平行四边形中的数学思想方法-最新文档
余年寄山水
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2021年01月19日 07:13
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平行四边形中的数学思想方法
数学思想是对数学内容的进 一步提炼和概括，
是对数学内
容的一种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、< br>途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力
.
抓
住数学思想方 法，
善于迅速调用数学思想方法，
更是提高解题能
力根本之所在
.
为了方便同学们快速解决平行四边形的问题，
现
将平行四边形中常用的数学思想方法略作介绍如 下
.
一、
转化思想
转化思想要求我们居高临下地抓住问题的实质，
在遇到较复
杂的问题时，能 够辩证地分析问题，通过一定的策略和手段，使
复杂的问题简单化，
陌生的问题熟悉化，
抽象的问题具体化
.
具
体地说，
比如把隐含的数量关系转化为明显的数量 关系；
把从这
一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息
.
转化的
内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念、图形与
图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机
.
在解决四边
形有关问题时，常利用转化思想，通过添加 适当的辅助线，把四
边形转化为三角形，或把一般四边形转化为特殊四边形等
.
例
1
如图
1
，△ABC
中，
AB=8
，
AC=6. < br>AD
是
BC
边上的中线，
则
AD
的取值范围是
_________.
【分析】要确定
AD
的取值范围， 联想到三角形三边关系，
但又不能把
AB
、
AC
和
AD放在同一个三角形里，
故不能直接利用
三角形三边关系，由
AD
是中线， 联想到延长中线，得到平行四
边形，得
AB=CE
，将已知量与未知量集中到三角形中 来求解
.
解：延长
AD
到点
E
， 使
DE=AD
，连接
BE
、
CE.
∵BD=CD，
∴四边形
ABEC
是平行四边形，
∴CE=AB=8，在△ACE
中，
8-6
【点评】当题中有三角形的中线时，可延长中 线，
构造平行四边形，
这种作辅助线的方法在解题中经常用到，
要注
意掌握< br>.
例
2
如图
2
，
在?ABCD
中，
AD=2AB
，
F
是
AD
的中 点，
作
CE⊥AB，
垂足
E
在线段
AB
上，连接< br>EF
、
CF
，求证：
EF=CF.
【分析】利用中点
F
，延长
EF
交
CD
于点
M，分别利用平行
四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF
（ASA
），得出对应线段之间关系进而得出答案
.
【解 答】证明：如图
3
，延长
EF
，交
CD
延长线于点
M
，∵
四边形
ABCD
是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵ F
为
AD
中点，∴AF=FD，在△AEF
和△DMF
中，
∠A=∠FDM，
AF=DF
，
∠AFE=∠DFM，
∴△AEF≌△DMF（
ASA
），∴FE=FM，∠AEF= ∠M，∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=EF.
【点评】
由中点延长构造全等三角形是本题的关键
.
本题也
可以过 点
F
作
FN∥AB，将问题转化到三角形
FEC
中，借助“三
线合一”解题，同学们可以自己试一试
.
二、
方程思想
方程和方程组是解决应用题、
实际问题和 许多方面的数学问
题的重要基础知识，
应用范围非常广泛
.
很多数学问题，
特别是
有未知数的几何问题，
就需要用方程或方程组的知识来解决
.
在
解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定理
或公式，
建立起未 知数和已知数间的等量关系，
列出方程或方程
组来解决，
这就是方程思想
.
具有方程思想就能够很好地求得问
题中的未知元素或未知量，
这对解决和计算有关的数 学问题，
特
别是综合题，是非常需要的
.
例
3
如图
4
，
?ABCD
的周长是
36
，由钝角顶点
D
向
AB
、
BC
引两条高
D E
、
DF
，且
DE=4
，
DF=6
，求这个平行四 边形的面积
.
【分析】
由周长可知
AB+BC=1 8
，
由面积可知，
DE×AB=DF×BC，
即
4AB=6CD.
【解答】设
AB
为
x
，
CD
为
y.
由题意得
x+y=18
，
4x=6y
，解得
x
=
，
y
=.
则平行四边形的面积为
4x=43.