
,
周一百八十一步
,
径六十步三分步之一
,
问为田几何
?
答日
:
十一亩九十步十二分步之一
术日
:
半周半径相乘得积步
.
《九章算术》中总结的求圆田面积公式与我们现在
的公式如出一辙
,
只不过这里的圆周率运用的是它的
近似值
3.
随着圆周率的精确度的提高
,
应用这个公
式所计算的面积的精确度也随之提高
.
这个公式是如何推导的呢
?
《九章算术》中没有说
明
.
成书年代更早的一本古代天文算书《周髀算经》中
有这样一段 话
:
”
圆出于方
,
……”
.
”
圆出于方< br>”
这一个
命题给了我们一个新的推导思路
.(
见图
1)
圊
正二十四边形
圆
出一
正十二边形
于
方
正六边形
正方形
贼卿
.
s=
号
xh
s=
皂
×
h
S=
‘
图
1
图
1
中很清晰地表达了规律
,
从正方形到圆的所
一
5O
一
霎
有正多边形的面积计算公式都可以归纳为
”
半周乘
高
”< br>.
我们猜测《九章算术》中的
”
半周半径相乘得积
步
”
,
可能就是通过这样一种类比的思路得到的
.
我们
以此为基本思路
,
展开了圆面积公式的推导
.
1.
回顾总结推导面积计算公式的方法
.
回顾长方形
,
平行四边形和三角形这三种典型的
直线平面图形的推导过程
,
总结出用数方格和切拼转
化成已知面积公式的图形这两种方法
.
2.
用单位面积估测圆面积
.
教师在两个圆上分别贴一个方格图
(
如图
2),
请
学生估计出大致值
.
./,f
’
IJ
‘
/
图
2
用打方格来求圆的面积是一种最原始的方法
,
在
古埃及的《莱因得纸草书》中就有具体的介绍
.
它可以
比较精确地估计出圆的面积
.
用数方格的方法估计出
圆的面积
,
这一个思考过程
,
既是对原来方法的应用
,
也为圆不可能直接转化成直线图形提供了形象的比
照
,
为进一步思考如何求圆的面积指明了方向
:
化曲为
直
.
3.
体验
”
圆出于方
”
.
教师首先用课件演示
,
发现圆形喷水池的轮廓并
不圆这一现象
:
图
3
这时
,
教师用课件从下往上分别演示
,
其中当演
示到正二十四边形
,
已经是一个近似的圆了
,
这时教师
把正二十四边形放大
,
让学生观察到
,
原来它确实是一
个多边形
.
最后总结
:
”
圆出于方
”
.
“
圆出于方
”
是古人对圆与正多形关系的一个认
中小学数学
?
小学版
2011
年第
6
期
识
,
也是对圆进行无限分割的前提
.
通过本教学环节
, < br>让学生感受到
”
圆出于方
”
的变化过程
.
对推导圆面 积
公式做足类比与推理的准备
.
图
4
4.
推导圆面积计算公式
.
从正方形开始逐步推导出求正多边形的通用公
式
,
再用无限类比法推导出圆面积公式
.
既体现了数
学的传承现象
,
也体现了数学创新的过程
.
下面是具
体的教学实录
:
(1)
求正方形的面积
,
要知道什么
?
生
:
正方形的边长
.
教师用课件出示公式
,
并在课件中把正方形按对
角线分成四等分< br>(
四个直角三角形
).
师问
:
如果已知
一
个三角形的面积能够求吗
?
生
:
可以
,
一个三角形的面积乘
4.
教师继续演示
:
把四个三角形分成两个部分
,
再拼
成一个平行四边形
.
接着追问
:
现在你想知道什么就
可以求这个正方形的面积
.
生
:
底和高
师追问
:
底和高分别是原来正方形中的什么
?
生
:
两条边的和与其中一个三角形的高
.
师追问
:
两条边的和刚好是原来周长的多少
?
生
:
原来正方形周长的一半
.(
可能学生这里不能
想到
,
那么就由教师直接讲解
)
教师在图中演示
,
并总结得
:s=
詈
×
h.
对上述教学过程
,
用课件形成图
5.
正方形
S=
图
5